第1章概率論基礎(chǔ)知識(shí).ppt

2020 3 4 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 主講人 楊榮奎yangrk2004 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 Probability Statistics 2020 3 4 2 概率論的誕生 分賭注問(wèn)題 甲 乙兩個(gè)賭徒按某種方式下注賭博 說(shuō)定先勝t局將贏得全部賭注 但進(jìn)行到甲勝r局 乙勝s局 r s t 因故不得不中止 試問(wèn)如何分配這些賭注才公平合理 巴斯卡和費(fèi)馬在1654年給出了正確的解法 2020 3 4 3 第一章概率論基礎(chǔ)知識(shí) 概率論是研究什么的 概率論 研究隨機(jī)現(xiàn)象并揭示其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué) 某車(chē)間有200臺(tái)車(chē)床 它們獨(dú)立地工作著 開(kāi)工率為0 6 開(kāi)工時(shí)耗電各為1千瓦 問(wèn)供電所至少要供給這個(gè)車(chē)間多少電力才能以99 9 的概率保證這個(gè)車(chē)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn) 2020 3 4 4 分析 若提供200KW 當(dāng)然機(jī)床能正常工作 但浪費(fèi)若提供120kW 電力又較少了一些利用后面講的二項(xiàng)分布及中心極限定理可算出 提供141kW就夠了 1 1樣本空間與隨機(jī)事件 2020 3 4 5 1 1 1隨機(jī)試驗(yàn) 1 可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行 2 試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè) 且可以預(yù)知一切可能的結(jié)果的取值范圍 3 試驗(yàn)前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果 隨機(jī)試驗(yàn)的三個(gè)特點(diǎn) 2020 3 4 6 例 考慮試驗(yàn)E1 將一枚硬幣拋擲兩次 H T T H T T H H 可能結(jié)果為 H H H T T H T T 可見(jiàn) 該隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果 構(gòu)成一個(gè)集合 我們稱(chēng)該集合為這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間 2020 3 4 7 1 1 2樣本空間samplespace 表示一個(gè)試驗(yàn)的所有可能的集合 稱(chēng) 為樣本空間 而這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn) 記作 樣本點(diǎn) 2020 3 4 8 隨機(jī)事件 樣本空間的子集 例 擲一顆骰子 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) 1 2 3 4 5 6 樣本空間 B 1 3 5 B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點(diǎn)1 3 5中的某一個(gè)出現(xiàn) 事件B就是的一個(gè)子集 2020 3 4 9 從集合的角度看 2020 3 4 10 隨機(jī)事件 基本事件 只含有一個(gè)樣本點(diǎn) 的事件 記為 兩個(gè)特殊事件 必然事件 不可能事件 2020 3 4 11 1 1 3事件的關(guān)系及運(yùn)算 1 事件的包含與相等 A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生 例如 A 1 B 1 3 5 A1 An中至少一個(gè)發(fā)生 2020 3 4 12 A B同時(shí)發(fā)生 3 1 1 3事件的關(guān)系及運(yùn)算 例如 A 1 3 5 B 2 4 6 則AB 說(shuō)明AB同時(shí)發(fā)生是不可能事件 2020 3 4 13 4 A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生 A B 5 A與B互不相容 或互斥 1 1 3事件的關(guān)系及運(yùn)算 B 2020 3 4 14 6 A的對(duì)立事件 1 1 3 續(xù) 須滿(mǎn)足 注意對(duì)立事件與互斥的區(qū)別 綜上得一般結(jié)論 2020 3 4 15 1 1 3事件的關(guān)系及運(yùn)算 7 A1 A2 An構(gòu)成完備事件組 完備事件組將樣本空間分為有限個(gè)互不相容的事件的和 2020 3 4 16 運(yùn)算律 Page4 交換律 結(jié)合律 分配律 對(duì)偶律 2020 3 4 17 例1 1 檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí) 從一批產(chǎn)品中任意抽取5件進(jìn)行檢查 設(shè)事件 請(qǐng)用集合表示下列事件 1 完備事件組 2 發(fā)現(xiàn)兩件或三件次品 3 最多兩件次品 4 至少一件次品 2020 3 4 18 例1 2 事件A B C分別表示一同學(xué)高數(shù) 線(xiàn)代 概率三門(mén)課程成績(jī)優(yōu)秀 請(qǐng)用事件的關(guān)系運(yùn)算表示 1 僅有線(xiàn)代優(yōu)秀 2 高數(shù) 概率至少一門(mén)優(yōu)秀而線(xiàn)代不優(yōu)秀 3 至少兩門(mén)優(yōu)秀 4 恰有兩門(mén)優(yōu)秀 解 1 2 2020 3 4 19 例1 2 3 至少兩門(mén)優(yōu)秀 4 恰有兩門(mén)優(yōu)秀 2020 3 4 20 例1 3 解 1 n個(gè)零件全為正品 2 至少有一個(gè)零件不是正品 3 有且僅有一個(gè)零件不是正品 例 一工人生產(chǎn)了n個(gè)零件 設(shè)Ai表示 第i個(gè)零件是正品 i 1 2 n 試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录?1 2 3 2020 3 4 21 我們關(guān)心某個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小 想法 用P A 來(lái)度量 P 的取值跟A有關(guān) 即 用一個(gè)與A有關(guān)函數(shù)來(lái)定義 因此 P 是個(gè)集函數(shù) 下面考慮該集函數(shù)的應(yīng)具有的性質(zhì) 1 2事件發(fā)生的概率 2020 3 4 22 1 2 1頻率及性質(zhì) 定義1 1在次重復(fù)試驗(yàn)中 若事件A發(fā)生了次 則稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻數(shù) 稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻率 記為 頻率的性質(zhì) 1 0 fn A 1 fn 1 fn 0 2020 3 4 23 頻率及性質(zhì) 大量實(shí)踐表明 頻率有波動(dòng)性 但隨著試驗(yàn)次數(shù)增加 頻率總穩(wěn)定在某個(gè)值附近 2020 3 4 24 設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn) 是它的樣本空間 對(duì)于每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P A 稱(chēng)為事件A的概率 如果它滿(mǎn)足以下三條 1 2 2概率的公理化定義 2020 3 4 25 概率的性質(zhì) 一般地 若 2020 3 4 26 小結(jié)論 概率的性質(zhì) 2020 3 4 27 6 一般加法公式 推廣 概率的性質(zhì) 2020 3 4 28 例1 6 A B為兩事件 已知 解 2020 3 4 29 例1 6 續(xù) A B為兩事件 已知 接 2020 3 4 30 例1 7 2020 3 4 31 求解例1 7 2020 3 4 32 求解例1 7 續(xù) 2020 3 4 33 1 3 1古典概型 1 試驗(yàn)只有有限個(gè)可能結(jié)果 2 每次試驗(yàn)中 每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同 在古典概型中 若中有n個(gè)樣本點(diǎn) 事件A中有k個(gè)樣本點(diǎn) 則 2020 3 4 34 兩個(gè)基本的摸球模型 口袋中有N只球 其中m個(gè)紅球 余下是白球 他們除顏色以外沒(méi)有差別 現(xiàn)隨機(jī)從中摸球n次并觀察摸出球的顏色 計(jì)算恰好摸到k個(gè)紅球的概率 考慮如下兩種情況 1 有放回摸球 2 不放回摸球 2020 3 4 35 1 有放回抽樣樣本空間中的樣本點(diǎn)總數(shù)一共有Nn 取出的n個(gè)球究竟哪k個(gè)是紅球Cnk m個(gè)白球中取k個(gè)mk N m 中取出n k個(gè) N m n k 概率論中稱(chēng)為是二項(xiàng)分布的概率公式 2020 3 4 36 2 無(wú)放回抽樣 我們感興趣的是 n個(gè)中有k個(gè)紅球 概率論中稱(chēng)為是超幾何分布的概率公式 2020 3 4 37 例1 10 30只元件中有27只一等品 3只二等品 隨機(jī)將30只元件均分裝入三盒 求 1 每盒有一只二等品的概率 2 有一盒有3只二等品的概率 解 1 3只二等品均分到三個(gè)盒子有 1 2 3 3x2x1種可能性 余下的27只應(yīng)該平均分到3個(gè)盒子中 2020 3 4 38 第2個(gè)問(wèn)題 首先從3個(gè)盒子中任選一個(gè)出來(lái)放3只二等品 這個(gè)盒子的另7只從余下的27個(gè)一等品中選 例1 10 2020 3 4 39 1 3 2幾何概型 例1 11隨機(jī)在單位圓內(nèi)擲一點(diǎn)M 求M點(diǎn)到原點(diǎn)距離小于1 4的概率 1 1 4 解 2020 3 4 40 幾何概率的計(jì)算 作為一般的歐氏區(qū)域 m A 作為A的測(cè)度 一維是長(zhǎng)度 2維是面積等 就得到幾何概率計(jì)算方法 如果把 2020 3 4 41 例1 12 某貨運(yùn)碼頭僅能容一船卸貨 而甲 乙兩船在碼頭卸貨時(shí)間分別為1小時(shí)和2小時(shí) 設(shè)甲 乙兩船在24小時(shí)內(nèi)隨時(shí)可能到達(dá) 求它們中任何一船都不需要等待碼頭空出的概率 解 2020 3 4 42 Y x 1 Y x 2 解 2020 3 4 43 例1 13蒲豐問(wèn)題 1777年 法國(guó)數(shù)學(xué)家蒲豐取一根針 量出它的長(zhǎng)度 然后在紙上畫(huà)上一組間距相等的平行線(xiàn) 這根針的長(zhǎng)度是這些平行線(xiàn)的距離的一半 把這根針隨機(jī)地往畫(huà)滿(mǎn)了平行線(xiàn)的紙面上投去 小針有的與直線(xiàn)相交 有的落在兩條平行直線(xiàn)之間 不與直線(xiàn)相交 這次實(shí)驗(yàn)共投針2212次 與直線(xiàn)相交的有704次 2212 704 3 142 得數(shù)竟然是 的近似值 這就是著名的蒲豐投針問(wèn)題 2020 3 4 44 平行線(xiàn)的距離a 針的長(zhǎng)度l 求針與平行線(xiàn)相交的概率 怎樣描述針與直線(xiàn)相交的情況 X表示針的中點(diǎn)與最近的一條平行線(xiàn)的距離 2020 3 4 45 例1 13蒲豐問(wèn)題 2020 3 4 46 取a 2L 投針N次 如果有k次與直線(xiàn)相交 則 的近似值為N k 例1 13蒲豐問(wèn)題 2020 3 4 47 零概率事件不一定不發(fā)生 在 0 1 區(qū)間上任意取一個(gè)隨機(jī)數(shù) 則這個(gè)隨機(jī)數(shù)恰好等于0 5的概率是多少 0 1 0 5 P 點(diǎn) 0 5 的長(zhǎng)度 0 1 區(qū)間的長(zhǎng)度 0 2020 3 4 48 1 4 1條件概率 例1 14一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩 已知其中一個(gè)是女孩 問(wèn)另一個(gè)也是女孩的概率是多少 假定生男生女是等可能的 解 由題意 樣本空間為 設(shè)B 其中一個(gè)是女孩 A 兩個(gè)女孩 則B M F F M F F A F F 因此 要求的是 P A B 1 3 2020 3 4 49 定義1 3 P 16 設(shè)A B是兩個(gè)事件 且 則稱(chēng) 為事件B發(fā)生的條件下事件A的條件概率 易知 條件概率具有如下性質(zhì) 2020 3 4 50 條件概率的性質(zhì) 2020 3 4 51 1 4 2乘法公式 2020 3 4 52 例1 16 2020 3 4 53 例1 16 2020 3 4 54 例1 17 2020 3 4 55 1 4 3全概率與貝葉斯公式 例1 18一在線(xiàn)計(jì)算機(jī)系統(tǒng) 有3條輸入線(xiàn) 其性質(zhì)如下表 通訊線(xiàn) 通訊量份額 無(wú)誤差的訊息份額 1 2 3 0 4 0 35 0 25 0 9998 0 9999 0 9997 1 求一隨機(jī)選擇的進(jìn)入訊號(hào)無(wú)誤差地被接受的概率 2020 3 4 56 例1 18 續(xù) 解 設(shè)事件B 一訊號(hào)無(wú)誤差地被接受 Ai 訊號(hào)來(lái)自于第i條通訊線(xiàn) i 1 2 3 由題意 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 已知 2020 3 4 57 例1 18 續(xù) 我們的做法是把樣本空間分割成了3個(gè)不相交的部分 這樣 事件B也被分割成3部分 利用乘法公式可得 2020 3 4 58 例1 18 續(xù) 原問(wèn)題簡(jiǎn)化為 已知 2020 3 4 59 例1 18 續(xù) 2 已知一訊號(hào)是有誤差地被接受 則這一訊號(hào)最有可能來(lái)自哪條通訊線(xiàn)路 解 由 1 已知P B 0 99981 想 本質(zhì)是一個(gè)條件概率 2020 3 4 60 例1 18 續(xù) 最有可能來(lái)自第一條通訊線(xiàn)路 2020 3 4 61 定理1 1全概率與Bayes公式 設(shè)Ai是樣本空間的完備事件組 P Ai 0 即 2020 3 4 62 例1 19 一盒中裝有12個(gè)球 其中8個(gè)是新球 第一次比賽從盒中任取兩球 使用后放入盒中 第二次比賽時(shí)再?gòu)暮兄腥稳汕?求 1 第2次取出兩個(gè)新球的概率 2 已知第2次取出兩個(gè)新球 而第一次僅取出1個(gè)新球的概率 解 把第1次取球的所有可能情況 作為樣本空間的劃分 Ai 第1次取出i個(gè)新球 i 0 1 2 2020 3 4 63 例1 19 續(xù) 第1步 P A0 P A1 P A2 第2步 P B A0 P B A1 P B A2 第3步 寫(xiě)公式 第4步 利用Bayes公式計(jì)算第2問(wèn) 2020 3 4 64 例1 19 續(xù) 一盒中裝有12個(gè)球 其中8個(gè)是新球 第一次比賽從盒中任取兩球 使用后放入盒中 第二次比賽時(shí)再?gòu)暮兄腥稳汕?1 令A(yù)i 第一次取出i個(gè)新球 i 0 1 2 同理 2 令B 第二次取出2個(gè)新球 計(jì)算P B Ai 2020 3 4 65 例1 19 續(xù) 0 2893 2 已知第2次取出兩個(gè)新球 而第一次僅取出1個(gè)新球的概率 0 5333 2020 3 4 66 商店論箱出售玻璃杯 每箱20只 其中每箱含0 1 2只次品的概率分別為0 8 0 1 0 1 某顧客選中一箱 從中任選4只檢查 結(jié)果都是好的 便買(mǎi)下了這一箱 問(wèn)這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少 課堂練習(xí) 解 設(shè)B 從一箱中任取4只檢查 結(jié)果都是好的 A0 A1 A2分別表示事件每箱含0 1 2只次品 2020 3 4 67 已知 P A0 0 8 P A1 0 1 P A2 0 1 由Bayes公式 2020 3 4 68 醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)分析 人群中患某種疾病的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的0 5 一種血液化驗(yàn)以95 的概率將患有此病的人檢查出陽(yáng)性 但也以1 的概率將不患此病的人檢查出陽(yáng)性 現(xiàn)設(shè)某人檢查出陽(yáng)性 問(wèn)他確實(shí)患有此病的概率 例1 20樣本空間的另一種劃分方式 將人群劃分為 有病的 A和 沒(méi)有病 AB 檢查為陽(yáng)性 2020 3 4 69 續(xù) 2020 3 4 70 1 5事件的獨(dú)立性 定義1 4 設(shè)A B是隨機(jī)試驗(yàn)E的兩個(gè)事件 若 則稱(chēng)事件A B相互獨(dú)立 性質(zhì) 2020 3 4 71 證明事件的獨(dú)立性 B A 2020 3 4 72 1 5 1事件的獨(dú)立性 兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立 定義1 5 設(shè)A1 A2 An n 2 是n個(gè)事件 如果Ai Aj是其中任意兩個(gè)事件 i j 有P AiAj P Ai P Aj 則稱(chēng)這n個(gè)事件兩兩獨(dú)立 2020 3 4 73 注意相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的區(qū)別 定義1 6設(shè)A1 A2 An n 2 是n個(gè)事件 如果 則稱(chēng)n個(gè)事件A1 A2 An相互獨(dú)立 2020 3 4 74 例如 三個(gè)事件的獨(dú)立 若三個(gè)事件A B C滿(mǎn)足 P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C 則稱(chēng)事件A B C兩兩相互獨(dú)立 若在此基礎(chǔ)上還滿(mǎn)足 P ABC P A P B P C 則稱(chēng)事件A B C相互獨(dú)立 2020 3 4 75 利用