同濟大學第五版高等數(shù)學(下)課件D12習題課(2).ppt

二階微分方程的 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 習題課 二 二 微分方程的應用 解法及應用 一 兩類二階微分方程的解法 第十二章 一 兩類二階微分方程的解法 1 可降階微分方程的解法 降階法 令 令 逐次積分求解 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 2 二階線性微分方程的解法 常系數(shù)情形 齊次 非齊次 代數(shù)法 歐拉方程 練習題 P327題2 3 6 7 4 2 8 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 解答提示 P327題2求以 為通解的微分方程 提示 由通解式可知特征方程的根為 故特征方程為 因此微分方程為 P327題3求下列微分方程的通解 提示 6 令 則方程變?yōu)?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 特征根 齊次方程通解 令非齊次方程特解為 代入方程可得 思考 若 7 中非齊次項改為 提示 原方程通解為 特解設法有何變化 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 P327題4 2 求解 提示 令 則方程變?yōu)?積分得 利用 再解 并利用 定常數(shù) 思考 若問題改為求解 則求解過程中得 問開方時正負號如何確定 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 P327題8設函數(shù) 在r 0 內(nèi)滿足拉普拉斯方程 二階可導 且 試將方程化為以r為自變 量的常微分方程 并求f r 提示 利用對稱性 即 歐拉方程 原方程可化為 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 解初值問題 則原方程化為 通解 利用初始條件得特解 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 特征根 例1 求微分方程 提示 故通解為 滿足條件 解滿足 處連續(xù)且可微的解 設特解 代入方程定A B 得 得 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 處的銜接條件可知 解滿足 故所求解為 其通解 定解問題的解 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例2 且滿足方程 提示 則 問題化為解初值問題 最后求得 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 思考 設 提示 對積分換元 則有 解初值問題 答案 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 的解 例3 設函數(shù) 內(nèi)具有連續(xù)二階導 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 1 試將x x y 所滿足的微分方程 變換為y y x 所滿足的微分方程 2 求變換后的微分方程滿足初始條件 數(shù) 且 解 上式兩端對x求導 得 1 由反函數(shù)的導數(shù)公式知 03考研 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 代入原微分方程得 2 方程 的對應齊次方程的通解為 設 的特解為 代入 得A 0 從而得 的通解 題目錄上頁下頁返回結(jié)束 由初始條件 得 故所求初值問題的解為 二 微分方程的應用 1 建立數(shù)學模型 列微分方程問題 建立微分方程 共性 利用物理規(guī)律 利用幾何關(guān)系 確定定解條件 個性 初始條件 邊界條件 可能還要銜接條件 2 解微分方程問題 3 分析解所包含的實際意義 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例4 解 欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星 為使其擺脫地球 引力 初始速度應不小于第二宇宙速度 試計算此速度 設人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為m 地球質(zhì)量為M 衛(wèi)星 的質(zhì)心到地心的距離為h 由牛頓第二定律得 G為引力系數(shù) 則有初值問題 又設衛(wèi)星的初速度 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 代入原方程 得 兩邊積分得 利用初始條件 得 因此 注意到 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 為使 因為當h R 在地面上 時 引力 重力 即 代入 即得 這說明第二宇宙速度為 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 求質(zhì)點的運動規(guī) 例5 上的力F所作的功與經(jīng)過的時間t成正比 比例系數(shù) 提示 兩邊對s求導得 牛頓第二定律 為k 開方如何定 已知一質(zhì)量為m的質(zhì)點作直線運動 作用在質(zhì)點 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例6 一鏈條掛在一釘子上 啟動時一端離釘子8m 另一端離釘子12m 如不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦 力 求鏈條滑下來所需的時間 解 建立坐標系如圖 設在時刻t 鏈條較長一段 下垂xm 又設鏈條線密度為常數(shù) 此時鏈條受力 由牛頓第二定律 得 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 由初始條件得 故定解問題的解為 解得 當x 20m時 s 微分方程通解 思考 若摩擦力為鏈條1m長的重量 定解問題的 數(shù)學模型是什么 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 摩擦力為鏈條1m長的重量時的數(shù)學模型為 不考慮摩擦力時的數(shù)學模型為 此時鏈條滑下來所需時間為 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 練習題 從船上向海中沉放某種探測儀器 按探測 要求 需確定儀器的下沉深度y與下沉速度v之間的函 數(shù)關(guān)系 設儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉 在下沉過程中還受到阻力和浮力作用 設儀器質(zhì)量為m 體積為B 海水比重為 儀器所受阻力與下沉速度成正 比 比例系數(shù)為k k 0 試建立y與v所滿足的微分 方程 并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) y v 95考研 提示 建立坐標系如圖 質(zhì)量m體積B 由牛頓第二定律 重力 浮力 阻力 注意 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 初始條件為 用分離變量法解上述初值問題得 質(zhì)量m體積B 作業(yè)P3175 6 P3273 8 4 2 4 8 11 1 得 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 備用題 有特 而對應齊次方程有解 微分方程的通解 解 故所給二階非齊次方程為 方程化為 1 設二階非齊次方程 一階線性非齊次方程 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 故 再積分得通解 復習 一階線性微分方程通解公式 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 2 1 驗證函數(shù) 滿足微分方程 2 利用 1 的結(jié)果求冪級數(shù) 的和 解 1 機動目錄上頁下頁返回結(jié)束 02考