拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì).doc

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)一、拋物線定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.其中定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),定直線l 叫做拋物線的準(zhǔn)線想一想: 定義中的定點(diǎn)與定直線有何位置關(guān)系?點(diǎn)F不在直線L上,即過(guò)點(diǎn)F做直線垂直于l于F，|FK|=P則P0求拋物線的方程解：設(shè)取過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，線段KF的中垂線y軸 設(shè)KF= p 則F（），l：x = -。設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)M（X，Y）定義可知 |MF|=|MN| 即： 化簡(jiǎn)得 y2 = 2px（p0）二、標(biāo)準(zhǔn)方程把方程 y2 = 2px（p0）叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中F（，0），l：x = - 而p 的幾何意義是: 焦 點(diǎn) 到 準(zhǔn) 線 的 距 離|FK|一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其它形式.1四種拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)比圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程2、怎樣把拋物線位置特征（標(biāo)準(zhǔn)位置）和方程的特點(diǎn)（標(biāo)準(zhǔn)方程）統(tǒng)一起來(lái)？ 頂點(diǎn)在原點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)軸為x軸 對(duì)稱(chēng)軸為y軸標(biāo)準(zhǔn)方程為 標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=+ 2px(p0) x2=+ 2py(p0) 開(kāi)口與x軸 開(kāi)口與x軸 開(kāi)口與y軸 開(kāi)口與y軸同向： 反向: 同向： 反向:y2=+2px y2=-2px x2=+2py x2=-2py(p0) (p0) (p0) (p0)三、拋物線的性質(zhì)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p0)，則（1）范圍：拋物線上的點(diǎn)(x,y)的橫坐標(biāo)x的取值范圍是x0.,在軸右側(cè)拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸。（2）對(duì)稱(chēng)性：這個(gè)拋物線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸叫做拋物線的軸.拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn). （3）頂點(diǎn)：拋物線和它的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)，這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。（4）離心率：拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它的準(zhǔn)線的距離的比叫做拋物線的離心率，其值為1.（5）在拋物線y22px（p0）中，通過(guò)焦點(diǎn)而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，連結(jié)這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑，它的長(zhǎng)為2p.（6）平行于拋物線軸的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn). 但它不是雙曲線的切線.（7）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)四、例題講解例1.求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程(1)y2=6x （2） （3）2x2+5y=0解：（1）因?yàn)?p=6，p=3，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是（，0） 準(zhǔn)線方程是x=-（2）因?yàn)?p=，p=，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，）， 準(zhǔn)線方程是Y=-（3）拋物線方程是2x2+5y=0, 即x2=-y, 2p=，則焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-）, 準(zhǔn)線方程是y=例2.根據(jù)下列條件寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-2） (2)焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上 (3) 拋物線過(guò)點(diǎn)A（-3，2）。解：(1)因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，并且p/2=2，p=4， 所以拋物線的方程是x2=-8y(2)由題意，焦點(diǎn)應(yīng)是直線3x-4y-12=0與x軸或y軸的交點(diǎn)， 即A（4，0）或 B（0，-3）當(dāng)焦點(diǎn)為A點(diǎn)時(shí)，拋物線的方程是y2=16x當(dāng)焦點(diǎn)為B點(diǎn)時(shí)，拋物線的方程是x2=-12y(3) 當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正半軸上時(shí)，把A（-3，2）代入x2 =2py，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時(shí) 得 p= 把A（-3，2）代入y2 = -2px，得 p=拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 =y或y2 = -x例3. 設(shè)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。（1）求點(diǎn)P到點(diǎn)A（-1，1）的距離與點(diǎn)P到直線的距離之和的最小值；（2）若B（3，2），求的最小值。解：（1）如圖3，易知拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線是由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離。于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A（-1，1）的距離與點(diǎn)P到F（1，0）的距離之和最小。顯然，連結(jié)AF交曲線于P點(diǎn)，則所求最小值為，即為。圖4圖3（2）如圖4，自點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于Q交拋物線于點(diǎn)P1，則，則有=4即的最小值為4鞏固練習(xí)：1、已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 解析：運(yùn)用拋物線的定義，將到該拋物線準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，如右圖，當(dāng)點(diǎn)與以及三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和最小，即為2、已知A（3，1），拋物線上一點(diǎn)P（x,y），則|PA|+y的最小值為 。解析：拋物線的準(zhǔn)線為：y= -1，焦點(diǎn)F（0，1），記P在直線y= -1上的射影為Q，則y=|PQ|-1=|PF|-1，|PA|+y=|PA|+|PF|-1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求|PA|+|PF|的最小值，易見(jiàn)：|PA|+|PF|AF|=3，當(dāng)且既當(dāng)F、P、A共線時(shí)等號(hào)成立，故：|PA|+y的最小值為2。3、求證：以拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓，必與此拋物線的準(zhǔn)線相切。證明：如圖5，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作AC、BD垂直于，垂足分別為C、D。取線段AB中點(diǎn)M，作MH垂直于H。圖5由拋物線的定義有：ABDC是直角梯形即為圓的半徑，而準(zhǔn)線過(guò)半徑MH的外端且與半徑垂直，故本題得證。4、已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上且，則的面積為 解析：如圖，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，由拋物線定義得，又則，在中，即，此時(shí)垂直于軸，為等腰直角三角形，故面積為5、設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸.。證明：直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,拋物線的焦點(diǎn)為F（，0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+，代入拋物線方程，得y2-2pmy-p2=0.設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則y1、y2是該方程的兩根，y1y2=-p2.BCx軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=-上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-，y2）.直線OC的斜率為k=，即k也是直線OA的斜率.直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.6、A、B是拋物線y2=2px(p0)上的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足OAOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.求證：（1）A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積分別為定值；（2）直線AB經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).證明（1）設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則y12=2px1、y22=2px2.OAOB,x1x2+y1y2=0，y12y22=4p2x1x2=4p2(-y1y2).y1y2=-4p2，從而x1x2=4p2也為定值.（2）y12-y22=2p(x1-x2)，.由兩點(diǎn)式可得：令y=0。可得直線AB與x軸的焦點(diǎn)坐標(biāo)直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（2p，0）.7、若橢圓(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)分成53的兩段，則此橢圓的離心率為 ： (A) (B) (C) (D)來(lái)源:Zxxk.Com解析：拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)為F（，0），F(xiàn)將線段F1F2分成53的兩段，（+c）：（c -）=53c=2be=,選D。8、斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于點(diǎn)A、B，求線段A、B的長(zhǎng)分析：這是靈活運(yùn)用拋物線定義的題目基本思路是：把求弦長(zhǎng)AB轉(zhuǎn)化為求A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的和解：如圖831，y2=4x的焦點(diǎn)為F (1，0)，則l的方程為y=x1由消去y得x26x+1=0設(shè)A (x1，y1)，B (x2，y2) 則x1+x2=6又A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則9、如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).則APB的重心G的軌跡方程為 .解析：設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，y/=2x，兩切線斜率分別為：2x0和2x1,于是：切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以APB的重心G的坐標(biāo)為 ，結(jié)合=代入點(diǎn)P所在在直線方程，得到重心G的軌跡方程為：注：上述求軌跡的方法稱(chēng)為“參數(shù)法”，一般先設(shè)法將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用“參數(shù)”表示，再消參數(shù)。10、過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線，分別交準(zhǔn)線于P、Q兩點(diǎn)，又過(guò)P、Q分別作拋物線對(duì)稱(chēng)軸OF的平行線，交拋物線于M、N兩點(diǎn)，則M、N、F三點(diǎn)（ ）A.共圓B.共線C.在另一拋物線上D.分布無(wú)規(guī)律【解析】設(shè)M(x1，y1)，（x2，y2），設(shè)拋物線方程為y22px.則F（，0），準(zhǔn)線x=,P（，y1），（，y2）由PFQF得1，y1y2p2kMFkNFM、N、F共線.11、拋物線y2=4x的焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成長(zhǎng)是m和n的兩部分，則m與n的關(guān)系是（ ）A.m+n=mnB.m+n=4C.mn=4D.無(wú)法確定【解析】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為(1，0)，當(dāng)焦點(diǎn)弦與拋物線的軸垂直時(shí)，m=2,n=2,m+n=mn.當(dāng)焦點(diǎn)弦與拋物線的軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦所在直線方程為y=k(x1)(k0).把y=k(x1)代入y2=4x并整理得k2x22（k2+2）x+k2=0.x1x2=1,m=x1+1,n=x2+1,x1=m1,x2=n1代入x1x2=1得(m1)(n1)=1即m+n=mn.【答案】A課后作業(yè)：一、選擇題1對(duì)拋物線y4x2，下列描述正確的是()A開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為(0,1)B開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為(0，)C開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為(1,0) D開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為(0，)解析：由y4x2得x2y，開(kāi)口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)答案：B2焦點(diǎn)在直線x1上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ay22x Bx24y Cy24x Dy24x解析：由焦點(diǎn)在x1上，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，拋物線開(kāi)口向右且1，p2，方程為y22px4x.答案：D3若拋物線y2ax的焦點(diǎn)與橢圓1的左焦點(diǎn)重合，則a的值為()A4 B2 C8 D4解析：由橢圓可知左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，拋物線開(kāi)口向左且2，p4，故方程為y28x，a8.答案：C4拋物線y2x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是2，則點(diǎn)P坐標(biāo)為()A(，) B(，) C(，) D(，)解析：設(shè)P(x，y)，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離為2，點(diǎn)P到準(zhǔn)線x的距離也是2，即x2，x，y.答案：B5若A是定直線l外的一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A且與l相切的圓的圓心的軌跡是()A圓 B橢圓 C雙曲線一支 D拋物線圖1解析：如圖1，以直線l為y軸，以過(guò)點(diǎn)A且與l垂直的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)圓的圓心為P，則|PA|PB|.即動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A和到定直線l的距離相等，依定義可知，動(dòng)圓圓心的軌跡為拋物線答案：D6已知F是拋物線yx2的焦點(diǎn)，P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PF中點(diǎn)的軌跡方程是()Ax22y1 Bx22y Cx2y Dx22y2解析：由yx2得x24y，F(xiàn)(0,1)設(shè)PF中點(diǎn)M(x，y)，P(x0，y0)則即.又(x0，y0)在x24y上，故4x24(2y1)得x22y1.答案：A二、填空題7過(guò)(2,4)點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析：由已知可設(shè)拋物線方程為x2my代入點(diǎn)(2,4)得44m，m1故方程為x2y.答案：x2y8已知拋物線yx2，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則坐標(biāo)原點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為_(kāi)解析：由拋物線的方程可得：x24y，焦點(diǎn)坐標(biāo)F(0,1)，將y1代入方程可得：x2.|AB|4，SOAB|OF|AB|142.答案：29設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|_.解析：由y24x得F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1，又0，可知F是ABC的重心，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，1，即x1x2x33.又拋物線定義可得|x11，|x21，|x31|x1x2x33336.答案：6三、解答題10拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)，并且這條準(zhǔn)線垂直于x軸，又拋物線與雙曲線交于點(diǎn)P(，)，求拋物線和雙曲線的方程圖2解：交點(diǎn)在第一象限，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其準(zhǔn)線垂直于x軸，可設(shè)拋物線方程為y22px(p0)點(diǎn)P(，)在拋物線上，()22p，p2，y24x.y24x的準(zhǔn)線為x1，且過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，c1，c1，即有a2b21，又點(diǎn)P(，)在雙曲線上，1.聯(lián)立，解得a2，b2，雙曲線方程為4x2y21.故所求的拋物線與雙曲線方程分別為y24x和4x2y21.11拋物線y22px(p0)有一內(nèi)接直角三角形，直角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，一直角邊的方程是y2x，斜邊長(zhǎng)是5，求此拋物線方程解：設(shè)AOB為拋物線的內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)為O，AO邊的方程是y2x，則OB邊的方程是yx.由可得點(diǎn)A坐標(biāo)為(，p)由可得點(diǎn)B坐標(biāo)為(8p，4p)|AB|5，5.p0，解得p，所求的拋物線方程為y2x.12已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)(y0)到定點(diǎn)F(0,1)的距離和它到直線y1的距離相等，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)