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學習資料收集于網(wǎng)絡(luò),僅供參考平面向量基本定理與三角形四心已知是內(nèi)的一點,的面積分別為,求證:如圖2延長與邊相交于點則圖1 圖2 推論是內(nèi)的一點,且,則有此定理可得三角形四心向量式是的重心是的內(nèi)心是的外心是的垂心 證明:如圖為三角形的垂心,同理得,奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一4.2三角形“四心”的相關(guān)向量問題一知識梳理:四心的概念介紹:(1) 重心:中線的交點,重心將中線長度分成2:1;(2) 垂心:高線的交點,高線與對應(yīng)邊垂直;(3) 內(nèi)心:角平分線的交點(內(nèi)切圓的圓心),角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等;(4) 外心:中垂線的交點(外接圓的圓心),外心到三角形各頂點的距離相等。l 與“重心”有關(guān)的向量問題1 已知是所在平面上的一點,若,則是的( )A重點B外心C內(nèi)心D垂心如圖.M 圖圖 2已知是平面上一定點,是平面上不共線的三個點,動點滿足,則的軌跡一定通過的( ).A重點B外心C內(nèi)心D垂心【解析】由題意,當時,由于表示邊上的中線所在直線的向量,所以動點的軌跡一定通過的重心,如圖.3 .O是ABC所在平面內(nèi)一點,動點P滿足(0,+),則動點P的軌跡一定通過ABC的()A內(nèi)心B重心C外心D垂心解:作出如圖的圖形ADBC,由于sinB=sinC=AD,=由加法法則知,P在三角形的中線上故動點P的軌跡一定通過ABC的重心故選:Bl 與“垂心”有關(guān)的向量問題3 是所在平面上一點,若,則是的( )A重點B外心C內(nèi)心D垂心【解析】由,得,即,所以同理可證,是的垂心如圖. 圖圖4已知是平面上一定點,是平面上不共線的三個點,動點滿足,則動點的軌跡一定通過的( )A重點B外心C內(nèi)心D垂心【解析】由題意,由于,即,所以表示垂直于的向量,即點在過點且垂直于的直線上,所以動點的軌跡一定通過的垂心,如圖.5若為所在平面內(nèi)一點,且則點是的( )A重點B外心C內(nèi)心D垂心BCHA圖6證明: 得即 同理, 故H是ABC的垂心l 與“內(nèi)心”有關(guān)的向量問題6已知為所在平面上的一點,且, 若,則是的( )A重點B外心C內(nèi)心D垂心圖圖【解析】,則由題意得,與分別為和方向上的單位向量,與平分線共線,即平分同理可證:平分,平分從而是的內(nèi)心,如圖.7已知是平面上一定點,是平面上不共線的三個點,動點滿足 ,則動點的軌跡一定通過的( )A重點B外心C內(nèi)心D垂心【解析】由題意得,當時,表示的平分線所在直線方向的向量,故動點的軌跡一定通過的內(nèi)心,如圖.8若O在ABC所在的平面內(nèi):=,則O是ABC的()A垂心B重心C內(nèi)心D外心解:向量的模等于1,因而向量是單位向量向量、和等都是單位向量由向量、為鄰邊構(gòu)成的四邊形是菱形,可得AO在BAC的平分線上同理可得OB平分ABC,OA平分ACB,O是ABC的內(nèi)心故選:Cl 與“外心”有關(guān)的向量問題8已知是所在平面上一點,若,則是的( )A重點B外心C內(nèi)心D垂心圖圖【解析】若,則,則是的外心,如圖。9 已知是平面上的一定點,是平面上不共線的三個點,動點滿足,則動點的軌跡一定通過的( )。A重點B外心C內(nèi)心D垂心【解析】由于過的中點,當時,表示垂直于的向量(注意:理由見二、4條解釋。),所以在垂直平分線上,動點的軌跡一定通過的外心,如圖l 四心的相互關(guān)系1.三角形外心與垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)的外心為,則點為的垂心的充要條件是。2.三角形外心與重心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)的外心為,則點為的重心的充要條件是3.三角形的外心、重心、垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)的外心、重心、垂心分別為、,則、三點共線(、三點連線稱為歐拉線),且。相關(guān)題目10設(shè)ABC外心為O,重心為G取點H,使求證:(1)H是ABC的垂心;(2)O,G,H三點共線,且OG:GH=1:2【解答】證明:(1)ABC外心為O,又則=0即AHBC同理
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