高一數(shù)學(xué) 兩個變量的線性相關(guān) ppt.ppt

兩個變量的線性相關(guān) 1 變量之間除了函數(shù)關(guān)系外 還有相關(guān)關(guān)系 例 1 商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關(guān)系 2 糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系 3 人體內(nèi)脂肪含量與年齡之間的關(guān)系 一 變量之間的相關(guān)關(guān)系 不同點 函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系 而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系 相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點 相同點 均是指兩個變量的關(guān)系 2 兩個變量之間產(chǎn)生相關(guān)關(guān)系的原因是受許多不確定的隨機因素的影響 3 需要通過樣本來判斷變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系 一 變量之間的相關(guān)關(guān)系 在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中 研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù) 根據(jù)上述數(shù)據(jù) 人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系 散點圖 兩個變量的散點圖中點的分布的位置是從左下角到右上角的區(qū)域 即一個變量值由小變大 另一個變量值也由小變大 我們稱這種相關(guān)關(guān)系為正相關(guān) 思考 1 兩個變量成負相關(guān)關(guān)系時 散點圖有什么特點 答 兩個變量的散點圖中點的分布的位置是從左上角到右下角的區(qū)域 即一個變量值由小變大 而另一個變量值由大變小 我們稱這種相關(guān)關(guān)系為負相關(guān) 2 你能舉出一些生活中的變量成正相關(guān)或者負相關(guān)的例子嗎 如學(xué)習(xí)時間與成績 負相關(guān)如日用眼時間和視力 汽車的重量和汽車每消耗一升汽油所行駛的平均路程等 注 若兩個變量散點圖呈上圖 則不具有相關(guān)關(guān)系 如 身高與數(shù)學(xué)成績沒有相關(guān)關(guān)系 散點圖 回歸直線 如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近 我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系 這條直線就叫做回歸直線 這條回歸直線的方程 簡稱為回歸方程 1 如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上 變量之間具有函數(shù)關(guān)系2 如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近 變量之間就有相關(guān)關(guān)系3 如果所有的樣本點都落在某一直線附近 變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系只有散點圖中的點呈條狀集中在某一直線周圍的時候 才可以說兩個變量之間具有線性關(guān)系 才有兩個變量的正線性相關(guān)和負線性相關(guān)的概念 才可以用回歸直線來描述兩個變量之間的關(guān)系 方案一 采用測量的方法 先畫一條直線 測量出各點到它的距離 然后移動直線 到達一個使距離之和最小的位置 測量出此時直線的斜率和截距 就得到回歸方程 三 我們應(yīng)該如何具體的求出這個回歸方程呢 方案二 在圖中選取兩點畫直線 使得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同 方案三 在散點圖中多取幾組點 確定幾條直線的方程 分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù) 將這兩個平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距 上述三種方案均有一定的道理 但可靠性不強 我們回到回歸直線的定義 求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫 從整體上看 各點與直線的偏差最小 計算回歸方程的斜率和截距的一般公式 其中 b是回歸方程的斜率 a是截距 5 最小二乘法的公式的探索過程如下 設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù) x1 y1 x2 y2 xn yn 設(shè)所求的回歸直線方程為y bx a 其中a b是待定的系數(shù) 當變量x取x1 x2 xn時 可以得到y(tǒng)i bxi a i 1 2 n 它與實際收集得到的yi之間偏差是yi yi yi bxi a i 1 2 n 這樣 用這n個偏差的和來刻畫 各點與此直線的整體偏差 是比較合適的 我們可以用計算機來求回歸方程 人體脂肪含量與年齡之間的規(guī)律 由此回歸直線來反映 將年齡作為x代入上述回歸方程 看看得出數(shù)值與真實值之間有何關(guān)系 若某人65歲 可預(yù)測他體內(nèi)脂肪含量在37 1 0 577 65 0 448 37 1 附近的可能性比較大 但不能說他體內(nèi)脂肪含量一定是37 1 原因 線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計的 存在隨機誤差 這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果的偏差 即使截距斜率沒有誤差 也不可能百分百地保證對應(yīng)于x 預(yù)報值y能等于實際值y 例2 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x 年 和所支出的維修費用y 萬元 有如下的統(tǒng)計資料 使用年限x 年 23456維修費用y 萬元 2 23 85 56 57 0若資料知y x呈線性相關(guān)關(guān)系 試求 1 線性回歸方程y bx a的回歸系數(shù)a b 2 估計使用年限為10年時 維修費用是多少 1 于是有b 112 3 5 4 5 90 5 4 2 1 23 a 5 1 23 4 0 08 2 回歸方程為y 1 23x 0 08 當x 10時 y 12 38 萬元 即估計使用10年時維護費用是12 38萬元 例1 有一個同學(xué)家開了一個小賣部 他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響 經(jīng)過統(tǒng)計 得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的對比表 1 畫出散點圖 2 從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律 3 求回歸方程 4 如果某天的氣溫是2攝氏度 預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù) 1 散點圖 2 從圖3 1看到 各點散布在從左上角到由下角的區(qū)域里 因此 氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負相關(guān) 即氣溫越高 賣出去的熱飲杯數(shù)越少 3 從