人教A版選修21 3.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 課件（28張） (1).pptx

空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 1 理解異面直線所成的角 直線與平面所成的角 二面角的概念 2 會用向量方法求兩條直線所成的角 線面角和二面角 3 體會向量方法在研究幾何問題中的作用 回顧一下二面角的定義 兩個(gè)半平面形成的二面角與這兩個(gè)半平面的法向量的夾角的關(guān)系 直角 半平面 平行線 銳角 攝影 銳角 垂直于棱 直二面角 0 相等 互補(bǔ) 1 已知二面角 l 的大小為60 且m n 則m n的夾角為 a 30 b 60 c 120 d 60 或120 d 解析 注意法向量的夾角可能與二面角的大小相等或互補(bǔ) 不能錯(cuò)選b 利用法向量求二面角的大小時(shí) 要結(jié)合具體題目選擇相等或互補(bǔ)的角 2 若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150 則l1與l2所成的角為 a 30 b 150 c 30 或150 d 以上均不對 解析 l1與l2所成的角與其方向向量的夾角相等或互補(bǔ) 但異面直線所成角的范圍為 0 2 故選a a 3 已知向量m n分別是直線l的方向向量與平面 的法向量 若cos 32 則l與 所成的角為 解析 設(shè)l與 所成的角為 則sin cos 32 60 60 如圖 在長方體abcd a1b1c1d1中 底面是邊長為2的正方形 高為1 求異面直線ad1和c1d所成角的余弦值 4 解析 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 則a 2 0 0 d 0 0 0 d1 0 0 1 c1 0 2 1 1 2 0 1 1 0 2 1 故異面直線ad1和c1d所成角余弦值為 cos 1 1 1 1 15 c 90 向量法計(jì)算直線與平面所成的角 如圖所示 在三棱錐p abc中 pa 平面abc ab ac pa ac 12ab n為ab上一點(diǎn) ab 4an m s分別為pb bc的中點(diǎn) 1 證明 cm sn 2 求sn與平面cmn所成角的正弦值 解析 設(shè)pa 1 以a為原點(diǎn) 射線ab ac ap分別為x y z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 則p 0 0 1 c 0 1 0 b 2 0 0 又an 14ab m s分別為pb bc的中點(diǎn) n 12 0 0 m 1 0 12 s 1 12 0 1 1 1 12 12 12 0 1 1 12 12 12 0 0 cm sn 2 12 1 0 設(shè)a x y z 為平面cmn的一個(gè)法向量 a 0 a 0 則 12z 0 12x y 0 2 2 取y 1 得a 2 1 2 設(shè)sn與平面cmn所成角為 sin cos 1 12 3 22 22 sn與平面cmn所成角的正弦值為22 7 用向量法計(jì)算二面角如圖所示 正三棱柱abc a1b1c1的所有棱長都為2 d為cc1的中點(diǎn) 求二面角a a1d b的余弦值 問題 上述結(jié)果正確嗎 1 已知a p 32 12 2 平面 的一個(gè)法向量n 0 12 2 則直線pa與平面 所成的角為 a 30 b 45 c 60 d 150 c 解析 設(shè)直線pa與平面 所成的角為 則sin cos 0 32 12 12 2 2 32 2 12 2 2 2 02 12 2 2 2 32 60 c 3 如圖 在直三棱柱abc a1b1c1中 acb 90 ac bc 1 cc1 2 則直線a1b與平面bb1c1c所成角的正弦值為 解析 以ca cb cc1所在直線分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則b 0 1 0 a 1 0 0 a1 1 0 2 1b 1 1 2 平面bb1c1c的一個(gè)法向量n 1 0 0 設(shè)直線a1b與平面bb1c1c所成角為 1b與n的夾角為 則cos 1b 1b 66 sin cos 66 直線a1b與平面bb1c1c所成角的正弦值為66 66 4 已知正 abc與正 bcd所在的平面垂直 求二面角a bd c的正弦值 2014年 新課標(biāo)全國 卷 直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分別是a1b1 a1c1的中點(diǎn) bc ca cc1 則bm與an所成角的余弦值為 a 110b 25c 3010d 22 c 解析 由于 bca 90 三棱柱為直三棱柱 且bc ca cc1 可將三棱柱補(bǔ)成正方體 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 設(shè)