軟件學(xué)院高數(shù)(下)綜合練習(xí)題參考答案.doc

軟件學(xué)院高等數(shù)學(xué)（下）綜合練習(xí)參考答案 高等數(shù)學(xué)(下)綜合練習(xí)(一)一、計(jì)算下列各題：1.設(shè)求 解：；由輪換對(duì)稱性知： 2.設(shè)由方程 可以確定函數(shù), 求解一：（公式法）（這里互相獨(dú)立） 令則， ； 所以 解二：（一）方程兩邊同時(shí)關(guān)于求導(dǎo)（視為，并視常數(shù)），有：， ；（二）方程兩邊同時(shí)關(guān)于求導(dǎo)（視為，并視常數(shù)），有：， 所以 解三：方程兩邊取全微分，得： ，利用微分形式的不變性： 所以， 3. 設(shè),其中可微, 求 解： ； ；4. 求曲面在點(diǎn) 處的切平面與法線方程.解：設(shè) ，.則，所以，切平面的方程為：切平面的法線方程為： .5. 判定級(jí)數(shù) 的斂散性. 解： 記因?yàn)椋ǖ葍r(jià)替換） ，所以發(fā)散.6. 求函數(shù)的極值點(diǎn)解：（一）解方程組 或者 得兩個(gè)駐點(diǎn)： （二）（1）.在處，因?yàn)?，所以非極值點(diǎn).（2）.在處，因?yàn)?故 為極小值.二、計(jì)算下列積分：1.,其中D是由直線及所圍成的閉區(qū)域.解：2.,其中為曲面與平面所圍成的閉區(qū)域.解：本題宜采用“切片法”計(jì)算 如采用柱面坐標(biāo)系：3.，其中為圓周. 解：（上述倒數(shù)第二步用到了曲線積分的對(duì)稱性）4. ,其中為圓周上由點(diǎn)到的一段弧.解一：可化為其的參數(shù)方程為： 解二：記，記D為所圍成的區(qū)域.由格林公式，得： 又，故： 解三：由于，故與路徑無(wú)關(guān)， 5.其中為錐面被平面截出的頂部. 解：由 可算得 6. ,其中為半球面的上側(cè).解：若?。ㄏ聜?cè)）.則與一起構(gòu)成一個(gè)封閉曲面.記它們所圍成的半球型閉區(qū)域?yàn)?在上利用高斯公式，便得： 8. 求函數(shù)在閉區(qū)域上的最大值與最小值. 解：（一）內(nèi)部令所以，得唯一駐點(diǎn)，無(wú)偏導(dǎo)不存在的點(diǎn).（二）邊界 在邊界 （1）上，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 （2）在條件下的極值. 由（*）式，可設(shè)代入（2）得： 所以 在邊界上的最大值是；最小值是（三）比較與及知在閉區(qū)域上的最大值與最小值分別和.9求的和函數(shù),并求級(jí)數(shù)的和. 解：（一）所以，又在端點(diǎn)發(fā)散； 在端點(diǎn)也發(fā)散. 總之，的收斂區(qū)間為（二）設(shè)， 對(duì)積分， 所以 10. 把函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù). 解： 另由 收斂域?yàn)?高等數(shù)學(xué)(下)綜合練習(xí)(二)一.計(jì)算下列各題 1. 設(shè), 求; 解：； 所以 2. 設(shè),其中可微,求解：法一）用復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法 所以dz法二）用微分形式不變形3. 設(shè)可以確定函數(shù),求解：令F（x,y,z）= 用公式 ；4. 求曲面在點(diǎn)處的切平面與法線方程.解：設(shè) 則 切平面的方程： ；切平面法線方程： .5. 求的極值.解：（一）解方程組 或者 得兩個(gè)駐點(diǎn)： （二）（1）.在處，因?yàn)?，所以非極值點(diǎn).（2）.在處，因?yàn)?故 為極小值.6.求函數(shù)在橢球面上的最大值.解：所求最值問(wèn)題即為求在條件下的極值.令 求解方程組，四個(gè)可能的條件極值點(diǎn)： ，故在橢球面上的最大值為二.計(jì)算下列積分1. 計(jì)算; （交換積分次序）2.，其中.解： 3.其中D由x軸，圍成的平面區(qū)域. 解： 4. ,其中為圓周.解：5.,其中是由曲面圍成區(qū)域.解：本題宜采用“先二后一”計(jì)算 如采用柱面坐標(biāo)系：6. ,其中為圓周上由點(diǎn)(0,0)到(2,0)的一段.解一：可化為參數(shù)方程為： 解二：記，記D為所圍成的區(qū)域.由格林公式，得： - 又，故 7. ,其中為球面被平面截出的部分的頂部.解：由，則 ， .因此 8. 求其中為旋轉(zhuǎn)拋物面介于之間部分的下側(cè).解法一：（直接計(jì)算）（一）.將分成.其中的方程為，取前側(cè)；的方程為，取后側(cè).在平面上的投影區(qū)域均為，所以； .所以 （令） （二）（下側(cè)）在平面上的投影區(qū)域?yàn)楣?解法二：利用高斯公式計(jì)算 設(shè)的上側(cè)；則構(gòu)成封閉曲面的外側(cè).因此 解法三 ：化為第一型曲面積分計(jì)算.的向上的法向量，所以 .故 三.計(jì)算下列各題1. 判別級(jí)數(shù)的斂散性.解：，而 所以，收斂，從而原級(jí)數(shù)也收斂.2. 求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).解：（一）記 因?yàn)樗?，又在端點(diǎn)條件收斂； 在端點(diǎn)發(fā)散. 故，的收斂域?yàn)椋ǘ┰O(shè)，其中 對(duì)關(guān)于求導(dǎo)，有： 故