運籌課程設(shè)計.doc

西安建筑科技大學(xué)課程設(shè)計（論文）任務(wù)書專業(yè)班級： 會計0702 學(xué)生姓名：王睿 指導(dǎo)教師（簽名）：楊茂盛 一、課程設(shè)計（論文）題目冬季煤炭運輸方案優(yōu)化研究二、本次課程設(shè)計（論文）應(yīng)達(dá)到的目的1、初步掌握運籌學(xué)知識在管理問題中應(yīng)用的基本方法與步驟；2、鞏固和加深對所學(xué)運籌學(xué)理論知識及方法的理解與掌握；3、鍛煉從管理實踐中提發(fā)掘煉問題，分析問題，選擇建立運籌學(xué)模型，利用模型求解問題，并對問題的解進行分析與評價的綜合應(yīng)用能力；4、通過利用運籌學(xué)計算機軟件求解模型的操作，掌握運籌學(xué)計算軟件的基本操作方法，并了解計算機在運籌學(xué)中的應(yīng)用；5、初步了解學(xué)術(shù)研究的基本方法與步驟，并通過設(shè)計報告（論文）的撰寫，了解學(xué)術(shù)報告（論文）的寫作方法。 三、本次課程設(shè)計（論文）任務(wù)的主要內(nèi)容和要求（包括原始數(shù)據(jù)、技術(shù)參數(shù)、設(shè)計要求等）1、問題的選擇與提出。結(jié)合專業(yè)本課程的知識與所在專業(yè)的知識，從某一具體的管理實踐活動中，確定具體的研究對象，提煉具體的研究問題；2、方法與模型的選擇。根據(jù)問題的性質(zhì)和特點，結(jié)合所學(xué)的運籌學(xué)知識，選擇分析和解決問題的方法及擬采用運籌學(xué)模型；3、數(shù)據(jù)的調(diào)查、收集與統(tǒng)計分析，以及具體模型的建立。收集和統(tǒng)計上述擬定之模型所需要的各種基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，并最終將數(shù)據(jù)整理形成分析和解決問題的具體模型；4、運籌學(xué)計算軟件的運用。運用運籌學(xué)計算軟件（主要是指Lindo軟件）求解所建立的運籌學(xué)模型，并打印計算結(jié)果，列入設(shè)計成果；5、解的分析與評價。結(jié)合所研究問題的實際背景，對模型的解進行評價、分析以及調(diào)整，并對解的實施與控制提出合理化的建議；6、設(shè)計工作的總結(jié)與成果整理，撰寫設(shè)計報告，報告要復(fù)合規(guī)范要求。四、應(yīng)收集的資料及主要參考文獻： 應(yīng)收集的資料：1研究對象的現(xiàn)狀數(shù)據(jù)材料2與所建模型的參數(shù)、系數(shù)、約束條件等因素相關(guān)的數(shù)據(jù)材料主要參考文獻：1徐玖平, 胡知能, 王緌. 運籌學(xué)(第二版). 北京: 科學(xué)出版社, 20042胡運權(quán). 運籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社, 19983H. P. Williams.數(shù)學(xué)規(guī)劃模型建立與計算機應(yīng)用. 北京:國防工業(yè)出版社,1991五、審核批準(zhǔn)意見教研室主任（簽字） 目錄一.緒論51.1背景51.2研究目的與主要內(nèi)容51.3研究的意義51.4方法與思路6二理論綜述62.1 提出問題62.2 分析問題72.3 建立擴展模型82.3.1 確定方法82.3.1 約定符號82.3.3 設(shè)置變量102.3.4 確定目標(biāo)函數(shù)102.3.5 確定約束條件102.3.6 建立模型112.4 建立具體模型122.4.1 確定變量122.4.2 目標(biāo)函數(shù)132.4.3 約束條件132.5 計算142.5.1 使用軟件142.5.2 分析結(jié)果162.6 靈敏度分析16三 總結(jié)20設(shè)計說明運籌學(xué)主要研究經(jīng)濟活動和軍事活動中能用數(shù)量來表達(dá)的有關(guān)策劃、管理方面的問題。當(dāng)然，隨著客觀實際的發(fā)展，運籌學(xué)的許多內(nèi)容不但研究經(jīng)濟和軍事活動，有些已經(jīng)深入到日常生活當(dāng)中去了。運籌學(xué)可以根據(jù)問題的要求，通過數(shù)學(xué)上的分析、運算，得出各種各樣的結(jié)果，最后提出綜合性的合理安排，已達(dá)到最好的效果。運籌學(xué)作為一門用來解決實際問題的學(xué)科，在處理千差萬別的各種問題時，一般有以下幾個步驟：確定目標(biāo)、制定方案、建立模型、制定解法。運籌學(xué)的具體內(nèi)容包括：規(guī)劃論（包括線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃）、圖論、決策論、對策論、排隊論、存儲論、可靠性理論等。線性規(guī)劃是運籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個重要分支,它是輔助人們進行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法.在經(jīng)濟管理、交通運輸、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等經(jīng)濟活動中，提高經(jīng)濟效果是人們不可缺少的要求，而提高經(jīng)濟效果一般通過兩種途徑：一是技術(shù)方面的改進，例如改善生產(chǎn)工藝，使用新設(shè)備和新型原材料.二是生產(chǎn)組織與計劃的改進，即合理安排人力物力資源.線性規(guī)劃所研究的是：在一定條件下，合理安排人力物力等資源，使經(jīng)濟效果達(dá)到最好.一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。決策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)是線性規(guī)劃的三要素.關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃、運輸方案、運輸量、最小化一. 緒論1.1 背景隨著冬季的到來，北方許多地區(qū)都開始供暖了。但是，北方大多數(shù)地區(qū)都是使用燒煤來進行取暖，這樣，就需要運輸煤炭。就必然存在著與運輸相關(guān)的一些問題。1.2 研究目的與主要內(nèi)容本次課程設(shè)計是要運用所學(xué)運籌學(xué)的知識，結(jié)合實際問題，對提出的問題作一個較為簡單的研究。該設(shè)計所研究的問題，便是“冬季煤炭運輸方案的優(yōu)化研究”。 在選題方面，傾向于對產(chǎn)銷不平衡運輸問題的計算研究，因為在實際生產(chǎn)生活中，產(chǎn)銷平衡的運輸問題是不存在的，在實際問題中，需求量也并不局限于某一固定的值，因此，結(jié)合具體情況，選擇冬季煤炭運輸方案的優(yōu)化研究。在本次研究中，會運用運籌學(xué)的基本理論和表上作業(yè)法以及Lindo軟件等作為研究手段和工具，以達(dá)到冬季煤炭運輸方案最優(yōu)化的目的。1.3 研究的意義本次研究的最直接的意義便是針對冬季煤炭運輸方案的研究，采用最優(yōu)方案以節(jié)省人力、物力、財力，并為以后的煤炭供求及運輸調(diào)整作鋪墊。另外，也是對運籌學(xué)的實際運用，便于更加熟練地解決實際問題。1.4 方法與思路首先是對提出問題的分析，確定各小區(qū)煤炭的需求量，搜集相關(guān)數(shù)據(jù)。繼而建立擴展模型，再建立具體模型。對該具體問題具體分析，運用運籌學(xué)基本知識，運輸問題的解決手段，用Lindo軟件求解，并對所得結(jié)果進行分析、評價。最后進行靈敏度分析，得出結(jié)論，提出建議。二理論綜述 2.1 提出問題現(xiàn)在有三個煤炭生產(chǎn)廠（新月、通達(dá)、明日），計劃向四個小區(qū)（朝陽、龍泉、桂園、宏安）運輸煤炭，現(xiàn)在需要制定運輸方案，以確保運費最少。由于宏安小區(qū)大門太小，明日煤炭廠不能向其運送煤炭。收點表1 煤炭運輸供求及單價表單價（萬元）發(fā)點朝陽龍泉桂園宏安供給量（萬噸）新月1613221750通達(dá)1413191560明日192023/50低限需求（萬噸）3070010高限需求（萬噸）507030不限2.2 分析問題這個問題有兩個特點：一是產(chǎn)銷不平衡的問題。二是需求量可以變化，不是唯一的，低限需求總量為30+70+0+10=110（萬噸），而高限需求量為無限。因此可以有一個假想的制造分廠D，用它來“滿足”部分高限需求，為了利用平衡問題的運輸模型，首先要將宏安的高限需求的“不限”給予一個確定值，因為這個“無限”是宏安地區(qū)希望得到的高限需求，而實際上這三個制造分廠能為這個地區(qū)供給的數(shù)量，只有在使朝陽、龍泉、桂園這三個地區(qū)的低限需求都得到滿足時的余額，即：（50+60+50）（30+70+0）=60（萬噸）其次對于本題要考慮的是各地區(qū)的低限需求是必須滿足的，因此它不能由假想制造分廠D供給，為了解決這個矛盾，將每個其低限需求與高限需求不同的地區(qū)再一分為二，如朝陽分作“朝陽1”和“朝陽2”，其中，“朝陽1”是低限需求，為30萬噸。為了保證假想制造分廠D不給它供應(yīng)，可設(shè)從制造分廠D到“朝陽1”的煤炭運輸單價為一個很大的正數(shù)M，而“朝陽2”的需求量=高限需求“朝陽1”的需求=50-30=20（萬噸）同樣，“宏安”也可分為“宏安1”和“宏安2”。從而建立下表（表2）。如此以來，便將一個產(chǎn)銷不平衡的問題變成了一個產(chǎn)銷平衡的運輸問題，根據(jù)表上作業(yè)法便可得最優(yōu)調(diào)運方案。表2 煤炭運輸供求及單價調(diào)整表 收點單位運價（萬元）發(fā)點朝陽1朝陽2龍泉桂園宏安1宏安2可發(fā)運量（萬噸）A16161322171750B14141319151560C19192023MM50DM0M0M050需求（萬噸）302070301050 2.3 建立擴展模型 2.3.1 確定方法根據(jù)前面的分析，可以明顯地看出來，這個問題屬于運輸問題的范疇，那么，采用的運籌方法便是運輸問題的求解方法。是先將產(chǎn)銷不平衡的運輸問題轉(zhuǎn)化為產(chǎn)銷平衡的運輸問題，再加以求解的方法。 2.3.1 約定符號為了使計算與表述方便明確，對收點、發(fā)點以及各變量的符號作如下約定：各制造分廠（發(fā)點）用A、B、C、D表示其中D為假想的制造分廠，以便將產(chǎn)銷不平衡問題轉(zhuǎn)變?yōu)楫a(chǎn)銷平衡問題。各省市地區(qū)（收點）用羅馬數(shù)字表示：朝陽，朝陽1，朝陽2；龍泉；桂園；宏安，宏安1，宏安2。aj為供應(yīng)量，bi為需求量；m為收點個數(shù)，n為發(fā)點個數(shù)。表3 冬季煤炭運輸供求及單價表收點單價（萬元）發(fā)點aj（萬噸）A1613221750B1413191560C192023/50minbi（萬噸）3070010maxbi（萬噸）507030不限表4 冬季煤炭供求及運輸單價調(diào)整表 收點單位運價（萬元）發(fā)點aj（萬噸）A16161322171750B14141319151560C19192023MM50DM0M0M050bi（萬噸）302070301050 2.3.3 設(shè)置變量該運輸問題的關(guān)鍵所在，便是運輸價格。而決定總價格的，則是各個價格對應(yīng)的運輸量，所以說，運輸量是本問題的核心，即應(yīng)采取什么樣的運輸量的分配方案。則用變量xij（i=1，2，m；j=1，2，n）表示各發(fā)點到收點的運輸量，也就是說xij為決策變量，顯而易見，xij表示的是運輸量，只能取正數(shù)，即xij0。 2.3.4 確定目標(biāo)函數(shù)該問題是將煤炭運輸方案優(yōu)化，以確保運輸費用最小，因此，目標(biāo)函數(shù)應(yīng)當(dāng)確立為：minf(x)=cx （其中c為運輸單價） 2.3.5 確定約束條件在現(xiàn)實生活中，影響運輸決策的因素很多，為了簡化問題，這里我們只考慮供求量對運輸決策的約束。由此，需要考慮的約束與限制因素主要有以下幾個方面：（1） 由于煤炭廠的供應(yīng)不是無限制的，所以所有運輸量之和不應(yīng)該超過三個煤炭廠的供應(yīng)總量。用式子表示為：xa其中，x11+ x12+ + x1na1x21+ x22+ + x2na2xm1+ xm2+ + xmnam（2）各小區(qū)對煤炭的需求量也是有限制的，運輸量必須滿足最低需求，也不能超過最高需求。用式子表示：xminbxmaxb其中，x11+ x21+ + xm1minb1x11+ x21+ + xm1maxb1x12+ x22+ + xm2minb2x12+ x22+ + xm2maxb2x1n+ x2n+ + xmnminbnx1n+ x2n+ + xmnmaxbn（3）當(dāng)然，變量表示的是運輸量，所以有：xij0（i=1，2，m；j=1，2，n） 2.3.6 建立模型綜上所述，建立煤炭運輸策略線性規(guī)劃模型如下：求一組變量xij（i=1，2，m；j=1，2，n）的值，使目標(biāo)函數(shù)：minf(x)=cx取得最小值，并滿足以下約束條件的要求：x11+ x12+ + x1na1x21+ x22+ + x2na2xm1+ xm2+ + xmnamx11+ x21+ + xm1minb1x11+ x21+ + xm1maxb1x12+ x22+ + xm2minb2x12+ x22+ + xm2maxb2x1n+ x2n+ + xmnminbnx1n+ x2n+ + xmnmaxbnxij0（i=1，2，m；j=1，2，n） 2.4 建立具體模型 2.4.1 確定變量根據(jù)該題，可知：x11: 表示由新月向朝陽的煤炭運輸量，單位為萬噸；x12: 表示由新月向龍泉的煤炭運輸量，單位為萬噸；x13: 表示由新月向桂園的煤炭運輸量，單位為萬噸；x14: 表示由新月向宏安的煤炭運輸量，單位為萬噸；x21: 表示由通達(dá)向朝陽的煤炭運輸量，單位為萬噸；x22: 表示由通達(dá)向龍泉的煤炭運輸量，單位為萬噸；x23: 表示由通達(dá)向桂園的煤炭運輸量，單位為萬噸；x24: 表示由通達(dá)向宏安的煤炭運輸量，單位為萬噸；x31: 表示由明日向朝陽的煤炭運輸量，單位為萬噸；x32: 表示由明日向龍泉的煤炭運輸量，單位為萬噸；x33: 表示由明日向桂園的煤炭運輸量，單位為萬噸； 2.4.2 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)為：minf(x)=16x11+13x12+22x13+17x14+14x21+13x22+19x23+15x24+19x31+20x32+23x33 2.4.3 約束條件對于煤炭廠商來說，貨物全部發(fā)出去自然是最好的，也就是說，供應(yīng)貨物（160萬噸）應(yīng)當(dāng)全部發(fā)出，則新月、通達(dá)、明日三場發(fā)出的貨物應(yīng)當(dāng)分別等于50萬噸、60萬噸、50萬噸。所以，該問題的約束條件為：x11+x12+x13+x14=50x21+x22+x23+x24=60x31+x32+x33=50x11+x21+x3130x11+x21+x3150x12+x22+x32=70x13+x23+x3330x14+x2410xij0（i=1,2,3；j=1,2,3,4） 2.5 計算 2.5.1 使用軟件在Lindo軟件中輸入的命令：min 23x11+18x12+20x13+17x14+14x21+23x22+19x23+25x24+19x31+20x32+23x33+20x34st x11+x12+x13+x14=50 x21+x22+x23+x24=60 x31+x32+x33=50 x11+x21+x3130 x11+x21+x3150 x12+x22+x32=70 x13+x23+x3310end計算結(jié)果：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 8 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 2460.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 4.000000 X12 50.000000 0.000000 X13 0.000000 7.000000 X14 0.000000 2.000000 X21 0.000000 2.000000 X22 20.000000 0.000000 X23 0.000000 4.000000 X24 40.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 0.000000 X33 0.000000 1.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -15.000000 3) 0.000000 -15.000000 4) 0.000000 -22.000000 5) 20.000000 0.000000 6) 0.000000 3.000000 7) 0.000000 2.000000 8) 30.000000 0.000000 9) 30.000000 0.000000 NO. ITERATIONS=8 2.5.2 分析結(jié)果從計算結(jié)果可看出：只有X12，X22，X24，X31有值，其余變量均為零。這表示：X12=50，表示從新月到的運輸量為50萬噸；X22=20，表示從通達(dá)到的運輸量為20萬噸；X24=40，表示從通達(dá)到的運輸量為40萬噸；X31=50，表示從明日到的運輸量為50萬噸。從表中“1) 2460.000”可得出，采用該運輸方案，花費為2460萬元。這就是煤炭運輸?shù)淖顑?yōu)方案。 2.6 靈敏度分析以上得出的數(shù)據(jù)是在基本數(shù)據(jù)為確定的值時，得出的結(jié)果，但是在實際生產(chǎn)生活中，隨著最優(yōu)方案的實施，基本數(shù)據(jù)會發(fā)生一定的變化，這些變化有可能會影響最優(yōu)方案的最優(yōu)性，甚至?xí)耆品畛踔贫ǖ淖顑?yōu)方案。所以，為了確保所用方案最優(yōu)，也為了便于在方案實施過程中對重要影響因素的變化情況進行監(jiān)督控制，就必須在方案制定后對它進行靈敏度分析，找出靈敏度較強的因素，這樣，就可以在方案實施過程中對其進行重點的監(jiān)督和控制。前文中，我們已經(jīng)將基本數(shù)據(jù)代入了所建立的線性規(guī)劃模型中，得出了問題的具體模型，并將其輸入到Lindo軟件當(dāng)中，在此基礎(chǔ)上，我們可以利用Lindo軟件進行靈敏度分析，得出如下的靈敏度計算結(jié)果：RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X11 16.000000 INFINITY 4.000000 X12 13.000000 2.000000 INFINITY X13 22.000000 INFINITY 7.000000 X14 17.000000 INFINITY 2.000000 X21 14.000000 INFINITY 2.000000 X22 13.000000 2.000000 1.000000 X23 19.000000 INFINITY 4.000000 X24 15.000000 1.000000 3.000000 X31 19.000000 2.000000 INFINITY X32 20.000000 1.000000 2.000000 X33 23.000000 INFINITY 1.000000RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 20.000000 30.000000 3 60.000000 INFINITY 30.000000 4 50.000000 20.000000 0.000000 5 30.000000 20.000000 INFINITY 6 50.000000 0.000000 20.000000 7 70.000000 30.000000 20.000000 8 30.000000 INFINITY 30.000000 9 10.000000 30.000000 INFINITY根據(jù)以上的計算結(jié)果，可以得出運輸單價因素的敏感性分析結(jié)果，如下表所示：表5 運輸單價因素敏感性分析表運輸 數(shù)值單價（萬元）因素原值上限下限X1116無窮12X1213150X1322無窮15X1417無窮15X2114無窮12X22131512X2319無窮15X24151612X3119210X32202118X3323無窮22根據(jù)以上的計算結(jié)果，還可以得出供求因素的敏感性的分析結(jié)果，如下表所示：表6 供求因素敏感性分析表運輸 數(shù)量 值 （萬噸） 因素原值上限下限A的供應(yīng)量507020B的供應(yīng)量60無窮30C的供應(yīng)量507050的最低需求量30500的最高需求量505030的需求量7010050的最高需求量30無窮0的最低需求量10400根據(jù)上表可以看出來，C的供應(yīng)量、的最高需求量的變化區(qū)間較小，即靈敏度較高。那么，這兩個因素便是主要的敏感因素。 三 總結(jié)本次設(shè)計旨在學(xué)會利用運籌學(xué)原理和方法，解決實際生活中的問題。本次課程設(shè)計的題目為“冬季煤炭運輸方案的優(yōu)化研究”，即是對貨物運輸方案的一個簡化問題的研究。三個煤炭廠向四個小區(qū)運輸煤炭，已經(jīng)運輸單價，須求花費最小，為了簡便，只考慮供給和需求條件的約束，這樣，便產(chǎn)生了一個產(chǎn)銷不平衡的運輸問題（此為供求不平衡），需求量有上下限，并還有無最高限的一個條件。為了解決問題，虛設(shè)了一個發(fā)點D，將產(chǎn)銷不平衡的運輸問題轉(zhuǎn)變成為了一個產(chǎn)銷平衡的運輸問題，這樣就可以求解。繼而建立模型，包括擴展模型和具體模型，使用Lindo軟件求解，得出最優(yōu)方案。最后進行靈敏度檢驗（使用Lindo軟件），分析并得出結(jié)論。用計算機軟件求解第一章和第二章習(xí)題1.3求解結(jié)果如下:(1)min -x1+2x2st1)x1-x2-22)x1+2x263)x104)x2-22)x1+x2-2End LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 2.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 0.000000 X2 2.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 0.000000 -1.000000 NO. ITERATIONS= 0(4)max3x1+6x2st1)x1-x2-22)x1+x26End LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 30.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.000000 0.000000 X2 4.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 0.000000 -1.500000 2) 0.000000 4.500000 NO. ITERATIONS= 0(5)min 2x1+x2st1)-x1+2x282)x1+2x2123)2x1+x216End LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.0000000E+00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 2.000000 X2 0.000000 1.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 8.000000 0.000000 2) 12.000000 0.000000 3) 16.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 3(6)max 3x1+6x2st1)x1-x2-22)x1+x2-5End OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.0000000E+00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 2.000000 X2 0.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) -2.000000 1.000000 2) -5.000000 1.000000 NO. ITERATIONS= 01.7求解結(jié)果如下:(1)max x1+3x2st1)x152)x1+2x2103)x24End LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 14.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.000000 0.000000 X2 4.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 3.000000 0.000000 2) 0.000000 1.000000 3) 0.000000 1.000000 NO. ITERATIONS= 1(2)max 2x1-x2+x3st1)3x1+x2+x3602)x1-x2+2x3103)x1+x2-x320End LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 25.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 15.000000 0.000000 X2 5.000000 0.000000 X3 0.000000 1.500000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 10.000000 0.000000 2) 0.000000 1.500000 3) 0.000000 0.500000 NO. ITERATIONS= 1(3)min 3x1+x2+x3+x4st1)-2x1+2x2+x3=42)3x1+x2+x4=6End LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 6.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 0.000000 X2 2.000000 0.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 4.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 0.000000 0.000000 2) 0.000000 -1.000000 NO. ITERATIONS= 0(4)max x1+2x2+3x3+4x4st1)x1+2x2+2x3+2x4202)2x1+x2+3x3+2x420End LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 40.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 3.000000 X2 0.000000 0.000000 X3 0.000000 3.000000 X4 10.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 0.000000 0.000000 2) 0.000000 2.000000 NO. ITERATIONS= 0(5)min -2x1-8x2+x3st1)2x1-9x2+3x3-203)4x1-6x2-2x315EndUNBOUNDED VARIABLES ARE: X2 SLK 2 SLK 3 X1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) -0.9999990E+08 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 3.750000 0.000000 X2 99999904.000000 118.500000 X3 0.000000 -32.500000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 22.500000 -6.000000 2) 23.750000 -6.500000 3) 0.000000 -1.500000 NO. ITERATIONS= 1(6)max x1+6x2+4x3st1)-x1+2x2+2x3132)4x1-4x2+x3203)x1+2x2+x322)-x1+x23End OBJECTIVE FUNCTION VAL