線性代數(shù)第一版習(xí)題4答案.doc

習(xí)題4 P1251設(shè)3（1-）+2（2-）=5(3+) 其中，1=，2=，3=。求解：由3（1-）+2（2-）=5(3+)31-3+22+2=53+5(5+3-2) =31+22-536=31+22-53=1+2+3=+-=+-=2設(shè)=,=,=,求-,3+-2,解：-=-=.3+-2=3+-2=+-=3將下列各題中的向量用其余向量線性表示。（1） =，1=，2=，3=，4=。（2） =，1=，2=，3=，4=。解：設(shè)有數(shù)，使1+2+3+4=即 （1，2，3，4）=得線性方程組解此線性方程，對增廣矩陣作行初等變換，化成行最簡形矩陣=B可見=3，因此向量B可由1，2，3，4線性表示。由行最簡形，有 即 令=C，（C為任意實數(shù)）有即從而得表示式=（1，2，3，4）=（1，2，3，4）= ,其中，.取C=0，則有=31+53。（2）設(shè)有數(shù)，使1+2+3+4=即 （1，2，3，4）=得線性方程組： 。解此線性方程組，對增廣矩陣作行初等變換，化成行最簡形矩陣，可見R(A)=R(A非）=4，因此向量可由1，2，3，4線性表示，由行最簡形，有從而得表示式：=（1，2，3，4）=（1，2，3，4）=4問下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由。（1）=，=；（2）=，=，,=，=（3）=，=，；（4）=，=，=。解：對由向量組，構(gòu)成矩陣A=(,)施以行初等轉(zhuǎn)換，化為階梯型矩陣，求A的秩。A=.因為R(A)=1，小于向量組中所含向量個數(shù)，所以向量組，線性相關(guān)，因為對應(yīng)分量成比例，（2）向量組，線性相關(guān)，因為向量組的個數(shù)m=4，維數(shù)n=3.向量組的個數(shù)維數(shù)，故向量組線性相關(guān)。P101 推論2（3） 對由向量組，構(gòu)成矩陣A=（，）施以行初等變換，化為行階梯形矩陣，求矩陣A的秩A= 因為R（A）=3，等于向量組中所含向量的個數(shù)，故向量組線性無關(guān)。法2： =30 向量組線性無關(guān) P101 推論1（4） 對由向量組，構(gòu)成的矩陣A=（，）施以行初等變換，化為行階梯形矩陣，求矩陣A的秩A=因為R（A）=3，等于向量組中所含向量的個數(shù)，故向量組線性無關(guān)。5.問a取什么值時下列向量組線性相關(guān)？ ， ，解：法一：對由向量組構(gòu)成的矩陣A=（）施行行初等變換，化為行階梯形矩陣，求矩陣A的秩。A= 所以當(dāng)a=-1及a=2時，R(A)=2，小于向量組中所含向量的個數(shù)，此時，向量組線性相關(guān)。法二：設(shè)由構(gòu)成的矩陣為A，則= = -（a+1）(a-2)=0所以當(dāng)a=-1及a=2時，R(A)=2，小于向量組中所含向量個數(shù)，此時，向量組線性相關(guān)。6. 設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組，線性無關(guān)，證明（1） 能由，線性表示，且表示式唯一。（2） 不能由，線性表示。證明：（1），線性相關(guān) 有不全為零的數(shù)，使+=0.下證0.若=0，則，不全為零，并且+=0. ，線性相關(guān)，從而，也線性相關(guān)，矛盾. 0.從而有=（-）+（-）.可由，線性表示，且表示式唯一.（2） （反證法） 若可由，線性表示，則有一組數(shù)，使=+.而由（1）知，可由，線性表示，從而有一組數(shù)，使=+. 從而有：=（+）+ =（+）+（+）. (+)+(+)=0.而 +，+，-1為不全為零的數(shù)，因此，線性相關(guān).矛盾，所以不能由，線性表示。7. 設(shè)1=1+2，2=2+3，3=3+4，4=4+1，證明向量組1，2，3，4線性相關(guān) 。證明一：1-2+3-4=(1+2)-(2+3)+(3+4)-(4+1)=0.由定義知向量組1，2，3，4線性相關(guān).證明（法二）：由題設(shè)（1，2，3，4）=（1，2，3，4）記作B=AK.=-=1-1=0. 故R(K)4.由矩陣秩的性質(zhì)可知R(1，2，3，4)R(K)4.由定理知，向量組1，2，3，4線性相關(guān).證明(法三)：設(shè)有x1,x2,x3,x4,使x11+x22+x33+x44=0即 x1（1+2）+x2（2+3）+x3（3+4）+x4（4+1）=0也即 （x1+x4）1+（x1+x2）2+（x2+x3）3+（x3+x4）4=0考察線性方程組 ，因為齊次線性方程組系數(shù)矩陣的行列式=0. 因而有非零解.即向量等式x11+x22+x33+x44=0有非零解，故向量組1，2，3，4線性相關(guān).8.9. 求向量組的秩及其一個最大無關(guān)組。（1） ， ，（2） ， ， ，解：（1）設(shè)構(gòu)成矩陣對施以行初等變換，化為行階梯形矩A= 可知K(A)=3,所以向量組，的秩為3，A的一個最高階非零子式為 =150(2) ,.解：設(shè)構(gòu)成矩陣A=，對A施以行初等變換，化A為行階梯型矩陣。A=B可知R(A)=2，所以向量組的秩為2。B中的二階子式D=2.因此，是B的列向量的一個最大無關(guān)組，從而，是A中的列向量的一個最大無關(guān)組。10、問a取何值時，向量組的秩等于3， ， 解：設(shè)構(gòu)成矩陣A=，對A施以行初等變換，化A為行階梯型矩陣。A=故當(dāng)且時，R11.求向量組的一個最大無關(guān)組，并將其余向量由此最大無關(guān)組線性表示。（1）=, = (2)解（1）設(shè)，構(gòu)成矩陣A=（），對A施以行初等變換，可得：A=B可知R（A）=3，所以向量組D=因此， 由此可知。繼續(xù)施以行初等變換，化為行最簡形矩陣，B在矩陣R中且所以，A的列向量也有線性關(guān)系：(2)設(shè)，構(gòu)成矩陣A=（），對A施以行初等變換，可得：A=B可知R（A）=2,所以向量組的秩為2。B中2階子式D=-20因此，是B的列向量組無關(guān)組，從而是A的列向量組的一個最大無關(guān)組。繼續(xù)施以初等行變換，化為行最簡矩陣，B=R在矩陣R中，是列向量組的最大無關(guān)組，且所以，A的列向量也有關(guān)系式：12. 設(shè)是一組n維向量，已知n維單位坐標(biāo)向量能由它們線性表示，證明線性無關(guān)。證明：由題可知， ，有E=AK.從而n=R(E)=maxR(A),R(K)=R(A)=n得R(A)=n,從而，.，線性無關(guān)。13設(shè)向量組B：，., 能由向量組A：，線性表示為 （）=（）K， 其中，K為sr矩形，且A組線性無關(guān)，證明B組線性無關(guān)的充分必要條件是矩形K的秩R（K）=r。證明：（法一）記A=（），B=（），則有B=AK 必要性：設(shè)向量組B線性無關(guān)，知K(B)=r.又由B=AK,知 R(K)R(B).但K含r列，R(K)r，于是 r=R(B)R(K)r,即R(K)=r,K為列滿秩矩陣。充分性：設(shè)R(B)=r,要證B組線性無關(guān).由于 =0 =0 =0 (因R(A)=S) =0 (因R(K)=r) 因此，向量組B線性無關(guān)。（法二）由=AK,因R(A)=S. A為列滿秩矩陣，知R(B)=R(K)于是，B組線性無關(guān)R(B)=rR(K)=r。(法三) 線性無關(guān)，即()=0 只有零解（）K=0只有零解，線性無關(guān)K=0只有零解R(K)=r。14.設(shè)向量組，證明向量組與秩相等。證明：由題設(shè) （）=（）記B=AK,(K)0，K可逆。從而有（）=（），記A=B,向量組與等價，從而秩相等。15.設(shè)四階方陣A=()，B=(),如果R(A)=4，試證明齊次線性方程組B=0有非零解。證明：齊次線性方程組B=0有非零解矩陣B的秩R(B)4B的四個列向量線性無關(guān)。設(shè)有數(shù)，使 ，即有，由題設(shè)R(A)=4,所以向量組線性無關(guān)，從而得： （線性無關(guān)定義）因為齊次線性方程組系數(shù)矩陣的行列式 =16.求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，P113.例4.13 知R（A）=24?；A(chǔ)解系，有兩個線性無關(guān)的解構(gòu)成。原方程組的同解線性方程組為：分別取代入上式，得：.合在一起得齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系： 從而方程組的通解為： （2）對系數(shù)矩陣A施以行初等變換，化矩陣A為行最簡形矩陣。知R（A）=23，基礎(chǔ)解系由一個解組成，原方程組的同解方程為：取得齊次方程組的基礎(chǔ)解系為：從而得方程組的通解為： （3） 對系數(shù)矩陣A施以行初等變換，化矩陣A為行最簡形矩陣。知R（A）=24，基礎(chǔ)解系有兩個線性無關(guān)的解組成，原方程組的同解方程為：分別取代入上式得：合在一起得齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為：從而得方程組的通解為：（4）對系數(shù)矩陣A施以行初等變換，化矩陣A為行最簡形矩陣。知R（A）=24,基礎(chǔ)解系，由兩個線性無關(guān)的解組成，原方程組的同解方程為：分別取 代入上式，得：合在一起得齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：從而得方程組的通解為：17.求非齊次線性方程組的通解。（1） （2）解：（1）對增廣矩陣施以行初等變換，化為行最簡形矩陣?？梢奟（A）=3，故原方程組有唯一解，原方程組的同解方程為 故方程組的解為（2）對增廣矩陣施以行初等變換，化為行最簡形矩陣?？梢奟（A）=34，故原方程組有窮解，原方程組的同解方程為取x4為自由未知數(shù)，并令x4=0，代入上式，得方程組的一個特解： 原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為令x4=k，得導(dǎo)出組的通解為，其中是其導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系。導(dǎo)出組的通解為所以非齊次線性方程組的通解為 即。18.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3。已知是它的三個解向量，且求該方程組的通解。解：設(shè)方程組為Ax=b,因為R（A）=3，所以齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含1個向量，即Ax=0的任一非零解均是一個基礎(chǔ)解系。則 所以19.設(shè)矩陣A=向量的通解。解：（法一）因為故而所以R（A）=3，從而方程Ax=0的解向量個數(shù)為1，由所以是Ax=0的一個基礎(chǔ)解系。又因為所以的一個特解。所以方程Ax=： （法二）：令 所以即 （）即 因為解方程組可得：，的通解。20. 設(shè)a=證明：三直線相交于一點的充分必要條件為：向量a,b線性無關(guān)，且相量組a,b,c線性相關(guān),證明：令方程組可寫成：則三直線相交于一點 向量組a,b線性無關(guān)，且向量組a,b,c線性相關(guān).21. 設(shè)n階方陣A滿足A=A，E為n階方陣，證明： 證明：而由 所以。所以 22. 設(shè)A為階n矩陣(n)，,證明證明：（1）當(dāng)R（A）=n時，所以R（）（2）當(dāng)R（A）=n-1時，A至少有一個n-1階子式不為零，從而 所以，另外，R（A）=n-1， 則所以（3）當(dāng)23. 設(shè)問解： 有 （2）任意 24. 試證：由 所生成的向量空間就是。證明，設(shè)向量組令 A則所以A可逆，從而任意. 令則.取25