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第二章 原子結(jié)構(gòu)習(xí) 題2.1 氫原子薛定諤方程中的能量E包含哪些能量？2.2 令將單電子原子的薛定諤方程分解為3個(gè)方程。2.3 氫原子薛定諤方程是否具有形為的解？若有，求a、b和能量E。2.4 若取變分函數(shù)為，式中為變分參數(shù)，試用變分法求H原子的基態(tài)能量和波函數(shù)。2.5 取變分函數(shù)為，式中為變分參數(shù)，試用變分法求H原子的基態(tài)能量，并與其1s態(tài)能量對比。2.6 分別求氫原子1s電子和2s電子離核的平均距離,并進(jìn)行比較。2.7求氫原子2p電子離核的平均距離。2.8 波函數(shù)有多少節(jié)面？用方程把這些節(jié)面表示出來。這些節(jié)面將空間分成幾個(gè)區(qū)域？2.9 驗(yàn)證氫原子波函數(shù)和是正交的，和也是正交的。2.10 求氫原子2p和3d電子幾率密度最大值離核的距離r。2.11 求氫原子2pz電子出現(xiàn)在的圓錐的幾率。2.12 求氫原子電子出現(xiàn)在的圓錐內(nèi)的幾率。2.13 比較氫原子中2px和2pz電子出現(xiàn)在相同半徑圓球內(nèi)的幾率大小。2.14 比較H中2s電子，He+中2s電子和He (1s12s1)中2s電子能量的大小。2.15 求氦原子第2電離能。2.16 實(shí)驗(yàn)測得O7+的電離能是867.09 eV，試與按量子力學(xué)所得結(jié)果進(jìn)行比較。2.17 實(shí)驗(yàn)測得C5+的電離能是489.98 eV, 試與按量子力學(xué)所得結(jié)果進(jìn)行比較。2.18不查表，求的角度部分。2.19 不查表，給出下列氫原子波函數(shù)的角度部分Y(不需要?dú)w一化)(1) 2px (2) 3s (3) 3px (4) 2.20求氫原子2px 電子出現(xiàn)在p1(r,/3,/4)和p2(r,/6,/8)兩處的幾率密度之比。2.21 一H原子波函數(shù)有一個(gè)徑節(jié)面，兩個(gè)角節(jié)面，該波函數(shù)的主量子數(shù)n和角量子數(shù)l各是多少？2.22 以p3組態(tài)為例，證明半充滿殼層的電子在空間的分布是球?qū)ΨQ的。2.23以p6組態(tài)為例，證明全充滿殼層的電子在空間的分布是球?qū)ΨQ的。2.24 證明對于僅是r的函數(shù)的s態(tài)，徑向分布函數(shù)可以寫作2.25 求處于1s態(tài)的H原子中的電子勢能平均值。2.26 試求氫原子波函數(shù)的(1) 徑向分布函數(shù)極大值的半徑；(2) 幾率密度極大值半徑；(3) 節(jié)面半徑。2.27 畫出氫原子軌道的角度分布圖。2.28 畫出原子軌道的角度分布圖在xy平面上的截面圖2.29 畫出原子軌道的角度分布圖2.30 求角動(dòng)量的3個(gè)分量在直角坐標(biāo)系中的算符、。2.31 氫原子中處于的電子，其角動(dòng)量在x軸和y軸上的投影是否具有確定值？若有，求其值；若沒有，求其平均值。2.32氫原子中處于的電子，其角動(dòng)量在x, y軸和z軸上的投影是否具有確定值？若有，求其值。2.33 氫原子中處于的電子，測量其角動(dòng)量z分量，得什么結(jié)果？2.34 氫原子中處于的電子，測量其角動(dòng)量z分量，得什么結(jié)果？2.35 氫原子中處于 (都是歸一化的)電子，其和L2有無確定值？若有，求其確定值；若沒有，求其平均值。2.36 氫原子中，函數(shù) (都是歸一化的)所描述的狀態(tài)，請給出其(1)能量的平均值(以R為單位)，能量出現(xiàn)的幾率；(2) 角動(dòng)量的平均值(以為單位)，角動(dòng)量出現(xiàn)的幾率；(3) 角動(dòng)量z分量的平均值(以為單位)，角動(dòng)量z分量出現(xiàn)的幾率。2.37 氫原子中，函數(shù) (都是歸一化的)所描述的狀態(tài)，請給出其(1) 能量的平均值(以R為單位)，能量出現(xiàn)的幾率；(2) 角動(dòng)量的平均值(以為單位)，角動(dòng)量出現(xiàn)的幾率；(3) 角動(dòng)量z分量的平均值(以為單位)，角動(dòng)量z分量出現(xiàn)的幾率。2.38 和中哪些是的本征函數(shù)，哪些是的本征函數(shù)，哪些是的本征函數(shù)。2.39 函數(shù)，是否是算符的本征函數(shù)？若是，本征值是多少？2.40 求氫原子中處于的電子，其角動(dòng)量與z軸的夾角。2.41 求氫原子3p電子的總角動(dòng)量與z軸的夾角。2.42 氫原子中l(wèi)=2的電子的自旋角動(dòng)量與軌道角動(dòng)量的相對方向有哪些？2.43 用氦原子變分法結(jié)果求Li原子的第2電離能。2.44 由氦原子基態(tài)能量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為-79.0 eV，求1s電子間的屏蔽系數(shù)。2.45 用斯萊特規(guī)則求Be原子基組態(tài)能量。2.46 求N原子第1電離能。2.47 求C原子第1電離能。2.48 寫出Be原子基組態(tài)的行列式波函數(shù)。習(xí) 題 詳 解2.1氫原子薛定諤方程中的能量E包含哪些能量？答：氫原子薛定諤方程中的能量E包含電子相對于原子核的運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能、電子與原子核之間的吸引能。2.2令將單電子原子的薛定諤方程分解為3個(gè)方程。解：將帶入定諤方程+=0 （1）兩邊乘以，且移項(xiàng)，得令兩邊等于同一常數(shù)，于是分解為兩個(gè)方程：+ （2） （3）再令，帶入方程（3）兩邊除以Y,移項(xiàng)得今兩邊等于同一常數(shù)u，于是又可將方程(4)方程分解為下列兩個(gè)方程 （5）= （6）這樣我們將關(guān)于的方程(1)，分解成三個(gè)常微分方程(2)，(5)和(6), 于是，解方程(1)歸結(jié)為解方程(2)，(5)和(6)。2.3 氫原子薛定諤方程是否具有形為的解？若有，求a、b和能量E。證明如下：由于只是r的函數(shù)，故的本征值方程為或者式中代入且除以上式為恒等式，所以有：（1）-（2）得：，即將b代入（2），將b代入（3），式中，2.4若取變分函數(shù)為，式中為變分參數(shù)，試用變分法求H原子的基態(tài)能量和波函數(shù)。解： 根據(jù)積分公式有因?yàn)?，將歸一化得到：2.5取變分函數(shù)為，式中為變分參數(shù)，試用變分法求H原子的基態(tài)能量，并與其1s態(tài)能量對比。解： 氫原子的哈密頓算符為 式中按積分公式：得：所以：， 按積分公式得： 令，得到： 因E0， 0 故E.2.6 分別求氫原子1s電子和2s電子離核的平均距離,并進(jìn)行比較。解：1s電子：積分公式，2s電子:2.7求氫原子2p電子離核的平均距離。解：三個(gè)2p軌道上的電子離核的平均距離相等，下面用2pz求解2.8波函數(shù)有多少節(jié)面？用方程把這些節(jié)面表示出來。這些節(jié)面將空間分成幾個(gè)區(qū)域？解：徑向節(jié)面：n-l-1=3-2-1=0；角度節(jié)面：l=2, , , 這2個(gè)角度節(jié)面將空間分成3個(gè)區(qū)域。2.9 驗(yàn)證氫原子波函數(shù)和是正交的，和也是正交的。證明：(1) 和是正交的：(2) 和是正交的：2.10求氫原子2p和3d電子幾率密度最大值離核的距離r。解：（1）三個(gè)2p電子幾率密度最大值離核的距離相同，下面用2pz求解。 （2）5個(gè)3p軌道離核的平均距離相同，下面用求解。2.11求氫原子2pz電子出現(xiàn)在的圓錐的幾率。解：2.12求氫原子電子出現(xiàn)在的圓錐內(nèi)的幾率。解： , 是歸一化的，即所以， 2.13比較氫原子中2px和2pz電子出現(xiàn)在相同半徑圓球內(nèi)的幾率大小。解：函數(shù)的徑向部分相同，所以出現(xiàn)在相同半徑圓球內(nèi)的幾率大小相等。2.14比較H中2s電子，He+中2s電子和He (1s12s1)中2s電子能量的大小。解：H的2s電子：He+的2s電子：He 的2s：2.15求氦原子第2電離能。解： Z2， n1eV2.16實(shí)驗(yàn)測得O7+的電離能是867.09 eV，試與按量子力學(xué)所得結(jié)果進(jìn)行比較。解： 計(jì)算值比實(shí)驗(yàn)值大3 eV, 約2.17實(shí)驗(yàn)測得C5+的電離能是489.98 eV, 試與按量子力學(xué)所得結(jié)果進(jìn)行比較。解： 誤差： 2.18不查表，求的角度部分。解：因?yàn)橹豢紤]角度部分2.19不查表，給出下列氫原子波函數(shù)的角度部分Y(不需要?dú)w一化)(1) 2px (2) 3s (3) 3px (4) 答：（1），（2）3s ， （3）3px ，（4），2.20求氫原子2px 電子出現(xiàn)在p1(r,/3,/4)和p2(r,/6,/8)兩處的幾率密度之比。解：2.21一H原子波函數(shù)有一個(gè)徑節(jié)面，兩個(gè)角節(jié)面，該波函數(shù)的主量子數(shù)n和角量子數(shù)l各是多少？解： 2.22以p3組態(tài)為例，證明半充滿殼層的電子在空間的分布是球?qū)ΨQ的。證明：方法一：. 方法二 2.23以p6組態(tài)為例，證明全充滿殼層的電子在空間的分布是球?qū)ΨQ的。證明方法參考2.22題。2.24證明對于僅是r的函數(shù)的s態(tài)，徑向分布函數(shù)可以寫作證明：2.25 求處于1s態(tài)的H原子中的電子勢能平均值。解： , 積分公式 2.26 試求氫原子波函數(shù)的（1）徑向分布函數(shù)極大值的半徑；（2）幾率密度極大值半徑；（3）節(jié)面半徑。解：（1），即 , (2) 即， ，為極值而非極大值，應(yīng)刪去，故極大值為。 （3）使 得到：2.27畫出氫原子軌道的角度分布圖。解： （1）節(jié)面：令，由，得， 由，得， ， （2）極大值：， （3）作圖：按算出不同值時(shí)的值，如下表所示（度）0180151653015039.2140.8451356012063.4116.6751059027021.6080.65000.3530.8750.8940.689010.8040.32500.1770.4380.4470.3450在xz平面上作圖，所得之圖形如下圖所示2.28畫出原子軌道的角度分布圖在xy平面上的截面圖。解：在xy平面上，（1）節(jié)面：（2）極大值：，（3）作圖：按算出不同值時(shí)的值，如下表所示022.5337.54531567.5292.590270112.5247.5135225157.5202.518010.9240.7070.3830-0.383-0.707-0.9241在xoy平面上作圖，所得之圖形為相切于原點(diǎn)的兩個(gè)圓，如下圖所示x2.29 畫出原子軌道的角度分布圖.解：2.30求角動(dòng)量的3個(gè)分量在直角坐標(biāo)系中的算符、。解： =，=，=在量子力學(xué)中，把動(dòng)量算符化=， =， =，=，=。2.31氫原子中處于的電子，其角動(dòng)量在x軸和y軸上的投影是否具有確定值？若有，求其值；若沒有，求其平均值。解： 角動(dòng)量在x軸和y軸上的投影均沒有確定值。2.32 氫原子中處于的電子，其角動(dòng)量在x軸和y軸上的投影是否具有確定值？若有，求其值；若沒有，求其平均值。解：所以，角動(dòng)量在x軸上有確定值，。 所以，角動(dòng)量在y軸上無確定值。角動(dòng)量在z軸上無確定值.2.33 氫原子中處于的電子，測量其角動(dòng)量z分量，得什么結(jié)果？解：狀態(tài)出現(xiàn)的幾率均為，所以測量其角動(dòng)量z分量，得不到確定值，得到和-的幾率各位50%.2.34氫原子中處于的電子，測量其角動(dòng)量z分量，得什么結(jié)果？解：無確定值，得到2和-2的幾率各位50%.2.35氫原子中處于 (都是歸一化的)電子，其和L2有無確定值？若有，求其確定值；若沒有，求其平均值。解：無確定值，其平均值為 有確定值，2.36 氫原子中，函數(shù) (都是歸一化的)所描述的狀態(tài)，請給出其(1)能量的平均值(以R為單位)，能量出現(xiàn)的幾率；(2) 角動(dòng)量的平均值(以為單位)，角動(dòng)量出現(xiàn)的幾率；(3) 角動(dòng)量z分量的平均值(以為單位)，角動(dòng)量z分量出現(xiàn)的幾率。解：（1） 能量出現(xiàn)的幾率：（2）角動(dòng)量出現(xiàn)的幾率為,由于是歸一化的，所以 即角動(dòng)量出現(xiàn)的幾率為1.（3） 角動(dòng)量z分量出現(xiàn)的幾率為0。2.37氫原子中，函數(shù) (都是歸一化的)所描述的狀態(tài)，請給出其(1) 能量的平均值(以R為單位)，能量出現(xiàn)的幾率；(2) 角動(dòng)量的平均值(以為單位)，角動(dòng)量出現(xiàn)的幾率；(3) 角動(dòng)量z分量的平均值(以為單位)，角動(dòng)量z分量出現(xiàn)的幾率。解：（1）, 能量出現(xiàn)的幾率為。（2）角動(dòng)量出現(xiàn)的幾率為,由于是歸一化的，所以 即角動(dòng)量出現(xiàn)的幾率為1.（3）由此看出，角動(dòng)量平均值為零，z分量出現(xiàn)的幾率為0。2.38 和中哪些是的本征函數(shù)，哪些是的本征函數(shù)，哪些是的本征函數(shù)。答： 全部是的本征函數(shù)；全部是的本征函數(shù)；是的本證函數(shù)。2.39 函數(shù)，是否是算符的本征函數(shù)？若是，本征值是多少？解： 函數(shù)，均是算符的本征函數(shù)，其本征值分別為和-.2.40 求氫原子中處于的電子，其角動(dòng)量與z軸的夾角。解：，n=3, l=2, m=1 , ; , , 2.41求氫原子3p電子的總角動(dòng)量與z軸的夾角。解：, 2.42氫原子中l(wèi)=2的電子的自旋角動(dòng)量與軌道角動(dòng)量的相對方向有哪些？解：l=2, , , 2.43用氦原子變分法結(jié)果求Li原子的第2電離能。解：用變分法得到氦原子的能量為 eV2.44由氦原子基態(tài)能量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為-79.0 eV，求1s電子間的屏蔽系數(shù)。解：He：1s2 =-79.0 eV 2-=1.70 =0.302.45解：用斯萊特規(guī)則求Be原子基組態(tài)能量。Be基組態(tài)為1s22s2， eV2.46求N原子第1電離能。解：N+ 組態(tài)為1s22s22p2, , eV組態(tài)1s22s22p3：， eV eV2.47求C原子第1電離能。解：組態(tài)1s22s22p1, , ,eV組態(tài)1s22s22p2：，eVeV2.48寫出Be原子基組態(tài)的行列式波函數(shù)。解：答 案2.1 電子的動(dòng)能、電子與原子核的吸引能。2.2 + （1） （2）= （3）其中是分離變量時(shí)引入的常數(shù)。2.3 有, , , .2.4 , .2.5 2.6 , .2.7 .2.8 2, , , 3.2.9 略2.10 , .2.11 0.3232.12 0.3092.13 相等.2.14 2.15 54.4 eV2.16 870.4 eV2.17 489.6 eV，計(jì)算值大于實(shí)驗(yàn)值0.037。2.18 2.19 ; ; ; .2.20 1.757.2.21 . 2.22 略2.23 略2.24 略2.25 -27.2 eV.2.26 , ; ; .2.27 2.28 2.29 2.30 略2.31 均沒有, 平均值均為零.2.32 x軸: 有確定值，; y軸: 無確定值,