初中數(shù)學動點問題專題(含答案).doc

中考動點專題專題一：建立動點問題的函數(shù)解析式一、應用勾股定理建立函數(shù)解析式例1(2000年上海)如圖1,在半徑為6,圓心角為90的扇形OAB的弧AB上,有一個動點P,PHOA,垂足為H,OPH的重心為G.(1)當點P在弧AB上運動時,線段GO、GP、GH中,有無長度保持不變的線段?如果有,請指出這樣的線段,并求出相應的長度.HMNGPOAB圖1(2)設PH,GP,求關于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域(即自變量的取值范圍).(3)如果PGH是等腰三角形,試求出線段PH的長.二、應用比例式建立函數(shù)解析式 例2（2006年山東）如圖2,在ABC中,AB=AC=1,點D,E在直線BC上運動.設BD=CE=. (1)如果BAC=30,DAE=105,試確定與之間的函數(shù)解析式； AEDCB圖2 (2)如果BAC的度數(shù)為,DAE的度數(shù)為,當,滿足怎樣的關系式時,(1)中與之間的函數(shù)解析式還成立?試說明理由. 例3(2005年上海)如圖3(1),在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3. 點O是邊AC上的一個動點,以點O為圓心作半圓,與邊AB相切于點D,交線段OC于點E.作EPED,交射線AB于點P,交射線CB于點F.(1)求證: ADEAEP.OFPDEACB3(1)(2)設OA=,AP=,求關于的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域. (3)當BF=1時,求線段AP的長.三、應用求圖形面積的方法建立函數(shù)關系式ABCO圖8H例4（2004年上海）如圖,在ABC中,BAC=90,AB=AC=,A的半徑為1.若點O在BC邊上運動(與點B、C不重合),設BO=,AOC的面積為.(1)求關于的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.(2)以點O為圓心,BO長為半徑作圓O,求當O與A相切時,AOC的面積.專題二：動態(tài)幾何型壓軸題一、以動態(tài)幾何為主線的壓軸題 （一）點動問題1（09年徐匯區(qū)）如圖，中，點在邊上，且，以點為頂點作，分別交邊于點，交射線于點（1）當時，求的長； （2）當以點為圓心長為半徑的和以點為圓心長為半徑的相切時，求的長； （3）當以邊為直徑的與線段相切時，求的長 （二）線動問題在矩形ABCD中，AB3，點O在對角線AC上，直線l過點O，且與AC垂直交AD于點E.(1)若直線l過點B，把ABE沿直線l翻折，點A與矩形ABCD的對稱中心A重合，求BC的長；ABCDEOlA(2)若直線l與AB相交于點F，且AOAC，設AD的長為，五邊形BCDEF的面積為S.求S關于的函數(shù)關系式，并指出的取值范圍；探索：是否存在這樣的，以A為圓心，以長為半徑的圓與直線l相切，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由（三）面動問題 1.如圖，在中，、分別是邊、上的兩個動點（不與、重合），且保持，以為邊，在點的異側作正方形.（1）試求的面積；（2）當邊與重合時，求正方形的邊長；（3）設，與正方形重疊部分的面積為，試求關于的函數(shù)關系式，并寫出定義域；（4）當是等腰三角形時，請直接寫出的長 ABFDEMNC2已知：在ABC中，AB=AC，B=30，BC=6，點D在邊BC上，點E在線段DC上，DE=3，DEF是等邊三角形，邊DF、EF與邊BA、CA分別相交于點M、N （1）求證：BDMCEN； （2）設BD=，ABC與DEF重疊部分的面積為，求關于的函數(shù)解析式，并寫出定義域（3）當點M、N分別在邊BA、CA上時,是否存在點D，使以M為圓心, BM為半徑的圓與直線EF相切, 如果存在，請求出x的值；如不存在，請說明理由例1：已知O的弦AB的長等于O的半徑，點C在O上變化（不與A、B）重合，求ACB的大小 .變式1：已知ABC是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若，求C的大小.變式2: 如圖,半經(jīng)為1的半圓O上有兩個動點A、B，若AB=1，判斷AOB的大小是否會隨點A、B的變化而變化，若變化，求出變化范圍，若不變化，求出它的值。四邊形ABCD的面積的最大值。變式3: 如圖,有一塊半圓形的木板,現(xiàn)要把它截成三角形板塊.三角形的兩個頂點分別為A、B，另一個頂點C在半圓上，問怎樣截取才能使截出的三角形的面積最大？要求說明理由（廣州市2000年考題） 特殊探路，一般推證例2：（2004年廣州市中考題第11題）如圖，O1和O2內(nèi)切于A，O1的半徑為3，O2的半徑為2，點P為O1上的任一點（與點A不重合），直線PA交O2于點C，PB切O2于點B，則的值為（A） （B） （C） （D）例3：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點E和點F分別在邊AB、AC上滑動并保持AE=CF,但點F不與A、C重合，點E不與B、A重合。判斷OEF的形狀，并加以證明。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值. AEF的面積是否隨著點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。練習例4（2003年廣州市中考試題）在O中，C為弧AB的中點，D為弧AC上任一點（與A、C不重合），則（A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CBAD+DB (D) AC+CB與AD+DB的大小關系不確定例5：如圖，過兩同心圓的小圓上任一點C分別作小圓的直徑CA和非直徑的弦CD，延長CA和CD與大圓分別交于點B、E，則下列結論中正確的是（ * ） （A） （B） （C）（D）的大小不確定一、 建立聯(lián)系，計算說明例6：如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在邊DC上，且DM=1，N為對角線AC上任意一點，則DN+MN的最小值為 .例7：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點E和點F分別在邊AB、AC上滑動并保持AE=CF,但點F不與A、C重合，點E不與B、A重合。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值. AEF的面積是否隨著點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。問題研究：例8：如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2厘米/秒的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1厘米/秒的速度移動。如果、同時出發(fā)，用t秒表示移動的時間（0 t 6），那么：（1）當t為何值時，三角形QAP為等腰三角形？（2）求四邊形QAPC的面積，提出一個與計算結果有關的結論；（3）當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似？練習1：已知ABC為直角三角形，AC=5，BC=12，ACB為直角，P是AB邊上的動點（與點A、B不重合），Q是BC邊上動點（與點B、C不重合）.(1)如圖，當PQAC，且Q為BC的中點，求線段CP的長。(2)當PQ與AC不平行時，CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由。練習2：（廣東省2003年中考試題最后一題）在RtABC中，ABAC，BAC90，O為BC的中點，（1）寫出點O到ABC的三個頂點 A、B、C距離的大小關系。（2）如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，移動中保持ANBM，請判斷OMN的形狀，并證明你的結論。專題三：函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例題 如圖1，已知拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B。求拋物線的解析式；（用頂點式求得拋物線的解析式為）若點C在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且以O、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求D點的坐標；例1題圖圖1圖2連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由。練習1、已知拋物線經(jīng)過及原點（1）求拋物線的解析式（由一般式得拋物線的解析式為）（2）過點作平行于軸的直線交軸于點，在拋物線對稱軸右側且位于直線下方的拋物線上，任取一點，過點作直線平行于軸交軸于點，交直線于點，直線與直線及兩坐標軸圍成矩形是否存在點，使得與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由（3）如果符合（2）中的點在軸的上方，連結，矩形內(nèi)的四個三角形之間存在怎樣的關系？為什么？練習2、如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處。已知折疊，且。（1）判斷與是否相似？請說明理由；（2）求直線CE與x軸交點P的坐標；（3）是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應的直線；如果不存在，請說明理由。Oxy練習2圖CBED練習3、在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，其頂點的橫坐標為1，且過點和（1）求此二次函數(shù)的表達式；（由一般式得拋物線的解析式為）（2）若直線與線段交于點（不與點重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達式及點的坐標；若不存在，請說明理由；yCxBA練習3圖（3）若點是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角與的大?。ú槐刈C明），并寫出此時點的橫坐標的取值范圍O練習4 (2008廣東湛江市) 如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C（1）求A、B、C三點的坐標（2）過點A作APCB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積CBA練習4圖Py（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由練習5、已知：如圖，在平面直角坐標系中，是直角三角形，點的坐標分別為，ACOBxy（1）求過點的直線的函數(shù)表達式；點，（2）在軸上找一點，連接，使得與相似（不包括全等），并求點的坐標；（3）在（2）的條件下，如分別是和上的動點，連接，設，問是否存在這樣的使得與相似，如存在，請求出的值；如不存在，請說明理由例1(2008福建福州)如圖，已知ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t（s），解答下列問題：（1）當t2時，判斷BPQ的形狀，并說明理由；（2）設BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關系式；（3）作QR/BA交AC于點R，連結PR，當t為何值時，APRPRQ？分析:由t2求出BP與BQ的長度,從而可得BPQ的形狀;作QEBP于點E,將PB,QE用t表示,由=BPQE可得S與t的函數(shù)關系式;先證得四邊形EPRQ為平行四邊形,得PR=QE,再由APRPRQ,對應邊成比例列方程,從而t值可求.解:(1)BPQ是等邊三角形,當t=2時,AP=21=2,BQ=22=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP.又因為B=600,所以BPQ是等邊三角形.(2)過Q作QEAB,垂足為E,由QB=2t,得QE=2tsin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以=BPQE=(6-t)t=t2+3t；(3)因為QRBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因為C=600,所以QRC是等邊三角形,這時BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.因為BE=BQcos600=2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP=QR,又EPQR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形,所以PR=EQ=t,由APRPRQ,得到,即,解得t=,所以當t=時, APRPRQ.點評: 本題是雙動點問題.動態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學的熱點題型.這類試題信息量大,對同學們獲取信息和處理信息的能力要求較高;解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運動、變化的全過程,并特別關注運動與變化中的不變量、不變關系或特殊關系,動中取靜,靜中求動.例2(2008浙江溫州)如圖，在中，分別是邊的中點，點從點出發(fā)沿方向運動，過點作于，過點作交于，當點與點重合時，點停止運動設，（1）求點到的距離的長；（2）求關于的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由 分析:由BHDBAC,可得DH;由RQCABC,可得關于的函數(shù)關系式;由腰相等列方程可得的值;注意需分類討論.解：（1），點為中點，（2），即關于的函數(shù)關系式為：（3）存在.按腰相等分三種情況：ABCDERPHQM21當時，過點作于，則，ABCDERPHQ，當時，當時，則為中垂線上的點，于是點為的中點，綜上所述，當為或6或時，為等腰三角形點評:建立函數(shù)關系式,實質就是把函數(shù)y用含自變量x的代數(shù)式表示;要求使為等腰三角形的的值,可假設為等腰三角形,找到等量關系,列出方程求解,由于題設中沒有指明等腰三角形的腰,故還須分類討論.五、以圓為載體的動點問題 動點問題是初中數(shù)學的一個難點，中考經(jīng)?？疾?，有一類動點問題，題中未說到圓，卻與圓有關，只要巧妙地構造圓，以圓為載體，利用圓的有關性質，問題便會迎刃而解；此類問題方法巧妙，耐人尋味。 例1. 在中，AC5，BC12，ACB90，P是AB邊上的動點（與點A、B不重合），Q是BC邊上的動點（與點B、C不重合），當PQ與AC不平行時，CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由。（03年廣州市中考） 分析：不論P、Q如何運動，PCQ都小于ACB即小于90，又因為PQ與AC不平行，所以PQC不等于90，所以只有CPQ為直角，CPQ才可能是直角三角形，而要判斷CPQ是否為直角三角形，只需構造以CQ為直徑的圓，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，若AB邊上的動點P在圓上，CPQ就為直角，否則CPQ就不可能為直角。 以CQ為直徑做半圓D。 當半圓D與AB相切時，設切點為M，連結DM，則 DMAB，且ACAM5 所以 設，則 在中，即 解得：，所以 即當且點P運動到切點M的位置時，CPQ為直角三角形。 當時，半圓D與直線AB有兩個交點，當點P運動到這兩個交點的位置時，CPQ為直角三角形。 當時，半圓D與直線AB相離，即點P在半圓D之外，0CPQ90，此時，CPQ不可能為直角三角形。 所以，當時，CPQ可能為直角三角形。 例2. 如圖2，直角梯形ABCD中，ADBC，B90，ADBCDC，若腰DC上有動點P，使APBP，則這樣的點有多少個？ 分析：由條件APBP，想到以AB為直徑作圓，若CD與圓相交，根據(jù)直徑所對的圓周角是90，兩個交點即為點P；若CD與圓相切，切點即是點P；若CD與圓相離，則DC上不存在動點P，使APBP。 解：如圖3，以AB為直徑做O，設O與CD切于點E 因為BA90 所以AD、BC為O的切線 即ADDE，BCCE 所以ADBCCD 而條件中ADBCDC，我們把CD向左平移，如圖4，CD的長度不變，AD與BC的長度縮短，此時ADBCDC，點O到CD的距離OE小于O的半徑OE，CD與O相交，和是直徑AB所對的圓周角，都為90，所以交點即為所求。因此，腰DC上使APBP的動點P有2個。 例3. 如圖5，ABC的外部有一動點P（在直線BC上方），分別連結PB、PC，試確定BPC與BAC的大小關系。（02年廣州市中考） 分析：BPC與BAC之間沒有聯(lián)系，要確定BPC與BAC的大小關系，必須找恰當?shù)妮d體，作為它們之間的橋梁，這道橋梁就是圓，通過構造ABC的外接圓，問題就會迎刃而解。 （1）當點P在ABC外接圓外時， 如圖5，連結BD，根據(jù)外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角，BPCBDC 又因為BDCBAC， 所以BPCBAC； （2）當點P在ABC外接圓上時，如圖6，根據(jù)同弧所對的圓周角相等， BPCBAC； （3）當點P在ABC外接圓內(nèi)時，如圖7，延長BP交ABC外接圓于點D，連結CD，則BPCBDC， 又BDCBAC，故BPCBAC。 綜上，知當點P在ABC外接圓外時， BPCBAC； 當點P在ABC外接圓上時， BPCBAC； 當點P在ABC外接圓內(nèi)時，BPCBAC。專題七、2010中考數(shù)學熱點專題突破訓練動點問題 動點試題是近幾年中考命題的熱點，與一次函數(shù)、二次函數(shù)等知識綜合，構成中考試題的壓軸題.動點試題大致分為點動、線動、圖形動三種類型.動點試題要以靜代動的解題思想解題.下面就中考動點試題進行分析.例1（2006年福建晉州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm，A=60，BDAD.一動點P從A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿ABC的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PMAD.1當點P運動2秒時，設直線PM與AD相交于點E，求APE的面積；2當點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發(fā)沿AB的路線運動，且在AB上以每秒1cm的速度勻速運動，（當P、Q中的某一點到達終點，則兩點都停止運動.）過Q作直線QN，使QNPM，設點Q運動的時間為t秒（0t8），直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S（cm2）. （1）求S關于t的函數(shù)關系式；（2）求S的最大值.1.分析：此題為點動題，因此，1)搞清動點所走的路線及速度，這樣就能求出相應線段的長；2）分析在運動中點的幾種特殊位置.由題意知，點P為動點，所走的路線為：ABC速度為1cm/s。而t=2s，故可求出AP的值，進而求出APE的面積.略解：由AP=2 ，A=60得AE=1，EP= . 因此.2.分析：兩點同時運動，點P在前，點Q在后，速度相等，因此兩點距出發(fā)點A的距離相差總是2cm.P在AB邊上運動后，又到BC邊上運動.因此PM、QN截平行四邊形ABCD所得圖形不同.故分兩種情況：（1）當P、Q都在AB上運動時，PM、QN截平行四邊形ABCD所得的圖形永遠為直角梯形.此時0t6.當P在BC上運動，而Q在AB邊上運動時，畫出相應圖形，所成圖形為六邊形DFQBPG.不規(guī)則圖形面積用割補法.此時6t8.略解：當P、Q同時在AB邊上運動時，0t6.AQ=t,AP=t+2, AF=t,QF=t,AG=(t+2), 由三角函數(shù)PG=(t+2),FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S =(QF+PG)FG=t+(t+2)1=t+.當6t8時，S=S平行四邊形ABCD-SAQF-SGCP.易求S平行四邊形ABCD=16,SAQF=AFQF=t2.而SCGP=PCPG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得PG=(10-t).SCGP=PCPG=(10-t)(10-t)=(10-t)2.S=16-t2-(10-t)2=(6t8分析:求面積的最大值時,應用函數(shù)的增減性求.若題中分多種情況,那么每一種情況都要分別求出最大值，然后綜合起來得出一個結論.此題分兩種情況,那么就分別求出0t6和6t8時的最大值. 0t6時,是一次函數(shù),應用一次函數(shù)的性質,由于一次項系數(shù)是正數(shù),面積S隨t的增大而增大.當 6t8時,是二次函數(shù),應用配方法或公式法求最值.略解：由于所以t=6時，S最大；由于S(6t8,所以t=8時，S最大=6.綜上所述, 當t=8時，S最大=6.例2（2006年錦州市）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，點C的坐標為(4,0)，AOC=60，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N(點M在點N的上方).1.求A、B兩點的坐標；2.設OMN的面積為S，直線l運動時間為t秒(0t6)，試求S與t的函數(shù)表達式；3.在題(2)的條件下，t為何值時，S的面積最大？最大面積是多少？ 1.分析：由菱形的性質、三角函數(shù)易求A、B兩點的坐標.解：四邊形OABC為菱形，點C的坐標為(4,0)，OA=AB=BC=CO=4.如圖，過點A作ADOC于D.AOC=60，OD=2，AD=.A(2, )，B（6, ）.2.分析：直線l在運動過程中，隨時間t的變化，MON的形狀也不斷變化，因此，首先要把所有情況畫出相應的圖形，每一種圖形都要相應寫出自變量的取值范圍。這是解決動點題關鍵之一.直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向運動與菱形OABC的兩邊相交有三種情況：0t2時，直線l與OA、OC兩邊相交(如圖). 2t4時，直線l與AB、OC兩邊相交(如圖).4t6時，直線l與AB、BC兩邊相交(如圖).略解：MNOC，ON=t. MN=ONtan60=.S=ONMN=t2.S=ONMN=t2=t. 方法一：設直線l與x軸交于點H.MN2-(t-4)=6-t,S=MNOH=(6-t)t=-t2+3t.方法二：設直線l與x軸交于點H.S=SOMH-SONH，S=t2-t(t-4)=- t2+3t.方法三：設直線l與x軸交于點H.S=,=42=8,=2(t-2)= t-2,=4(t-4)=2t-8,=(6-t)(6-t)=18-6t+t2,S=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t2)=-t2+3t.3.求最大面積的時候，求出每一種情況的最大面積值，然后再綜合每種情況，求出最大值.略解：由2知，當0t2時，=22=2；當2t4時，=4； 當4t6時，配方得S=-(t-3)2+，當t=3時，函數(shù)S-t2+3t的最大值是.但t=3不在4t6內(nèi)，在4t6內(nèi)，函數(shù)S-t2+3t的最大值不是.而當t3時，函數(shù)S-t2+3t隨t的增大而減小，當4t6時，S4. 綜上所述，當t=4秒時，=4. 練習1 （2006年南安市）如圖所示，在直角坐標系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點A在原點，AB3，AD5若矩形以每秒2個單位長度沿x軸正方向作勻速運動同時點P從A點出發(fā)以每秒1個單位長度沿ABCD的路線作勻速運動當P點運動到D點時停止運動，矩形ABCD也隨之停止運動求P點從A點運動到D點所需的時間；設P點運動時間為t（秒）.當t5時，求出點P的坐標；若OAP的面積為s，試求出s與t之間的函數(shù)關系式（并寫出相應的自變量t的取值范圍）解:（1）P點從A點運動到D點所需的時間（3+5+3）111（秒）.（2）當t5時，P點從A點運動到BC上，此時OA=10,AB+BP=5，BP=2. 過點P作PEAD于點E，則PE=AB=3,AE=BP=2.OE=OA+AE=10+2=12.點P的坐標為（12，3）分三種情況：當0t3時，點P在AB上運動，此時OA=2t,AP=t，s=2tt= t2.當3t8時，點P在BC上運動，此時OA=2t，s=2t3=3 t.當8t11時，點P在CD上運動，此時OA=2t,AB+BC+CP= t，DP=(AB+BC+CD)-( AB+BC+CP)=11- t.s=2t(11- t)=- t2+11 t.綜上所述，s與t之間的函數(shù)關系式是：當0t3時，s= t2；當3t8時，s=3 t；當8t11時，s=- t2+11 t . 練習2如圖，邊長為4的正方形OABC的頂點O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上動點D在線段BC上移動（不與B，C重合），連接OD，過點D作DEOD，交邊AB于點E，連接OE （1）當CD=1時，求點E的坐標；（2）如果設CD=t，梯形COEB的面積為S，那么是否存在S的最大值？若存在，請求出這個最大值及此時t的值；若不存在，請說明理由解：(1) 正方形OABC中，因為EDOD，即ODE =90，所以COD=90-CDO，而 EDB =90-CDO，所以COD =EDB.又因為OCD=DBE=90，所以CDOBED.所以，即，BE=，則.因此點E的坐標為（4，）(2) 存在S的最大值 由于CDOBED，所以，即，BE=tt2.4(4tt2)故當t=2時，S有最大值10 1、（09包頭）如圖，已知中，厘米，厘米，點為的中點（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請說明理由；若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使與全等？AQCDBP（2）若點Q以中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在的哪條邊上相遇？解：（1）秒，厘米，厘米，點為的中點，厘米又厘米，厘米，又，（4分）， ，又，則，點，點運動的時間秒，厘米/秒（7分）（2）設經(jīng)過秒后點與點第一次相遇，由題意，得，解得秒點共運動了厘米，點、點在邊上相遇，經(jīng)過秒點與點第一次在邊上相遇（12分）2、（09齊齊哈爾）直線與坐標軸分別交于兩點，動點同時從點出發(fā)，同時到達點，運動停止點沿線段運動，速度為每秒1個單位長度，點沿路線運動（1）直接寫出兩點的坐標；xAOQPBy（2）設點的運動時間為秒，的面積為，求出與之間的函數(shù)關系式；（3）當時，求出點的坐標，并直接寫出以點為頂點的平行四邊形的第四個頂點的坐標解（1）A（8，0）B（0，6）1分（2）點由到的時間是（秒）點的速度是（單位/秒）1分當在線段上運動（或0）時，1分當在線段上運動（或）時，,如圖，作于點，由，得，1分1分（自變量取值范圍寫對給1分，否則不給分）（3）1分3分3（09深圳）如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=2x8分別與x軸，y軸相交于A，B兩點，點P（0，k）是y軸的負半軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑作P.（1）連結PA，若PA=PB，試判斷P與x軸的位置關系，并說明理由；（2）當k為何值時，以P與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形？解：（1）P與x軸相切. 直線y=2x8與x軸交于A（4，0），與y軸交于B（0，8），OA=4，OB=8.由題意，OP=k，PB=PA=8+k.在RtAOP中，k2+42=(8+k)2，k=3，OP等于P的半徑，P與x軸相切.（2）設P與直線l交于C，D兩點，連結PC，PD當圓心P在線段OB上時,作PECD于E.PCD為正三角形，DE=CD=，PD=3， PE=.AOB=PEB=90， ABO=PBE，AOBPEB，.當圓心P在線段OB延長線上時,同理可得P(0,8)，k=8，當k=8或k=8時，以P與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形. 4（09哈爾濱） 如圖1，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形ABCO是菱形，點A的坐標為（3，4），點C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點M，AB邊交y軸于點H （1）求直線AC的解析式； （2）連接BM，如圖2，動點P從點A出發(fā)，沿折線ABC方向以2個單位秒的速度向終點C勻速運動，設PMB的面積為S（S0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關系式（要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，當 t為何值時，MPB與BCO互為余角，并求此時直線OP與直線AC所夾銳角的正切值 解：5（09河北）在RtABC中，C=90，AC = 3，AB = 5點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E點P、Q同時出發(fā)，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止設點P、Q運動的時間是t秒（t0）ACBPQED圖16（1）當t = 2時，AP = ，點Q到AC的距離是 ；（2）在點P從C向A運動的過程中，求APQ的面積S與t的函數(shù)關系式；（不必寫出t的取值范圍）（3）在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值若不能，請說明理由；（4）當DE經(jīng)過點C時，請直接寫出t的值 解：（1）1，； ACBPQED圖4（2）作QFAC于點F，如圖3， AQ = CP= t，由AQFABC， 得 ，ACBPQED圖5AC(E)BPQD圖6GAC(E)BPQD圖7G即（3）能 當DEQB時，如圖4 DEPQ，PQQB，四邊形QBED是直角梯形 此時AQP=90由APQABC，得，即 解得 如圖5，當PQBC時，DEBC，四邊形QBED是直角梯形此時APQ =90由AQPABC，得 ，即 解得（4）或點P由C向A運動，DE經(jīng)過點C連接QC，作QGBC于點G，如圖6，由，得，解得點P由A向C運動，DE經(jīng)過點C，如圖7，】6（09河南）如圖，在中，點是的中點，過點的直線從與重合的位置開始，繞點作逆時針旋轉，交邊于點過點作交直線于點，設直線的旋轉角為（1）當 度時，四邊形是等腰梯形，此時的長為 ；當 度時，四邊形是直角梯形，此時的長為 ；OECBDAlOCBA（備用圖）（2）當時，判斷四邊形是否為菱形，并說明理由解（1）30，1；60，1.5； 4分 （2）當=900時，四邊形EDBC是菱形. =ACB=900，BC/ED. CE/AB, 四邊形EDBC是平行四邊形.6分 在RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2,A=300.AB=4,AC=2.AO= . 8分在RtAOD中，A=300，AD=2.BD=2. BD=BC.又四邊形EDBC是平行四邊形，四邊形EDBC是菱形 10分ADCBMN7（09濟南）如圖，在梯形中，動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動設運動的時間為秒（1）求的長（2）當時，求的值（3）試探究：為何值時，為等腰三角形解：（1）如圖，過、分別作于，于，則四邊形是矩形 1分在中，2分在中，由勾股定理得，3分（2）如圖，過作交于點，則四邊形是平行四邊形（圖）ADCBKH4分由題意知，當、運動到秒時，又（圖）ADCBGMN5分即解得，6分（3）分三種情況討論：當時，如圖，即7分ADCBMN（圖）（圖）ADCBMNHE當時，如圖，過作于解法一：由等腰三角形三線合一性質得在中，又在中，解得8分解法二： 即8分當時，如圖，過作于點.解法一：（方法同中解法一）（圖）ADCBHNMF 解得解法二： 即 綜上所述，當、或時，為等腰三角形9分8（09江西）如圖1，在等腰梯形中，是的中點，過點作交于點，.（1）求點到的距離；（2）點為線段上的一個動點，過作交于點，過作交折線于點，連結，設.當點在線段上時（如圖2），的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出的周長；若改變，請說明理由；ADEBFC圖4（備用）ADEBFC圖5（備用）ADEBFC圖1圖2ADEBFCPNM圖3ADEBFCPNM（第25題） 當點在線段上時（如圖3），是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由.解（1）如圖1，過點作于點1分為的中點，在中，2分即點到的距離為3分（2）當點在線段上運動時，的形狀不發(fā)生改變圖1ADEBFCG，同理4分如圖2，過點作于，圖2ADEBFCPNMGH則在中，的周長=6分當點在線段上運動時，的形狀發(fā)生改變，但恒為等邊三角形當時，如圖3，作于，則類似，7分是等邊三角形，此時，8分圖3ADEBFCPNM圖4ADEBFCPMN圖5ADEBF（P）CMNGGRG 當時，如圖4，這時此時，當時，如圖5，則又因此點與重合，為直角三角形此時，綜上所述，當或4或時，為等腰三角形10分9（09蘭州）如圖，正方形 ABCD中，點A、B的坐標分別為（0，10），（8，4）， 點C在第一象限動點P在正方形 ABCD的邊上，從點A出發(fā)沿ABCD勻速運動， 同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動，當P點到達D點時，兩點同時停止運動， 設運動的時間為t秒(1)當P點在邊AB上運動時，點Q的橫坐標（長度單位）關于運動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；(2)求正方形邊長及頂點C的坐標；(3)在（1）中當t為何值時，OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標；(4)如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿ABCD勻速運動時，OP與PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由解：（1）（1，0）1分 點P運動速度每秒鐘1個單位長度2分（2） 過點作BFy軸于點，軸于點，則8， 在RtAFB中，3分 過點作軸于點，與的延長線交于點 ABFBCH 所求C點的坐標為（14，12） 4分（3） 過點P作PMy軸于點M，PN軸于點N，則APMABF 設OPQ的面積為（平方單位）（010） 5分說明:未注明自變量的取值范圍不扣分 0 當時， OPQ的面積最大6分 此時P的坐標為（，） 7分（4） 當 或時， OP與PQ相等9分10（09臨沂）數(shù)學課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，且EF交正方形外角的平行線CF于點F，求證：AE=EF經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證，所以在此基礎上，同學們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明