三年級上下冊疑解答.doc

三年級上冊疑難問題解答人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)室 丁國忠一、對于千米和噸這樣比較大的長度單位和質(zhì)量單位，怎樣幫助學(xué)生建立相應(yīng)的長度觀念和質(zhì)量觀念？解答：對于長度單位、面積單位、體積單位、質(zhì)量單位、時間單位的教學(xué)，除了要求學(xué)生掌握單位之間的換算關(guān)系和相關(guān)的計算以外，更重要的是建立起相應(yīng)的長度、面積和體積的表象以及質(zhì)量觀念、時間觀念。對于一些比較小的長度單位（如毫米、厘米、分米和米）和質(zhì)量單位（如克和千克），我們經(jīng)常借助學(xué)生身邊的物品幫助他們建立相應(yīng)的長度觀念和質(zhì)量觀念。例如，一個硬幣的厚度大約是1毫米，一枝鉛筆的長度大約是18厘米，一袋鹽大約重500克，一分鐘大約能跳繩80下，大拇指的指甲蓋面積大約是1平方厘米，等等。但是，對于一些比較大的長度單位和質(zhì)量單位，如本冊教材中的千米和噸，雖然學(xué)生在生活中能經(jīng)常見到這樣的單位，但無法直接通過用手比一比、用尺量一量、掂一掂等方式來建立相應(yīng)的表象。因此，要建立這樣的長度觀念和質(zhì)量觀念，需要運用間接的方式，讓學(xué)生通過想像來加以培養(yǎng)。具體來說，可以有以下兩種方式。第一種方式是讓學(xué)生通過對千米和噸的間接感受來建立相應(yīng)的觀念。例如，讓學(xué)生實際步行1千米，數(shù)一數(shù)走了多少步，看看用了多少時間，體會一下走1000米的疲勞程度。也可以先走100米，再去想像如果走10個100米，會是怎樣的一種感覺。教學(xué)噸的時候，可以讓幾個學(xué)生嘗試著抬一袋50千克的大米，再想像如果有20袋這樣的大米會有多重，也可以讓學(xué)生通過觀察1噸大米、1噸棉花大約占多大的體積來建立噸的質(zhì)量觀念。第二種方式是借助生活中的實際素材幫助學(xué)生建立相關(guān)觀念。例如，告訴學(xué)生從學(xué)校到附近某一地點的距離是多少千米，從A城市到B城市大約是多少千米，告訴學(xué)生一輛卡車的載重量大約是多少噸，告訴學(xué)生像鯨魚、大象這些大型動物的體重大約是多少噸。需要說明的是，長度觀念、質(zhì)量觀念的建立不是一節(jié)課所能完成的任務(wù)，也不必僅僅局限于數(shù)學(xué)課堂，更需要學(xué)生在日常生活中經(jīng)常觀察、體驗、感受，逐步地培養(yǎng)。二、教材第15頁主題圖表格中的相關(guān)概念離學(xué)生生活太遠，學(xué)生不易理解，如何更好地利用此表格？解答：讓學(xué)生在實際問題情境中學(xué)習(xí)計算內(nèi)容是數(shù)學(xué)課程標準所倡導(dǎo)的一個重要理念，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透思想品德教育也一直是教材編寫所堅持的一個重要原則。教材第15頁的主題圖以中國部分動物種數(shù)的題材引入，為后面幾個例題的計算問題提供現(xiàn)實素材，主要也是基于以上兩方面的考慮。一方面為學(xué)生介紹動物種數(shù)方面的知識，幫助學(xué)生從小樹立保護野生動物的思想意識，另一方面可以鼓勵學(xué)生根據(jù)現(xiàn)實素材提出各種各樣的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，提高提問題和根據(jù)問題列式的能力。但是，在教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)，小學(xué)生確實不能很好地理解“已知種數(shù)”“中國特有種數(shù)”“瀕危和受威脅種數(shù)”等概念，對于這三個概念之間的關(guān)系不能清楚地辨析，以至提出的問題五花八門，不符合邏輯，沒有實際意義，如“已知的哺乳類種數(shù)比中國特有的鳥類種數(shù)多多少種？”針對這種情況，一方面，教師可以用通俗的語言對這些概念加以解釋，引導(dǎo)學(xué)生提出合適的問題。另一方面，可以根據(jù)教學(xué)的進度將表格的三列數(shù)據(jù)分別呈現(xiàn)，而不是放在同一個統(tǒng)計表中加以呈現(xiàn)。例如，教學(xué)例1時，只呈現(xiàn)“中國特有種數(shù)”一列，引導(dǎo)學(xué)生提問題，列算式。教學(xué)例2時，只呈現(xiàn)“已知種數(shù)”一列。這樣就可避免學(xué)生的思維混亂，學(xué)生也不至于提出前文所述的無實際意義的問題。三、為什么教材中要編入不規(guī)則圖形周長的內(nèi)容？解答：過去對于周長、面積、體積的教學(xué)，往往把教學(xué)重點放在特殊圖形的周長、面積和體積的公式推導(dǎo)以及利用公式計算這兩方面。因此,學(xué)生沒有形成對這些概念的一般性理解，以至于在教學(xué)中出現(xiàn)了這樣的問題：學(xué)生雖然會計算長方形、正方形的周長，卻不會計算平行四邊形、三角形以及一般多邊形的周長，理由是老師沒有教過這些圖形的周長計算公式。出現(xiàn)這種情況的原因就是學(xué)生對“周長即封閉圖形一周的長度”這個概念沒有形成一般意義上的理解。因此，實驗教材在編排上使學(xué)生先充分理解周長的一般含義，知道平面上任一封閉圖形都有周長，并可以用繩子、直尺等工具來測量一個一般封閉圖形的周長，知道任一多邊形的周長即是各邊長度之和。在此基礎(chǔ)上再學(xué)習(xí)長方形、正方形的周長計算，就只是一個從一般到特殊（對邊相等或四邊相等）的過程，具體的方法可以讓學(xué)生自主探索。同樣的道理，在后面學(xué)習(xí)面積、體積時，也應(yīng)加強學(xué)生對這兩個概念的一般性理解。四、如何把握“有余數(shù)的除法”這一單元的教學(xué)層次？解答：本單元的內(nèi)容從大的方面來說可以分為三個層次：第一層次是借助分實物的過程，學(xué)習(xí)除法豎式的寫法，掌握余數(shù)比除數(shù)小的原理。第二層次是脫離實物，計算一個抽象的有余數(shù)除法式題。第三層次是利用有余數(shù)除法解決實際問題。下面作一具體說明。第一層次，利用平均分的概念，讓學(xué)生在分實物的過程中理解什么是有余數(shù)除法。重點教學(xué)除法豎式的寫法，余數(shù)是怎樣產(chǎn)生的，余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系。1如果平均分后正好分完，利用已學(xué)知識“表內(nèi)除法”寫出橫式，再把橫式改寫成豎式，由于是第一次接觸除法豎式，教師需要介紹豎式中各部分的來源與寫法。2如果平均分后還有多余的，根據(jù)分的過程寫出有余數(shù)除法的橫式和豎式，重點掌握余數(shù)的含義，即分到不能再分時剩下的數(shù)量。需要明確的一點是，此處橫式中的商和余數(shù)都是通過“分”得到的，而不是計算出來的，而豎式也只是橫式的一種改寫，還不涉及到計算的層面。3保持總數(shù)不變，改變每份數(shù)（或保持每份數(shù)不變，改變總數(shù)），使學(xué)生發(fā)現(xiàn)分到不能再分時，剩下的數(shù)量總是比每份數(shù)少，即余數(shù)比除數(shù)小。第二層次，不再借助分實物，而是給出一個抽象的除法算式進行計算。在此過程中，需要學(xué)生學(xué)會如何定商，而定商的原則就是除數(shù)和商的積必須小于（或等于）被除數(shù)，但同時又必須滿足“余數(shù)小于除數(shù)”這一條件。與第一層次不同，這兒的商和余數(shù)不是分實物的結(jié)果，而是利用定商原則通過抽象的計算得到的。這一層次的內(nèi)容在教材編寫中體現(xiàn)得不是很充分，在教學(xué)時應(yīng)作適當補充。第三層次，利用所學(xué)的有余數(shù)除法的計算方法解決實際問題。這一層次的教學(xué)重點是引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合商和余數(shù)在實際情境中的含義正確寫出相應(yīng)的單位名稱。五、“時間的計算”中要求換算，但還沒有學(xué)習(xí)整十數(shù)乘一位數(shù)，怎么處理？解答：在進行類似于“3時等于多少分”“5分等于多少秒”的換算時，由于還沒有學(xué)習(xí)整十數(shù)乘一位數(shù)，學(xué)生還不會計算603、605。教學(xué)時，可以讓學(xué)生用連加的方法進行計算，并注意出題時數(shù)據(jù)不要太大。此外，還可以創(chuàng)造性地使用教材，先教學(xué)第六單元，再教學(xué)第五單元，這樣，學(xué)生可以靈活地運用連加和乘法這兩種方法進行換算。六、教材第69頁例1第（1）小題在具體情境中把210看成2個10進行計算是否會造成學(xué)生對乘法意義的理解錯誤？解答：自九年義務(wù)教育教學(xué)大綱修訂后，不再把“幾個幾相加”和一個乘法算式唯一地對應(yīng)?！?個3相加”和“3個2相加”都既可以列成“32”，也可以列成“23”，因此，本例中“每人2元，10人要多少錢”表示“10個2相加”，這一具體含義是固定不變的，但列式可以是“210”，也可以是“102”。在計算列出的抽象算式“210”時，我們可以脫離例題中的具體情境，既可以把它看成“10個2相加”（與情境中的一致），也可以看成“2個10相加”，這樣可以達到計算簡便的目的。因此，此題中的“也可以把210看成2個10”并非指具體情境中的乘法含義變成了“2個10相加”，而僅僅是為了使計算更便捷。七、教材第70頁的298估算成308，正好可以解決問題，如果改成328，仍然估算成308，如果仍用估算值來判斷，就會發(fā)生錯誤，怎么處理？解答：與原通用教材相比，實驗教材在估算內(nèi)容的編排上作了一些改變。首先，估算的內(nèi)容大大增加，估算的地位大大提高。從許多角度來講，估算都是非常重要的一種計算策略，我們可以將它作為解決實際問題的必要工具，也可以作為精確計算的重要基礎(chǔ)，還可用于檢驗計算結(jié)果是否大致合理。例如，我們在購物時，經(jīng)常只需用估算就可以解決問題。在精確計算32551時，一般都是先估算成30050進行試商。再如，對于3462004的運算結(jié)果，運用估算就可以判斷是否正確。其次，估算的教學(xué)重點由單純的技巧性訓(xùn)練轉(zhuǎn)變到估算意識的培養(yǎng)。過去，我們教給學(xué)生的是相對固定的估算方法，即先用“四舍五入”法求出算式中各項的近似值，再對近似值進行運算。實際上，在解決實際問題時，根據(jù)不同的需要，我們可以采取不同的估算策略，只要能達到解決問題的目的即可。用“四舍五入”法先求近似值再進行計算，固然是一種重要的估算方法，但不是唯一的方法。在估算的教學(xué)中，更重要的是使學(xué)生形成估算的意識，根據(jù)不同的問題情境選擇適當?shù)墓浪悴呗裕⒛芗右越忉?。在平時的計算過程中也要引導(dǎo)學(xué)生自覺地運用估算方法對計算結(jié)果的合理性加以判斷。應(yīng)該說，培養(yǎng)估算意識不僅僅是某一節(jié)課的目標，而應(yīng)該將估算教學(xué)融于日常的計算教學(xué)中。具體到第70頁的例2，要使學(xué)生理解，在解決實際問題時，有時不需要精確計算，用估算就可以了。但也并不意味著只用估算就一定能解決問題，還要看所采用的估算策略對于具體的問題情境是否合適。估算僅僅是解決實際問題的步驟之一。如本例中，把29估成30，是估大了，說明即使有30個同學(xué)參加，才需要240元，因此帶250元肯定是夠了。如果把29改成32，把32估成30，估算方法相同，但卻還沒解決問題，還需要進一步考慮“少估了2個8，即16元，而240元與250元相差10元，因此錢不夠”，這樣才算是真正解決了問題。如果把29改成23，照樣可以把23估成30，這里所用的方法就不是“四舍五入”法，但對于解決這個問題卻是非常有效的。因此，脫離問題情境，孤立地說某種估算方法好或不好，是沒有意義的。對于不同的問題情境，甚至同一問題情境，可以靈活采用多樣的估算策略。八、教材第83頁例5“0的乘法”與前后內(nèi)容的教學(xué)難度不太一致，感覺深一腳淺一腳，是否可以放到二年級上冊“表內(nèi)乘法”一單元？在教學(xué)這一內(nèi)容時是否必須按教材所提供的思路進行？解答：“0的乘法”一直以來都是編排在“多位數(shù)乘一位數(shù)”這一單元，這樣做的主要目的是為后面學(xué)習(xí)“一個因數(shù)的中間或末尾有0的乘法”打下必要的知識基礎(chǔ)，使前后知識的聯(lián)系更緊密。當然，“0的乘法”的計算難度并不大，如果放到二年級上冊學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該也是能夠接受的。但是因為“表內(nèi)乘法”主要學(xué)習(xí)1到9的乘法口訣，而0是沒有乘法口訣的，如果生硬地編排在一起，也是不太妥當?shù)?。在編排上，教材采用的是順向的思路，即通過情境列出7個0連加的算式，再根據(jù)乘法的意義改寫成乘法算式700和070，再類推出其他的算式。教學(xué)時，也可以創(chuàng)造性地使用教材，先復(fù)習(xí)0的加法和減法，知道0和任何數(shù)相加仍得該數(shù)，任何數(shù)減去0仍得該數(shù)，然后直接從0的乘法算式70和07入手，讓學(xué)生猜想這兩個算式的得數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生利用乘法的意義把這兩個算式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的連加算式，求出得數(shù)。九、因為以后還要正式學(xué)習(xí)“分數(shù)的意義和性質(zhì)”，應(yīng)該如何把握好本冊教材中“分數(shù)的初步認識”的教學(xué)要求？解答：本冊教材主要是利用直觀的方式，使學(xué)生通過折一折、涂一涂等動手操作的方式，初步理解分數(shù)的意義，掌握分數(shù)的大小比較方法和分數(shù)的簡單加減法。由于是初步認識，本冊教材涉及到的分數(shù)，分母都不超過10。而以后要學(xué)的“分數(shù)的意義和性質(zhì)”，逐漸脫離了直觀方式的支持，更多的是從數(shù)系發(fā)展的角度，認識分數(shù)產(chǎn)生的必要性，抽象地學(xué)習(xí)分數(shù)的一般意義和各種性質(zhì)，并且，所有形式的分數(shù)都在研究范圍之內(nèi)。十、如何讓學(xué)生理解“世界上每天都有人出生”等必然事件、不可能事件、可能事件？解答：在這里需要注意兩個問題。第一，本單元所涉及到的“一定”“不可能”“可能”是概率論中的術(shù)語，與生活用語完全不同，是指當我們多次觀察自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象后，會發(fā)現(xiàn)在一定的條件下，許多事情必然會發(fā)生，許多事情必然不會發(fā)生，還有許多事情是可能發(fā)生的。因此，我們討論的事件一般指的是客觀事件，同時，又是在我們經(jīng)驗范圍內(nèi)發(fā)生的事件。所以，在教學(xué)時應(yīng)避免舉出“我一定會好好學(xué)習(xí)的”的例子，這里的“一定”是一種生活用語，帶有強烈的主觀色彩，與概率論中“概率等于1”的含義截然不同。對于學(xué)生提出的超出人類認識經(jīng)驗的說法，如“如果太陽系爆炸了，地球每天都在轉(zhuǎn)動這句話就不是一定的了?！苯處熞矐?yīng)正確地加以引導(dǎo)。第二，如果有些事件超出了學(xué)生的認識范圍，教師應(yīng)提供一些證據(jù)幫助學(xué)生理解。例如，學(xué)生無法理解“世界上每天都有人出生”，教師可以通過本地區(qū)或全國、全世界每天有多少嬰兒出生的數(shù)據(jù)使學(xué)生認識到世界上每天一定有人出生，如“中國平均每4.15秒就出生一個孩子，中國每天出生的人口大約是2.08萬?！笔弧⒔滩牡?08頁例3中的實驗結(jié)果如果與理論的發(fā)生矛盾怎么處理？解答：我們都知道，如果一個盒子里有4個紅棋子和1個藍棋子，隨機地從盒子里摸出一個棋子，摸出紅棋子和藍棋子的可能性都是存在的，如果把以上過程重復(fù)若干次，會發(fā)現(xiàn)在一般情況下，摸出紅棋子的次數(shù)比摸出藍棋子的次數(shù)多，因此，我們說摸出紅棋子的可能性更大。這種可能性的大小都是一種理論上的值，與實驗的結(jié)果有時會不一致，因為在實驗中過程，有時小概率事件也有可能會發(fā)生，雖然發(fā)生的可能性比較小。例如，在抽獎活動中，中獎的可能性比較小，不中獎的可能性比較大，但人們并不會因為不中獎的可能性很大就不去抽獎了，而是滿心期待小概率事件（中獎）的發(fā)生。但是在小學(xué)階段，學(xué)生對于抽象的、理論的可能性概念理解起來有一定的困難，只能借助實驗的結(jié)果來加以論證。雖然在一般情況下，不會出現(xiàn)小概率事件，但如果真的出現(xiàn)了，我們可以用以下的方式來加以修正。例如，在實驗之前，先不限定重復(fù)的次數(shù)，如果個別小組出現(xiàn)了這樣的小概率事件，第一種方法是繼續(xù)增加實驗的次數(shù)，因為從理論上說，實驗的次數(shù)增加到無窮大，摸出某種顏色棋子的次數(shù)所占的比就是摸出該種顏色棋子的概率。第二種方法是把全班所有小組的數(shù)據(jù)都整合起來，實際上原理與第一種方法也是一樣的，都是增加實驗的次數(shù)。十二、數(shù)學(xué)廣角的“排列組合”問題與二年級上冊的相關(guān)內(nèi)容如何區(qū)分教學(xué)層次？解答：這兩冊教材中都編入了“排列組合”的內(nèi)容，但教學(xué)要求是有所不同的。二年級只是讓學(xué)生通過動手操作的方式讓學(xué)生排一排，初步感受排列組合的思想和方法，所用的材料數(shù)量也比較少，例如，用3張數(shù)字卡片能擺出多少個兩位數(shù)，2件衣服和2條褲子有多少種搭配。而本冊的教學(xué)重點則是讓學(xué)生用不同的方式（如學(xué)具操作，畫簡圖、文字形式、字母形式）把排列組合的結(jié)果羅列出來，使學(xué)生學(xué)會用更簡潔、更抽象的方式來表達排列組合的方法。更為重要的是通過以上過程，引導(dǎo)學(xué)生思考如何搭配才能不重復(fù)、不遺漏地把所有結(jié)果都呈現(xiàn)出來，發(fā)展學(xué)生有序思考的意識和能力。所用的材料數(shù)量也有所增加，如，3件衣服和2條褲子有多少種搭配，用3張數(shù)字卡片能擺出多少個三位數(shù)。當然，如果教學(xué)實踐證明分為這樣兩個層次進行教學(xué)沒有太大必要，在下一輪教材修訂時我們也可以考慮將這兩個層次進行整合。四、如何把握“有余數(shù)的除法”這一單元的教學(xué)層次？解答：本單元的內(nèi)容從大的方面來說可以分為三個層次：第一層次是借助分實物的過程，學(xué)習(xí)除法豎式的寫法，掌握余數(shù)比除數(shù)小的原理。第二層次是脫離實物，計算一個抽象的有余數(shù)除法式題。第三層次是利用有余數(shù)除法解決實際問題。下面作一具體說明。第一層次，利用平均分的概念，讓學(xué)生在分實物的過程中理解什么是有余數(shù)除法。重點教學(xué)除法豎式的寫法，余數(shù)是怎樣產(chǎn)生的，余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系。1如果平均分后正好分完，利用已學(xué)知識“表內(nèi)除法”寫出橫式，再把橫式改寫成豎式，由于是第一次接觸除法豎式，教師需要介紹豎式中各部分的來源與寫法。2如果平均分后還有多余的，根據(jù)分的過程寫出有余數(shù)除法的橫式和豎式，重點掌握余數(shù)的含義，即分到不能再分時剩下的數(shù)量。需要明確的一點是，此處橫式中的商和余數(shù)都是通過“分”得到的，而不是計算出來的，而豎式也只是橫式的一種改寫，還不涉及到計算的層面。3保持總數(shù)不變，改變每份數(shù)（或保持每份數(shù)不變，改變總數(shù)），使學(xué)生發(fā)現(xiàn)分到不能再分時，剩下的數(shù)量總是比每份數(shù)少，即余數(shù)比除數(shù)小。第二層次，不再借助分實物，而是給出一個抽象的除法算式進行計算。在此過程中，需要學(xué)生學(xué)會如何定商，而定商的原則就是除數(shù)和商的積必須小于（或等于）被除數(shù)，但同時又必須滿足“余數(shù)小于除數(shù)”這一條件。與第一層次不同，這兒的商和余數(shù)不是分實物的結(jié)果，而是利用定商原則通過抽象的計算得到的。這一層次的內(nèi)容在教材編寫中體現(xiàn)得不是很充分，在教學(xué)時應(yīng)作適當補充。第三層次，利用所學(xué)的有余數(shù)除法的計算方法解決實際問題。這一層次的教學(xué)重點是引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合商和余數(shù)在實際情境中的含義正確寫出相應(yīng)的單位名稱。五、“時間的計算”中要求換算，但還沒有學(xué)習(xí)整十數(shù)乘一位數(shù)，怎么處理？解答：在進行類似于“3時等于多少分”“5分等于多少秒”的換算時，由于還沒有學(xué)習(xí)整十數(shù)乘一位數(shù)，學(xué)生還不會計算603、605。教學(xué)時，可以讓學(xué)生用連加的方法進行計算，并注意出題時數(shù)據(jù)不要太大。此外，還可以創(chuàng)造性地使用教材，先教學(xué)第六單元，再教學(xué)第五單元，這樣，學(xué)生可以靈活地運用連加和乘法這兩種方法進行換算。六、教材第69頁例1第（1）小題在具體情境中把210看成2個10進行計算是否會造成學(xué)生對乘法意義的理解錯誤？解答：自九年義務(wù)教育教學(xué)大綱修訂后，不再把“幾個幾相加”和一個乘法算式唯一地對應(yīng)?！?個3相加”和“3個2相加”都既可以列成“32”，也可以列成“23”，因此，本例中“每人2元，10人要多少錢”表示“10個2相加”，這一具體含義是固定不變的，但列式可以是“210”，也可以是“102”。在計算列出的抽象算式“210”時，我們可以脫離例題中的具體情境，既可以把它看成“10個2相加”（與情境中的一致），也可以看成“2個10相加”，這樣可以達到計算簡便的目的。因此，此題中的“也可以把210看成2個10”并非指具體情境中的乘法含義變成了“2個10相加”，而僅僅是為了使計算更便捷。七、教材第70頁的298估算成308，正好可以解決問題，如果改成328，仍然估算成308，如果仍用估算值來判斷，就會發(fā)生錯誤，怎么處理？解答：與原通用教材相比，實驗教材在估算內(nèi)容的編排上作了一些改變。首先，估算的內(nèi)容大大增加，估算的地位大大提高。從許多角度來講，估算都是非常重要的一種計算策略，我們可以將它作為解決實際問題的必要工具，也可以作為精確計算的重要基礎(chǔ)，還可用于檢驗計算結(jié)果是否大致合理。例如，我們在購物時，經(jīng)常只需用估算就可以解決問題。在精確計算32551時，一般都是先估算成30050進行試商。再如，對于3462004的運算結(jié)果，運用估算就可以判斷是否正確。其次，估算的教學(xué)重點由單純的技巧性訓(xùn)練轉(zhuǎn)變到估算意識的培養(yǎng)。過去，我們教給學(xué)生的是相對固定的估算方法，即先用“四舍五入”法求出算式中各項的近似值，再對近似值進行運算。實際上，在解決實際問題時，根據(jù)不同的需要，我們可以采取不同的估算策略，只要能達到解決問題的目的即可。用“四舍五入”法先求近似值再進行計算，固然是一種重要的估算方法，但不是唯一的方法。在估算的教學(xué)中，更重要的是使學(xué)生形成估算的意識，根據(jù)不同的問題情境選擇適當?shù)墓浪悴呗?，并能加以解釋。在平時的計算過程中也要引導(dǎo)學(xué)生自覺地運用估算方法對計算結(jié)果的合理性加以判斷。應(yīng)該說，培養(yǎng)估算意識不僅僅是某一節(jié)課的目標，而應(yīng)該將估算教學(xué)融于日常的計算教學(xué)中。具體到第70頁的例2，要使學(xué)生理解，在解決實際問題時，有時不需要精確計算，用估算就可以了。但也并不意味著只用估算就一定能解決問題，還要看所采用的估算策略對于具體的問題情境是否合適。估算僅僅是解決實際問題的步驟之一。如本例中，把29估成30，是估大了，說明即使有30個同學(xué)參加，才需要240元，因此帶250元肯定是夠了。如果把29改成32，把32估成30，估算方法相同，但卻還沒解決問題，還需要進一步考慮“少估了2個8，即16元，而240元與250元相差10元，因此錢不夠”，這樣才算是真正解決了問題。如果把29改成23，照樣可以把23估成30，這里所用的方法就不是“四舍五入”法，但對于解決這個問題卻是非常有效的。因此，脫離問題情境，孤立地說某種估算方法好或不好，是沒有意義的。對于不同的問題情境，甚至同一問題情境，可以靈活采用多樣的估算策略。八、教材第83頁例5“0的乘法”與前后內(nèi)容的教學(xué)難度不太一致，感覺深一腳淺一腳，是否可以放到二年級上冊“表內(nèi)乘法”一單元？在教學(xué)這一內(nèi)容時是否必須按教材所提供的思路進行？解答：“0的乘法”一直以來都是編排在“多位數(shù)乘一位數(shù)”這一單元，這樣做的主要目的是為后面學(xué)習(xí)“一個因數(shù)的中間或末尾有0的乘法”打下必要的知識基礎(chǔ)，使前后知識的聯(lián)系更緊密。當然，“0的乘法”的計算難度并不大，如果放到二年級上冊學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該也是能夠接受的。但是因為“表內(nèi)乘法”主要學(xué)習(xí)1到9的乘法口訣，而0是沒有乘法口訣的，如果生硬地編排在一起，也是不太妥當?shù)?。在編排上，教材采用的是順向的思路，即通過情境列出7個0連加的算式，再根據(jù)乘法的意義改寫成乘法算式700和070，再類推出其他的算式。教學(xué)時，也可以創(chuàng)造性地使用教材，先復(fù)習(xí)0的加法和減法，知道0和任何數(shù)相加仍得該數(shù)，任何數(shù)減去0仍得該數(shù)，然后直接從0的乘法算式70和07入手，讓學(xué)生猜想這兩個算式的得數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生利用乘法的意義把這兩個算式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的連加算式，求出得數(shù)。九、因為以后還要正式學(xué)習(xí)“分數(shù)的意義和性質(zhì)”，應(yīng)該如何把握好本冊教材中“分數(shù)的初步認識”的教學(xué)要求？解答：本冊教材主要是利用直觀的方式，使學(xué)生通過折一折、涂一涂等動手操作的方式，初步理解分數(shù)的意義，掌握分數(shù)的大小比較方法和分數(shù)的簡單加減法。由于是初步認識，本冊教材涉及到的分數(shù)，分母都不超過10。而以后要學(xué)的“分數(shù)的意義和性質(zhì)”，逐漸脫離了直觀方式的支持，更多的是從數(shù)系發(fā)展的角度，認識分數(shù)產(chǎn)生的必要性，抽象地學(xué)習(xí)分數(shù)的一般意義和各種性質(zhì)，并且，所有形式的分數(shù)都在研究范圍之內(nèi)。十、如何讓學(xué)生理解“世界上每天都有人出生”等必然事件、不可能事件、可能事件？解答：在這里需要注意兩個問題。第一，本單元所涉及到的“一定”“不可能”“可能”是概率論中的術(shù)語，與生活用語完全不同，是指當我們多次觀察自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象后，會發(fā)現(xiàn)在一定的條件下，許多事情必然會發(fā)生，許多事情必然不會發(fā)生，還有許多事情是可能發(fā)生的。因此，我們討論的事件一般指的是客觀事件，同時，又是在我們經(jīng)驗范圍內(nèi)發(fā)生的事件。所以，在教學(xué)時應(yīng)避免舉出“我一定會好好學(xué)習(xí)的”的例子，這里的“一定”是一種生活用語，帶有強烈的主觀色彩，與概率論中“概率等于1”的含義截然不同。對于學(xué)生提出的超出人類認識經(jīng)驗的說法，如“如果太陽系爆炸了，地球每天都在轉(zhuǎn)動這句話就不是一定的了?！苯處熞矐?yīng)正確地加以引導(dǎo)。第二，如果有些事件超出了學(xué)生的認識范圍，教師應(yīng)提供一些證據(jù)幫助學(xué)生理解。例如，學(xué)生無法理解“世界上每天都有人出生”，教師可以通過本地區(qū)或全國、全世界每天有多少嬰兒出生的數(shù)據(jù)使學(xué)生認識到世界上每天一定有人出生，如“中國平均每4.15秒就出生一個孩子，中國每天出生的人口大約是2.08萬?！笔?、教材第108頁例3中的實驗結(jié)果如果與理論的發(fā)生矛盾怎么處理？解答：我們都知道，如果一個盒子里有4個紅棋子和1個藍棋子，隨機地從盒子里摸出一個棋子，摸出紅棋子和藍棋子的可能性都是存在的，如果把以上過程重復(fù)若干次，會發(fā)現(xiàn)在一般情況下，摸出紅棋子的次數(shù)比摸出藍棋子的次數(shù)多，因此，我們說摸出紅棋子的可能性更大。這種可能性的大小都是一種理論上的值，與實驗的結(jié)果有時會不一致，因為在實驗中過程，有時小概率事件也有可能會發(fā)生，雖然發(fā)生的可能性比較小。例如，在抽獎活動中，中獎的可能性比較小，不中獎的可能性比較大，但人們并不會因為不中獎的可能性很大就不去抽獎了，而是滿心期待小概率事件（中獎）的發(fā)生。但是在小學(xué)階段，學(xué)生對于抽象的、理論的可能性概念理解起來有一定的困難，只能借助實驗的結(jié)果來加以論證。雖然在一般情況下，不會出現(xiàn)小概率事件，但如果真的出現(xiàn)了，我們可以用以下的方式來加以修正。例如，在實驗之前，先不限定重復(fù)的次數(shù)，如果個別小組出現(xiàn)了這樣的小概率事件，第一種方法是繼續(xù)增加實驗的次數(shù)，因為從理論上說，實驗的次數(shù)增加到無窮大，摸出某種顏色棋子的次數(shù)所占的比就是摸出該種顏色棋子的概率。第二種方法是把全班所有小組的數(shù)據(jù)都整合起來，實際上原理與第一種方法也是一樣的，都是增加實驗的次數(shù)。十二、數(shù)學(xué)廣角的“排列組合”問題與二年級上冊的相關(guān)內(nèi)容如何區(qū)分教學(xué)層次？解答：這兩冊教材中都編入了“排列組合”的內(nèi)容，但教學(xué)要求是有所不同的。二年級只是讓學(xué)生通過動手操作的方式讓學(xué)生排一排，初步感受排列組合的思想和方法，所用的材料數(shù)量也比較少，例如，用3張數(shù)字卡片能擺出多少個兩位數(shù)，2件衣服和2條褲子有多少種搭配。而本冊的教學(xué)重點則是讓學(xué)生用不同的方式（如學(xué)具操作，畫簡圖、文字形式、字母形式）把排列組合的結(jié)果羅列出來，使學(xué)生學(xué)會用更簡潔、更抽象的方式來表達排列組合的方法。更為重要的是通過以上過程，引導(dǎo)學(xué)生思考如何搭配才能不重復(fù)、不遺漏地把所有結(jié)果都呈現(xiàn)出來，發(fā)展學(xué)生有序思考的意識和能力。所用的材料數(shù)量也有所增加，如，3件衣服和2條褲子有多少種搭配，用3張數(shù)字卡片能擺出多少個三位數(shù)。當然，如果教學(xué)實踐證明分為這樣兩個層次進行教學(xué)沒有太大必要，在下一輪教材修訂時我們也可以考慮將這兩個層次進行整合。三年級下冊疑難問題解答（人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)室 周小川）一、有關(guān)第一單元“位置與方向”的教學(xué)問題。1.教材中為什么要安排這一內(nèi)容？數(shù)學(xué)課程標準在第一學(xué)段的“空間與圖形”內(nèi)容標準中規(guī)定，“在東、南、西、北和東北、西北、東南、西南中，給定一個方向（東、南、西或北）辨認其余七個方向，并能用這些詞語描繪物體所在的方向；會看簡單的線路圖”。我們根據(jù)數(shù)學(xué)課程標準的規(guī)定在本冊教材中安排了“位置與方向”這個單元。對三年級的學(xué)生來說，東、南、西、北等方位概念是比較抽象的，學(xué)生需要大量的感性支柱和豐富的表象積累。因此，教材在這部分內(nèi)容編排上有以下幾點考慮。 充分利用學(xué)生已有的上、下、前、后、左、右的方位知識設(shè)計教學(xué)情境，幫助學(xué)生掌握本單元內(nèi)容。因為有研究證明兒童只有在牢固掌握了上、下、前、后、左、右這幾個基本空間方位之后，才能夠掌握按水平方向分出的東、南、西、北等方位概念。 依據(jù)學(xué)生的年齡特點和生活經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)了許多既符合這一階段兒童認知特點又便于操作的活動情境，使學(xué)生一方面親身體驗方位的知識，另一面又體會到方位知識與日常生活的密切聯(lián)系。例如，教科書中設(shè)計了讓學(xué)生到操場上學(xué)習(xí)辨認東、南、西、北等八個方向的活動情境，讓學(xué)生在熟悉的環(huán)境中，在觀察、描述和交流的過程中體驗方位的知識。2.“位置與方向”比較脫離學(xué)生的生活經(jīng)驗，不好上，如何更好地進行教學(xué)？ 這些方位概念對三年級的學(xué)生來說，確實比較抽象。而且由于地域的因素，有些學(xué)生在生活中也沒有相應(yīng)的經(jīng)驗支撐。因此，在教學(xué)時要以學(xué)生已有的知識和生活經(jīng)驗為基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)大量的活動情境，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，讓所有的學(xué)生都參與到活動中來。使學(xué)生在觀察、操作、想像、描述、表示和交流等數(shù)學(xué)活動中，豐富對方位知識的體驗，使學(xué)生獲得大量的感性支柱和豐富的表象積累。例如，在認識東、南、西、北四個方向時，就可以把學(xué)生帶到操場上，讓他們面向太陽升起的方向，確定東方，再與前、后、左、右這幾個基本空間方位相聯(lián)系：明確后面是西，左手指向北，右手指向南，認識四個方向。通過這樣一個簡單的操作活動，就讓所有的學(xué)生在參與活動的過程中，利用已有的基本空間方位知識（前、后、左、右）為基礎(chǔ)，與新知識（東、南、西、北四個方向）建立了聯(lián)系，獲得了對新知識的理解。二、第二單元“除數(shù)是一位數(shù)的除法”，例題、習(xí)題的編排上學(xué)生接受起來吃力。如，例3和例2跨度太大，學(xué)生較難適應(yīng)。1教材為什么改變了原來的編排，減少了例題？數(shù)學(xué)課程標準在第一學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容標準中規(guī)定，“能計算三位數(shù)除以一位數(shù)的除法”。在九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）（以下簡稱教學(xué)大綱）中要求學(xué)生“掌握一位數(shù)乘、除多位數(shù)的筆算法則，能夠比較熟練地計算”?？梢姅?shù)學(xué)課程標準與教學(xué)大綱相比，降低了筆算的復(fù)雜性與熟練程度。* 我們在整套教材“計算教學(xué)內(nèi)容”的編排上注意體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程標準的基本理念，注重培養(yǎng)學(xué)生靈活的計算能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。在本冊教材中“除數(shù)是一位數(shù)的除法”這個單元里，精心設(shè)計教學(xué)順序，加大教學(xué)的步子，從原通用教材的17課時減少為13課時，例題也從16個減少為9個，留給學(xué)生更大的探索和思考空間；讓學(xué)生在自主探索中獲得對筆算過程與算理的理解；加強估算。2.例3和例2跨度較大，如何進行教學(xué)？例3從整理照片為素材引出除法算式2386，然后呈現(xiàn)了兩個學(xué)生估算和筆算的過程，一方面注意培養(yǎng)學(xué)生的估算意識、另一方面體現(xiàn)估算、筆算各自不同的特點。這個例題里面難點比較集中，估算與筆算同時出現(xiàn)，要進行比較；被除數(shù)的最高位不夠商1；除不盡，有余數(shù)。在教學(xué)例3時，可先放手讓學(xué)生自主探索，如果大多數(shù)學(xué)生都有困難，教師可增加“一位數(shù)除三位數(shù)（商是兩位數(shù)能整除）”的題目，在學(xué)生突破了“被除數(shù)的最高位不夠商1”這個筆算難點之后，再呈現(xiàn)例3。三、有關(guān)第三單元“統(tǒng)計”的問題1.為什么從一年級下冊開始，幾乎每一冊書中都安排統(tǒng)計的內(nèi)容？數(shù)學(xué)課程標準在第一學(xué)段“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容標準中規(guī)定“在本學(xué)段中，學(xué)生將對數(shù)據(jù)統(tǒng)計過程有所體驗，學(xué)習(xí)一些簡單的收集、整理和描述數(shù)據(jù)的方法，能根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果回答一些簡單的問題”。而要使學(xué)生形成統(tǒng)計觀念，最有效的方法是讓他們真正投入到統(tǒng)計的全過程。*因此，我們根據(jù)數(shù)學(xué)課程標準的精神，從一年級開始安排統(tǒng)計知識的教學(xué)，以后的各年級都聯(lián)系學(xué)生的生活實際安排了統(tǒng)計的教學(xué)內(nèi)容。為學(xué)生提供了大量日常生活中各種各樣的例子，讓學(xué)生在經(jīng)歷收集、整理、描述、分析數(shù)據(jù)的過程中加深對有關(guān)概念、以及統(tǒng)計的意義和作用的理解，逐步形成統(tǒng)計觀念。2本冊“統(tǒng)計”中認識橫式統(tǒng)計圖，與認識豎式統(tǒng)計圖在其他要求上沒有太大的區(qū)別，因此感到這樣的內(nèi)容安排過長，可以在二年級統(tǒng)計知識的教學(xué)中，使學(xué)生對豎式統(tǒng)計圖與橫式統(tǒng)計圖比較觀察，更容易理解。在本冊的“統(tǒng)計”這一單元里，我們安排的“簡單的數(shù)據(jù)分析”這一小節(jié)，除了要利用學(xué)生已有的知識學(xué)習(xí)新的統(tǒng)計知識（了解不同形式的條形統(tǒng)計圖）之外，還有一個十分重要的目的，就是結(jié)合實際問題，進一步教學(xué)根據(jù)統(tǒng)計圖表進行簡單的數(shù)據(jù)分析，作出合理的推斷。數(shù)學(xué)課程標準強調(diào)統(tǒng)計過程性目標的達成及對統(tǒng)計表特征和統(tǒng)計量實際意義的理解。*本單元主要是通過這樣一個素材作載體，把數(shù)據(jù)分析與解決問題結(jié)合在一起，使學(xué)生再一次經(jīng)歷統(tǒng)計的全過程，更好的理解統(tǒng)計在解決問題中的作用，逐步形成統(tǒng)計觀念。四、第六單元“面積”題中，出現(xiàn)平方千米、公頃學(xué)生理解起來比較費勁，希望后移。1.教材為什么在六冊安排“平方千米、公頃”這一內(nèi)容？教材是如何處理的？數(shù)學(xué)課程標準在第一學(xué)段的“空間與圖形”內(nèi)容標準中規(guī)定“體會并認識面積單位（厘米2、米2、千米2、公頃）”。在原通用教材中，這一內(nèi)容是安排在六年制第七冊。我們根據(jù)數(shù)學(xué)課程標準的規(guī)定將此內(nèi)容提前到第一學(xué)段的最后一個學(xué)期，也就是本冊教材中進行安排。教材在編排中，以學(xué)生對體育場的廣闊面積的感性認識為基礎(chǔ)，幫助學(xué)生認識和理解這兩個較大的土地面積單位，并且考慮到學(xué)生尚未學(xué)習(xí)100100、10001000等計算，所以平方千米、公頃與平方米之間的進率不要求學(xué)生推算，只是介紹1公頃、1平方千米的具體規(guī)定。2.如何幫助學(xué)生理解這兩個土地面積單位？“公頃”和“千米2”這兩個土地面積單位比較大，對三年級的學(xué)生來說，形成表象確實有些因難。在教學(xué)中，可以先帶領(lǐng)學(xué)生到操場進行實地測量，量出邊長是100米的正方形土地，讓學(xué)生看一看1公頃的土地有多大，以便使學(xué)生對1公頃有多大形成明確的表象。再結(jié)合學(xué)生熟悉的場地，如教室的面積一般是50米2，200個教室的面積大約是1公頃，通過學(xué)生的想像，加深學(xué)生對“公頃”這個土地面積單位的認識。在使學(xué)生明確了邊長是1000米的正方形面積是1平方千米之后，教師可以在學(xué)生對1公頃形成了表象之后，讓學(xué)生想象一下100塊1公頃的土地，就是1平方千米大。還可以通過其他的素材幫助學(xué)生認識和想象，如，一個足球場的面積約7000平方米，140個足球場的面積約1平方千米。五、有關(guān)第七單元“小數(shù)