第9講　函數的應用.doc

第9講函數的應用【2013年高考會這樣考】1考查二次函數模型的建立及最值問題2考查分段函數模型的建立及最值問題3考查指數、對數、冪函數、“對勾”型函數模型的建立及最值問題【復習指導】函數模型的實際應用問題，主要抓好常見函數模型的訓練，解答應用問題的重點在信息整理與建模上，建模后利用函數知識分析解決問題基礎梳理1常見的函數模型及性質(1)幾類函數模型一次函數模型：ykxb(k0)二次函數模型：yax2bxc(a0)指數函數型模型：yabxc(b0，b1)對數函數型模型：ymlogaxn(a0，a1)冪函數型模型：yaxnb.(2)三種函數模型的性質函數性質yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現為與y軸平行隨x的增大逐漸表現為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當xx0時，有l(wèi)ogaxxnax 一個防范特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數的定義域 四個步驟(1)審題：深刻理解題意，分清條件和結論，理順其中的數量關系，把握其中的數學本質；(2)建模：由題設中的數量關系，建立相應的數學模型，將實際問題轉化為數學問題；(3)解模：用數學知識和方法解決轉化出的數學問題；(4)還原：回到題目本身，檢驗結果的實際意義，給出結論雙基自測1(人教A版教材習題改編)從1999年11月1日起，全國儲蓄存款征收利息稅，利息稅的稅率為20%，由各銀行儲蓄點代扣代收，某人2011年6月1日存入若干萬元人民幣，年利率為2%，到2012年6月1日取款時被銀行扣除利息稅138.64元，則該存款人的本金介于()A34萬元 B45萬元 C56萬元 D23萬元解析設存入的本金為x，則x2%20%138.64，x34 660.答案A2(2012新鄉(xiāng)月考)某產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系是y3 00020x0.1x2(0x240，xN*)，若每臺產品的售價為25萬元，則生產者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產量是()A100臺 B120臺 C150臺 D180臺解析設利潤為f(x)(萬元)，則f(x)25x(3 00020x0.1x2)0.1x25x3 0000，x150.答案C3有一批材料可以圍成200米長的圍墻，現用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地(如圖)，且內部用此材料隔成三個面積相等的矩形，則圍成的矩形場地的最大面積為()A1 000米2 B2 000米2C2 500米2 D3 000米2解析設三個面積相等的矩形的長、寬分別為x米、y米，如圖，則4x3y200，又矩形場地的面積S3xy3xx(2004x)4(x25)22 500，當x25時，Smax2 500.答案C4(2011湖北)里氏震級M的計算公式為：Mlg Alg A0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為_級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的_倍解析由lg 1 000lg 0.0016，得此次地震的震級為6級因為標準地震的振幅為0.001，設9級地震最大振幅為A9，則lg A9lg 0.0019解得A9106，同理5級地震最大振幅A5102，所以9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的10 000倍答案610 0005(2012東三校聯考)為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密為yax2(x為明文，y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是_解析依題意yax2中，當x3時，y6，故6a32，解得a2.所以加密為y2x2，因此，當y14時，由142x2，解得x4.答案4考向一一次函數、二次函數函數模型的應用【例1】(2011武漢調研)在經濟學中，函數f(x)的邊際函數Mf(x)定義為：Mf(x)f(x1)f(x)某公司每月生產x臺某種產品的收入為R(x)元，成本為C(x)元，且R(x)3 000x20x2，C(x)500x4 000(xN*)現已知該公司每月生產該產品不超過100臺(1)求利潤函數P(x)以及它的邊際利潤函數MP(x)；(2)求利潤函數的最大值與邊際利潤函數的最大值之差審題視點 列出函數解析式，根據函數性質求最值解(1)由題意，得x1,100，且xN*.P(x)R(x)C(x)(3 000x20x2)(500x4 000)20x22 500x4 000，MP(x)P(x1)P(x)20(x1)22 500(x1)4 000(20x22 500x4 000)2 48040x.(2)P(x)20274 125，當x62或x63時，P(x)取得最大值74 120元；因為MP(x)2 48040x是減函數，所以當x1時，MP(x)取得最大值2 440元故利潤函數的最大值與邊際利潤函數的最大值之差為71 680元. 二次函數是我們比較熟悉的基本函數，建立二次函數模型可以求出函數的最值，解決實際中的最優(yōu)化問題，值得注意的是：一定要注意自變量的取值范圍，根據圖象的對稱軸與定義域在數軸上表示的區(qū)間之間的位置關系討論求解【訓練1】 經市場調查，某種商品在過去50天的銷售量和價格均為銷售時間t(天)的函數，且銷售量近似地滿足f(t)2t200(1t50，tN)前30天價格為g(t)t30(1t30，tN)，后20天價格為g(t)45(31t50，tN)(1)寫出該種商品的日銷售額S與時間t的函數關系；(2)求日銷售額S的最大值解(1)根據題意，得S(2)當1t30，tN時，S(t20)26 400，當t20時，S的最大值為6 400；當31t50，tN時，S90t9 000為減函數，當t31時，S的最大值為6 210.6 2106 400，當t20時，日銷售額S有最大值6 400.考向二指數函數模型的應用【例2】某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數關系式yf(t)；(2)據進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療有效求服藥一次后治療有效的時間是多長？審題視點 根據圖象用待定系數法求出函數解析式，再分段求出時間長解(1)設y當t1時，由y4得k4，由1a4得a3.則y(2)由y0.25得或解得t5，因此服藥一次后治療有效的時間是5小時 可根據圖象利用待定系數法確定函數解析式，然后把實際問題轉化為解不等式問題進行求解【訓練2】 某城市現有人口總數為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答以下問題：(1)寫出該城市人口總數y(萬人)與年份x(年)的函數關系式；(2)計算10年以后該城市人口總數(精確到0.1萬人)；(3)計算大約多少年以后，該城市人口將達到120萬人(精確到1年)；(4)如果20年后該城市人口總數不超過120萬人，年自然增長率應該控制在多少？(參考數據：1.01291.113,1.012101.127，lg 1.20.079，lg 20.3010，lg 1.0120.005，lg 1.0090.003 9)解(1)1年后該城市人口總數為y1001001.2%100(11.2%)2年后該城市人口總數為y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2.3年后該城市人口總數為y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3.x年后該城市人口總數為y100(11.2%)x.(2)10年后，人口總數為100(11.2%)10112.7(萬人)(3)設x年后該城市人口將達到120萬人，即100(11.2%)x120，xlog1.012log1.0121.2016(年)(4)由100(1x%)20120，得(1x%)201.2，兩邊取對數得20lg(1x%)lg 1.20.079，所以lg(1x%)0.003 95，所以1x%1.009，得x0.9，即年自然增長率應該控制在0.9%.考向三函數yx模型的應用【例3】(2010湖北)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值審題視點 用基本不等式求最值，注意等號成立的條件解(1)由已知條件C(0)8則k40，因此f(x)6x20C(x)6x (0x10)(2)f(x)6x10102 1070(萬元)，當且僅當6x10即x5時等號成立所以當隔熱層為5 cm時，總費用f(x)達到最小值，最小值為70萬元 求函數解析式同時要注意確定函數的定義域，對于yx(a0)類型的函數最值問題，特別要注意定義域問題，可考慮用均值不等式求最值，否則要考慮使用函數的單調性【訓練3】 某村計劃建造一個室內面積為800 m2的矩形蔬菜溫室，在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留1 m寬的通道，沿前側內墻保留3 m寬的空地，當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？解設溫室的左側邊長為x m，則后側邊長為m.蔬菜種植面積y(x4)8082(4x400)x2 80，y808280648(m)2.當且僅當x，即x40，此時20 m，y最大648(m2)當矩形溫室的左側邊長為40 m，后側邊長為20 m時，蔬菜的種植面積最大，為648 m2.規(guī)范解答5應用題中的函數建模問題(【問題研究】 解決應用問題的關鍵是建立恰當的函數模型，因此，首先要熟悉和掌握幾類常用的函數模型.求解中容易在以下兩個地方出現失誤：,(1)列函數關系式時，會出現由于理不清楚各個量之間的關系，而導致列出錯誤的關系式.這一點在求解應用題時是常出現的錯誤；,(2)列出解析式，在求最優(yōu)解的過程中，由于方法使用不當而出現求解上的錯誤.,【解決方案】 (1)閱讀理解，審清題意.讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字敘述，理解敘述部分所反映的實際背景，在此基礎上，分析出已知是什么，求什么，從中提煉出相應的數學問題.,(2)根據所給模型，列出函數關系式.根據已知條件和數量關系，建立函數關系式，在此基礎上將實際問題轉化為一個函數問題.,(3)利用數學的方法將得到的常規(guī)函數問題(即數學模型)予以解答，并求得結果.,(4)將所得結果代入原問題中，對具體問題進行解答.)【示例】(本題滿分12分)(2011湖北)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時研究表明：當20x200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(1)當0x200時，求函數v(x)的表達式；(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時)f(x)xv(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時) 首先求函數v(x)為分段函數，然后利用一元二次函數配方法或基本不等式求解解答示范 (1)由題意：當0x20時，v(x)60；當20x200時，設v(x)axb，再由已知，得解得故函數v(x)的表達式為v(x)(4分)(2)依題意并由(1)可得f(x)(6分)當0x20時，f(x)為增函數，故當