分組分解法因式分解(5課時(shí)).doc

分組分解法（第一教時(shí)）（一）復(fù)習(xí)把下列多項(xiàng)式因式分解(1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新課講解1引入 提問：如何將多項(xiàng)式am+an+bm+bn因式分解？分析：很顯然，多項(xiàng)式am+an+bm+bn中既沒有公因式，也不好用公式法。怎么辦呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).這樣就有：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。說明：如果把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組并提出公因式后，它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用分組分解法來分解因式。練習(xí)：把下列各式分解因式(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n)2應(yīng)用舉例例1把a(bǔ)2-ab+ac-bc分解因式分析:把這個(gè)多項(xiàng)式的四個(gè)項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，分別提出公因式a與c后，另一個(gè)因式正好都是a-b，這樣就可以繼續(xù)提公因式。解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式分析：把這個(gè)多項(xiàng)式的四個(gè)項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按x的降冪排列，然后從兩組中分別提出公因式2a與-b，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是x-5y，這樣就可繼續(xù)提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx）=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)提問：這兩個(gè)例題還有沒有其他分組解法？請(qǐng)你試一試。如果能，請(qǐng)你看一下結(jié)果是否相同？練習(xí)：把下列各式分解因式(1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz(5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n(9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2四、課外作業(yè) 把下列各式分解因式1 a(mn)b(mn) xy(ab)x(ab)3 n(xy)xy abq(ab)5 p(mn)mn 2a4bm(a2b)7 a2acabbc 3a6bax2bx9 2x3x26x3 2ax6bx7ay21by xyxy1 ax2bx2 ay2by2 x32x2y4xy28y3 3m3ymaay 4x34x2y9xy29y3 x3y3x22x2y26xy分組分解法（第二教時(shí)）（一）復(fù)習(xí)1提問：什么是分組分解法？分組時(shí)有什么要求？2用分組分解法因式分解：(1)ax+ay+bx+by (2)mx-my+nx-ny (3)ab+ac-b2-bc (4)2x-4y-xy+2y2 (5)5am-a+b-5bm (6)x3-x2-4x+4（二）新課講解1例題分析例3：把3ax+4by+4ay+3bx分解因式分析：如果象上節(jié)課一樣，分別把前后兩項(xiàng)分別分成兩組，則無法繼續(xù)分解，但把一、三兩項(xiàng)和二、四兩項(xiàng)分別分成兩組，是可以分解下去的。解：3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3bx+4by 加法交換律=(3ax+4ay)+(3bx+4by) 分組=a(3x+4y)+b(3x+4y) 提公因式=(3x+4y)(a+b) 再提公因式練習(xí):用分組分解法因式分解：(1)ac+2b+2a+bc (2)ad-bc+ab-cd (3)5ax+6by+5ay+6bx (4)ab-4xy+4ay-bx例4：把m2+5n-mn-5m分解因式分析：如果把前后兩項(xiàng)分別分成兩組，雖然后兩項(xiàng)有公因式，但前后兩組之間卻沒有公因式，不好繼續(xù)分解。如果把一、四兩項(xiàng)和二、三兩項(xiàng)分成兩組，就可以繼續(xù)分解了。解：m2+5n-mn-5m=m2-5m+5n-mn=(m2-5m)+(5n-mn) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)練習(xí)：把下列各式分解因式(1)x2+y-xy-x (2)5ax2-b2-b2x+5ax (3)x2+yz-xy-xz (4)4x2+3z-3xz-4x (5)5am+b-a-5bm (6)x2-yz+xy-xz四、課外作業(yè) 把下列各式分解因式1 mnmn1 23mx4ny4my3nx3 m3m2m1 4m3m2m1 5 a22bab2a 6axbyaybx7 xyzyxz 8a2xbyayabx9mx3mx2mxm 10a2ba2ca3abc分組分解法（第三教時(shí)）（一）復(fù)習(xí)1什么是分組分解法？2把下列各式分解因式(1)ac-ad+bc-bd (2)ay2-ax+bx-by2 (3)5ax+6by+10ay+3bx (4)5x2+7a-7ax-5x3.填空(1)a2-b2=_ (2)a2+2ab+b2=_ (3)a2-2ab+b2=_（二）新課講解1例題與練習(xí) 例5：把x2-y2+ax+ay分解因式分析：顯然無論如何分組都無法用前面的知識(shí)來分解，是不是無法分解呢？不是。由于第一、二兩項(xiàng)滿足平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y),而三、四兩項(xiàng)有公因式a,而ax+ay=a(x+y).這時(shí)可以看出(x+y)(x-y)與a(x+y)有公因式(x+y)。解：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay）=(x+y)(x-y)+a(x+y) =(x+y)+(x-y)+a=(x+y)(x-y+a)練習(xí)：把下列各式分解因式(1)4a2-b2+6a-3b (2)9m2-6m+2n-n2 (3)x2y2-4+xy2-2y (4)a2b2-c2+abd+cd例6：把a(bǔ)2-2ab+b2-c2分解因式分析：用剛才的方法不能見效。我們發(fā)現(xiàn)a2-2ab+b2是完全平方式(a-b)2,此時(shí)，原式就變?yōu)?a-b)2- c2，再用平方差公式。解：a2-2ab+b2-c2=( a2-2ab+b2)- c2 分組=( a-b)2- c2 運(yùn)用完全平方公式 =(a-b)+c(a-b)-c 運(yùn)用平方差公式 =(a-b+c)(a-b-c)練習(xí)：把下列各式分解因式(1)4a2+4ab+b2-1 (2)c2-a2-2ab-b2 (3)x2-4y2+12yz-9z2 (4)a2b2-c2+2ab+1四、課外作業(yè) 把下列各式分解因式4x2y24x2y b2a2axbxm2nm24n2 p3q9q2p2s2t23s3t x22x2yy24a2b22ab9a26a2bb2x22x1y2 m22mnn2p24x24xyy216z2a2b22bcc2x24y24y1x2y2z22yz分組分解法（第四教時(shí)）（一）復(fù)習(xí)把下列各式分解因式(1)a2-2a+2b-b2 (2)4m2-9n2+3n-2m (3)m2-2mn+n2-4c2 (4)a2-b2+2bc- c2提問：什么樣的多項(xiàng)式可以用分組后運(yùn)用公式法？（二）新課講解1例題與練習(xí)例7把下列各式分解因式(1)(x2-4y2)+(4y-1) (2)(x2+y2-z2)2-4x2y2分析：在第（1）題分好的兩組中，雖然第一組可用平方差公式，但與第二組卻無公因式，因此無法分解。如果將括號(hào)去掉，再重新分組，得x2-（4y2-4y+1) ,此題可用分組后直接用公式法分解因式。在第（2）題中，先用平方差公式分解，再用分組分解法。注意：必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式不能再分解為止。解：(1)(x2-4y2)+(4y-1)= x2-4y2+4y-1= x2-（4y2-4y+1) = x2 (2y-1)2=x+(2y-1)x-(2y-1) =(x+2y-1)(x-2y+1)(2) (x2+y2-z2)2-4x2y2=(x2+y2-z2)2-(2xy)2 =(x2+y2-z2)+2xy(x2+y2-z2)-2xy =(x2+y2-z2+2xy)(x2+y2-z2-2xy) =(x2+y2 +2xy)-z2(x2+y2-2xy)-z2 =(x+y)2-z2(x-y)2-z2 =(x+y)+z(x+y)-z(x-y)+z(x-y)-z =(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)練習(xí)：把下列各式分解因式(1) (2ab-a2)+(c2-b2) (2) (ax+by)2+(bx-ay)2(3) 4a2b2-(a2+b2-c2)2 例8：把下列多項(xiàng)式分解因式 (1) x3+x2y-xy2-y3 (2)a3-ab2+4abc-4ac2解：(1)x3+x2y-xy2-y3=(x3+x2y)-(xy2+y3) 分組=x2(x+y)-y2(x+y) 分別提公因式 =(x+y)(x2-y2) 提公因式 =(x+y)(x+y)(x-y) 運(yùn)用平方差公式 =(x+y)2(x-y) 相同因式寫成冪的形式提問：還有其他解法嗎？ (2) a3-ab2+4abc-4ac2=a(a2-b2+4bc-4c2) 先提公因式 =aa2-(b2-4bc+4c2) 分組 =aa2-(b-2c)2 運(yùn)用完全平方公式 =aa+(b-2c)a-(b-2c) 運(yùn)用平方差公式 =a(a+b-2c)(a-b+2c) 整理練習(xí)：把下列各式分解因式(1)a2b2+x2y2-a2x2-b2y2 (2)x3-x2y-xy2+y3 (3)x2y-y3-2xyz+yz2 (4)a3+a2-a-13作業(yè)：把下列各式分解因式(1)x3y3-x2y2-xy+1 (2)(2xy-a2)+(x2+y2) (3)(x2-y2+z2)2-4x2z2四、課外作業(yè)把下列各式分解因式3ax5ay6bx10by a2b24a4b m24mn4n24 4x22xyy2 ax2ay2a2xa2y a32a2bab2aa2b2a22abb2 x3x2yxy2y3 9.（axby）2（bxay）210（m24n2）（4n1） 11（a2m2n2）24m2n2分組分解法（第五教時(shí)）（一）復(fù)習(xí)1.什么是分組分解法？怎樣才是正確的分組？2.把下列多項(xiàng)式分解因式(1)x2+2x+nx+2n (2)x2-y2+2yz-z2 (3)x2+px+qx+pq（二）新課講解1.引入（1）把x2+(p+q)x+pq分解因式分析 此式不好直接用已學(xué)的知識(shí)來分解因式，可以把式子展開為x2+px+qx+pq。這時(shí)，可以用分組分解法。 x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p) =(x+p)(x+q)另外：我們知道(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq,于是有 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)（2）特點(diǎn) 式子x2+(p+q)x+pq的特點(diǎn)為： （1）二次項(xiàng)的系數(shù)是1。 （2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積。 （3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和。說明：根據(jù)上面的結(jié)果，可以直接將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式。2.應(yīng)用舉例例：把下列各式分解因式(1)x2+3x+2 (2)x2-7x+6 (3)x2+x-2 (4)x2-2x-15 分析:（1）x2+3x+2的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)2=12，一次項(xiàng)系數(shù)3=1+2。這是一個(gè)x2+(p+q)x+pq型式子。 （2）x2-7x+6的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)6=(-1)(-6)，一次項(xiàng)系數(shù)-7=(-1)+(-6)。這也是一個(gè)x2+(p+q)x+pq型式子。 （3）x2+x-2的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)-2=(-1)2，一次項(xiàng)系數(shù)1=(-1)+2。這也是一個(gè)x2+(p+q)x+pq型式子。 （4）x2-2x-15的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)-15=(-5)3，一次項(xiàng)系數(shù)-2=(-5)+3，這也是一個(gè)x2+(p+q)x+pq型式子。解：(1)因?yàn)?=12，并且3=1+2，所以x2+3x+2=(x+1)(x+2) (2) 因?yàn)?=(-1)(-6)，并且-7=(-1)+(-6)，所以 x2-7x+6=(x-1)(x-6) （3）因?yàn)?2=(-1)2，并且1=(-1)+2，所以 x2+x-2=(x-1)(x+2)（4）因?yàn)?15=(-5)3，并且-2=(-5)+3，所以 x2-2x-15=(x-5)(x+3)3.歸納與小結(jié) (1)常數(shù)項(xiàng)是正數(shù)時(shí)，它分解成兩個(gè)_號(hào)因數(shù)，它們和一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)_。 (2)常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)時(shí)，它分解成兩個(gè)_號(hào)因數(shù)，其中絕對(duì)值較_的因數(shù)的符號(hào)和一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同。思考題 把x4-5x2+4因式分解