淺談教材中例習題再設(shè)計的若干類型.doc

淺談數(shù)學教材中例習題再設(shè)計的若干類型浙江省龍游縣模環(huán)初中(324407) 徐偉建摘要：教材中的例習題為師生教與學活動提供了大量有趣、生動的問題，是教師傳授知識、學生習得技能的重要載體。其中有些例習題具有一定的彈性和探索性,有開發(fā)、挖掘和拓展的空間。本文以浙教版課標教材為例,談數(shù)學教材中例習題再設(shè)計的若干類型,以期提高課堂教學的實效性。關(guān)鍵詞：教材例習題；設(shè)計類型葉圣陶先生說過：“教材只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學生受益，還得靠老師的善于運用。”由此可見，教師作為學生學習的指導者，應(yīng)該在深入鉆研課程標準、教材和學生的過程中，正確理解教材編寫的意圖，從實際出發(fā)，對教材進行適度的開發(fā)，以提高課堂教學的實效性。教材中的例習題為師生教與學活動提供了大量有趣、生動的問題，它們是教師傳授知識、學生習得技能的重要載體。教材中有些例習題具有一定的彈性和探索性，若將它們進行適當?shù)脑僭O(shè)計，既能起到完善知識結(jié)構(gòu)，梳理知識網(wǎng)絡(luò)的作用；又能增強學生的學習興致，提高探究能力；還能啟迪學生思維，開闊知識視野。筆者結(jié)合教學實踐，以浙教版課標教材為例，介紹教材中例習題再設(shè)計的若干類型。一設(shè)計陷阱類問題，增強學生的思辨能力我們常用“吃一塹，長一智”來比喻：一個人經(jīng)受一次挫折，就會增長一份智慧。學習也是如此，當學生在學習中有過“上當受騙”的經(jīng)歷后，他對知識的記憶會特別深刻，掌握也更加牢固。因此，教師若能在學生易錯之處設(shè)計一些“陷阱”問題，誘使學生出錯，再利用學生的“錯誤”資源進行教學，既生動有趣，又能較好地培養(yǎng)學生的思辨能力。案例1.浙教版課標教材七(上)“1.2有理數(shù)”(課內(nèi)練習第1題)題目：(1)汽車在一條南北走向的高速公路上行駛，規(guī)定向北行駛的路程為正。汽車向北行駛75Km，記作 Km，汽車向南行駛100Km，記作 Km。(2)若從銀行取出50元記為-50元，那么30.50元表示 。學生在學習“相反數(shù)”的概念時，經(jīng)常將“不同意義的量”當作“相反意義的量”。為此，筆者在講解該習題時，當學生順利回答完上述問題后，緊接著補充下列問題。問題1.若玲玲爸爸上周炒股盈利2000元記為+2000元，那么他本周支出800元記為 元。眾生:-800元。（老師笑而不答，此時有學生舉手）生1：不對，不能記為-800元。(眾生驚訝!)問題2：誰來說說為什么不能?生2：因為盈利2000元和支出800元不是具有相反意義的量。(眾生此時恍然大悟，原來如此!)問題3：誰能改一改，使它們能用“+”“-”號來表示呢？生3：把“支出800元”改為“虧損800元”或把“盈利2000元”改為“收入2000元”?！菊f明】教師針對學生對“相反意義”與“不同意義”兩個量的認知“盲點”，設(shè)置“陷阱”問題1。學生由于剛剛學了用正、負數(shù)表示具有相反意義的兩個量，同時受原問題的誘惑，很自然地答出-800元，誘使學生誤入歧途，這樣可充分暴露學生的認知缺陷。然后，教師通過問題2、3的追問，使學生深刻地認識到錯誤的關(guān)鍵所在，學生因誤入“陷阱”而大大增強思辨能力。案例2浙教版課標教材七(上)“2.4有理數(shù)的除法”(作業(yè)題第3題)題目：計算（- + - ）（- ）計算該題時，先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再運用分配率計算很方便。在復習課中，筆者將題目略作改動，設(shè)計了陷阱問題。問題：計算（- ）（ - + - ），結(jié)果好多學生紛紛“中計”，仍舊按照分配律計算。過程如下：原式=(- )6+(- )(- )+(- )()(- )(- )=算完之后，學生自鳴得意，卻不知自己已經(jīng)誤入歧途。【說明】分配律在有理數(shù)的運算中可起到簡便計算的作用，但學生在運用分配律時，往往跟著“感覺走”，只看形式不辨實質(zhì)。教學中設(shè)置“陷阱”問題，學生經(jīng)歷了“上當受騙”的過程，再通過比較辨析，對分配律的認識要深刻的多，就會更加謹慎地運用分配律。二設(shè)計替代類問題，突破教學的疑難困惑教材中有些例題的設(shè)置需要學生通過動手操作完成，或需要運用多媒體、幾何畫板等輔助教學手段。但由于受到諸多條件的制約，教學中有時會遭遇一些困惑。此時，教師若能根據(jù)教材的設(shè)置意圖，結(jié)合學生的實際學習能力，將教材例習題進行適當?shù)卣细木?，設(shè)計一些替代類問題，這種“因生制宜”的問題，可很大程度地幫助學生掌握新知，達到突破教學困惑的成效。案例3.浙教版課標教材九（上）“2.4二次函數(shù)的應(yīng)用（第3課時）”(例5)題目：利用二次函數(shù)的圖像求方程x2+x-1=0的近似解。 該例題教學要求是：利用二次函數(shù)圖像求一元二次方程的近似解，進一步體驗數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。在此，通常把方程的解看作是函數(shù)y=x2+x-1圖像與x軸交點的橫坐標，而要得到方程的近似解，首先要畫出二次函數(shù)y=x2+x-1的圖像，要較準確地畫出該函數(shù)的圖像，采用的往往是“五點法”(其中的“兩點”就是圖像與x軸的交點)。如此看來，該問題的解決就陷入了“求方程解畫出圖像根據(jù)圖像得方程解”的怪圈，這是筆者與同事教學該例題時的困惑。為此，在教學中，我們設(shè)計以下問題替代該例題，較好地達成了教學目標。問題1：已知函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖像如圖(1)所示，則方程ax2+bx+c=0的解是 。問題2：已知，如圖(2)函數(shù)y1=kx+b(k0)與函數(shù)y2=ax2+bx+c（a0）的圖像相交于A，B兩點，則方程組的解是 。y-11x圖(3)-1y-13x圖(1)B(5,4)yxA(-2,1)圖(2)問題3：已知函數(shù)y1=kx+b(k0)與函數(shù)y2=ax2+bx+c（a0）的圖像如圖(2)所示，則由圖像可得：當x ， y1y2；當x ， y1y2。問題4：已知方程x2-1= ，請你判斷該方程解的個數(shù)（ ）（A）0個 （B）1個 （C）2個 （D）3個分析：問題4若采用解分式方程的方法求解方程x2-1= ，就會使問題的解決陷入困境。此時，可將方程x2-1= 的解看作拋物線y= x2-1與雙曲線y=交點的橫坐標，通過畫出函數(shù)的草圖(3)，問題即可輕松解決?！菊f明】教參指出：該例題的教學功能主要是，學生通過觀察函數(shù)圖像發(fā)現(xiàn)一元二次方程的近似解，滲透數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學思想。然而，該例題由于受到諸多條件的制約，教學中，有的教師就蜻蜓點水，有的就讓學生自學，有的干脆就一跳而過不能很好地達成教學目標。通過設(shè)置替代的系列問題13，讓學生學會了觀察圖像找到方程(組)的解以及不等式的解集。再通過問題4，讓學生經(jīng)歷畫圖像的過程，就更為深刻地體會到數(shù)形結(jié)合思想在解題中的重要作用。這不僅有效達成了教學目標，擴展了例題的教學功能，也較好地解決了教學中的困惑。三設(shè)計開放類問題，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維教材中有些例題，由于受到課時教學目標的制約，問題設(shè)置的針對性強，但開放性相對不足，學生的思維會受到一定限制。教學時，教師若能根據(jù)教材與學生的實際，對例題中的問題進行再設(shè)計，將單一問題多樣化，封閉問題開放化，這有助于調(diào)動學生的學習積極性，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維能力。案例4.浙教版課標教材八(下)“5.5平行四邊形的判定”(例2)圖(1)CBADEFCBAD圖(2)題目：已知，如圖(1)在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，且BAE=DCF。求證：四邊形AECF是平行四邊形。題目由于受條件“BAE=DCF”的限制，解決問題的方式比較單一，若將問題條件“BAE=DCF”刪去，可設(shè)計如下問題。問題：已知，如圖(2)在平行四邊形ABCD中，請你在對角線BD上依次取兩點E、F，連結(jié)AE、EC、CF、FA，使得四邊形AECF為平行四邊形，并說明你的理由。ADBCEFCBADEFBCADEFCBADEFCBADEFQP取BE=DF圖(3)作AEBD，CFBD圖(4)作APBC交BD于點E，CQAD交BD于點F 圖(5)作BAD，BCD的角平分線分別交BD于E、F圖(6)在對角線BD的延長線上取BE=DF圖(7)（連接AC交BD于點O，取OE=OF）圖(8)OCBADFE此問題設(shè)計較為開放，學生思維異?；钴S，問題答案也是精彩紛呈。學生除了回答出教材中例題的圖形外，還得出了多種結(jié)果，列舉如下，如圖(3)(8)?！菊f明】學生的解答幾乎囊括了平行四邊形性質(zhì)與判定的各種基本方法，系統(tǒng)地梳理了所學知識，大大提高了學生靈活運用知識的能力。由此可見，從學生實際出發(fā)將例題的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、呈現(xiàn)方式等進行再加工，設(shè)計開放類問題，引導學生多角度地去分析問題、解決問題，不僅有利于學生掌握所學知識，也有助于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)。四設(shè)計遞進類問題，激發(fā)學生的探究熱情學生個體的發(fā)展存在著一定的差異，認知水平也不是整齊劃一的。因此，課堂教學中應(yīng)充分考慮到學生的個體差異，問題設(shè)計應(yīng)體現(xiàn)一定的層次與坡度，以滿足不同思維層次學生的需要，激發(fā)學生的探究欲望，讓每一位學生都能獲得成功的體驗。案例5.浙教版課標教材七(下)“6.4因式分解的簡單運用”(作業(yè)第6題，C組題)題目：如圖，現(xiàn)有正方形紙片3張，長方形紙片3張，請你將它們拼成一個長方形，并運用面積之間的關(guān)系，將多項式2a2+3ab+b2因式分解。aabbababaaab該問題要求學生運用數(shù)形結(jié)合思想來解決，對于七年級學生來說，數(shù)形結(jié)合思想是個的難點，教材中又刪去了“十字相乘法”分解因式的內(nèi)容。因此，好多學生對此問題的解決感到束手無策，缺乏探究熱情。教學時，筆者將問題重新設(shè)計如下：問題1：如圖(1)，將三個小長方形拼成一個大長方形，你能驗證的因式分解等式是 。mmmmabcabc圖(1)aabaABCD圖(2)問題2：如圖(2)，由1個長、寬分別是a、b的長方形，2個邊長為a的正方形拼接成一個大長方形ABCD，根據(jù)題中所提供的數(shù)據(jù)，請你寫出其中任意三個因式分解的等式。問題3：如圖(3)，現(xiàn)有正方形紙片2張，長方形紙片2張，請你將它們拼成一個正方形，并運用面積之間的關(guān)系，將多項式a2+2ab+b2因式分解。abbaba圖(3)ab問題4：如圖(4)，現(xiàn)有正方形紙片3張，長方形紙片3張，請你將它們拼成一個長方形，并運用面積之間的關(guān)系，將多項式2a2+3ab+b2因式分解。圖(4)aabbababaaab【說明】案例5中的題目體現(xiàn)的是數(shù)形結(jié)合思想，該思想對學生來說既是重點也是難點。在對比教學中，筆者發(fā)現(xiàn)直接解決案例5中的問題，班上絕大多數(shù)學生無從下手；而教師通過設(shè)置問題13，既為解決問題4（案例中的題目）做了鋪墊，也讓學生更深刻地領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想，實踐表明學生的參與層度要高得多。這樣的遞進設(shè)計使問題由淺入深、步步深入，激發(fā)學生的探究熱情，滿足不同層次學生的需要。五設(shè)計拓展類問題，開闊學生的知識視野著名數(shù)學教育家波利亞曾形象地指出：“好問題同種蘑菇類似，它們都成堆地生長，找到一個后，你應(yīng)當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個?！币虼耍覀冊诮虒W中，有時不能僅僅就題論題，孤立解題，應(yīng)該將問題進行適當?shù)淖兓瑢⒁粋€靜態(tài)的問題從不同角度、不同層次、不同側(cè)面考慮，使問題得以拓展，從而開闊學生的視野。AFEDCB案例6.浙教版課標教材八(上)“2.3等腰三角形判定”(配套同步練習第2題)題目：如圖，在ABC中，AB=AC，ABC， ACB的平分線交于點F，過F作DEBC，交直線AB，AC于點D、E。若ADE的周長為10cm，則AB的長為（ ）(A)15cm (B)10cm (C)5cm (D)4cm該題將“三角形內(nèi)角平分線與平行線”這一“黃金搭檔”置于等腰ABC中，容易發(fā)現(xiàn)BDF和CEF是等腰三角形，從而使問題得到解決。那么將“三角形內(nèi)角平分線與平行線”這一組合置于一般的三角形中，或?qū)?nèi)角平分線改為外角平分線，是否具有同樣的結(jié)論呢？因此，可以將該問題進行拓展，設(shè)計出下列問題，引導學生深入探究。問題1：如圖(1)，ABC兩條內(nèi)角的平分線交于點F，過F作DEBC，交直線AB于點D，交直線AC于點E。問：圖中線段BD、CE、DE之間有何關(guān)系？BEDFCBAFGEDCBAEFDCBAGAFEDC圖(1)圖(2)圖(3)圖(4)問題2：如圖(2)，ABC兩條外角的平分線交于點F，過F作DEBC，交直線AB于點D，交直線AC于點E，上述結(jié)論DE=DB+CE是否成立？問題3：如圖(3)，ABC內(nèi)角的平分線與外角的平分線交于點F，過F作DEBC，交直線AB于點D，交直線AC于點E。請問DE、DB、CE有何關(guān)系？（結(jié)論BD=DE+CE）問題4：如圖(4)，ABC內(nèi)角的平分線與外角平分線交于點F，且BFAC，過F作DEBC，交直線AB于點D，交直線AC于點E。請問AD、DB、CE有何關(guān)系？(結(jié)論BD=AD+CE)【說明】原問題的拓展設(shè)計，從不同的角度揭示知識的本質(zhì)屬性，這種既有“形變”又有“質(zhì)變”的變式，讓學生在變化的問題中，尋找其規(guī)律，既培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性、深刻性，也培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，使學生的視野更寬廣，思維更活躍。六設(shè)計操作類問題，親歷知識的發(fā)現(xiàn)過程數(shù)學課程標準中指出有效的數(shù)學學習過程不能單純地依賴模仿和記憶，應(yīng)鼓勵學生大膽實踐，把動手實驗和操作作為數(shù)學學習的一種重要方式，強調(diào)主體感知。動手操作類問題通常把學生熟悉的、感興趣的圖形提供給他們作為觀察、操作、實驗的背景材料，讓他們在“做數(shù)學中學數(shù)學”，注重動手實踐與自主探究能力的培養(yǎng)。DE2F1BmAC案例7.浙教版課標教材八(下)“6.3正方形”(例6)題目：已知，如圖在RtABC中，ACB=90，CD是ACB的平分線，DEBC， DFAC，垂足分別是E，F(xiàn)。 求證:四邊形CFDE是正方形。該例題要求判定四邊形CFDE是正方形，可根據(jù)條件先判定它是矩形，再根據(jù)“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”，結(jié)論很快得到求證。BmAC教參對該例題教學有如下建議：“正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，這條性質(zhì)可以把一些正方形的問題轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形來解，