學(xué)會(huì)解題系列講座07＿幾種計(jì)算技巧.doc

學(xué)會(huì)解題系列講座幾種計(jì)算技巧 準(zhǔn)確是數(shù)值計(jì)算的基本要求，迅速是數(shù)值計(jì)算的較高追求。一些數(shù)值計(jì)算題，常因數(shù)字大、項(xiàng)數(shù)多、次數(shù)高而使問題表面復(fù)雜，通常都是計(jì)算與推理兩兼的技巧題。進(jìn)行復(fù)雜數(shù)值計(jì)算的常用技巧是：巧用運(yùn)算律；湊整組合；裂項(xiàng)相消；反序相加；錯(cuò)項(xiàng)相減；分解相約等。裂項(xiàng)相消1. 模型計(jì)算：觀察：下列等式：， ，將以上三等式兩邊相加得：1.猜想：寫出：_；應(yīng)用：直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：_；_；拓展：試在1，2，3，100這一百個(gè)自然數(shù)中，挑選10個(gè)數(shù)，使這10個(gè)數(shù)的倒數(shù)和等于1.（提示：利用的結(jié)論）。變式：lll提煉：原式2. 應(yīng)用llll3. 創(chuàng)新觀察下列各式：計(jì)算：3(12+23+34+101102)=（）A101102103 B100101102 C99100101 D9899100lln注：解：原式=反序相加1. 模型計(jì)算：1+2+3+4+100設(shè)s= 1+ 2+ 3 +4+100則s=100+99+98+96+ 1 兩邊相加得： 2s=101+101+101+101+101 2s=101100 s=1011002=5050變式：l 12+15+18+21+24+27+30+33+36l 1+2+3+4+提煉： 其幾何解釋：對(duì)于這個(gè)求和問題，如果采用純代數(shù)的方法（首尾兩頭加），問題雖然可以解決，但在求和過程中，需對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透數(shù)形結(jié)合的基本思想，就是在研究問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案如果采用數(shù)形結(jié)合的方法，即用圖形的性質(zhì)來說明數(shù)量關(guān)系的事實(shí)，那就非常的直觀現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來求1234n 的值，方案如下：如圖，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3，n個(gè)小圓圈排列組成的而組成整個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)恰為所求式子1234n的值為求式子的值，現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個(gè)平行四邊形此時(shí)，組成平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有（n1）個(gè)小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個(gè)數(shù)為n（n1）個(gè)，因此，組成一個(gè)三角形小圓圈的個(gè)數(shù)為，即1234n（1）仿照上述數(shù)形結(jié)合的思想方法，設(shè)計(jì)相關(guān)圖形，求1357（2n1）的值，其中 n 是正整數(shù)（要求：畫出圖形，并利用圖形做必要的推理說明）（2）試設(shè)計(jì)另外一種圖形，求1357（2n1）的值，其中n是正整數(shù)（要求：畫出圖形，并利用圖形做必要的推理說明）2. 應(yīng)用ll 15+17+19+2013lll +l l解：設(shè)S= 則有S=2S1234592S5958571 4S60606060（59個(gè)60）6059S885+222錯(cuò)項(xiàng)相減1. 模型計(jì)算：1+2+22+23+24+22013（2013張家界）閱讀材料：求1+2+22+23+24+22013的值解：設(shè)S=1+2+22+23+24+22012+22013，將等式兩邊同時(shí)乘以2得： 2S=2+22+23+24+25+22012+22013+22014 將下式減去上式得2SS=220141 即S=220141 即1+2+22+23+24+22013=220141請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：（1）1+2+22+23+24+210（2）1+3+32+33+34+3n（其中n為正整數(shù)）變式：l提煉： 除了用上述方法，還可用以下數(shù)形結(jié)合的方法來解。幾何解釋：構(gòu)造面積為1的三角形或正方形，利用圖形間的面積關(guān)系可得結(jié)果為。2. 應(yīng)用lll注：根據(jù)題目特點(diǎn)，靈活選擇計(jì)算方法。如12345678200920102011201220132014已知，。則_.分解相約計(jì)算：1.2.3.4. 提示：5.6. 其他u 取倒數(shù)：1. 閱讀下列材料：計(jì)算：解法一：原式；解法二：原式；解法三：10故原式.上述得出的結(jié)果不同，肯定有錯(cuò)誤的解法，你認(rèn)為解法_是錯(cuò)誤的，在正確的解法中，你認(rèn)為解法_最簡捷。計(jì)算：。2. 解方程組： 3. 已知，則_。4. 已知、為實(shí)數(shù)，且，那么的值是_.u 平方5. 化簡：的結(jié)果是（）A. 1 B. C. 2 D. u 用定義6. 如果是方程的一個(gè)根，那么代數(shù)式的值是（）A6B8C6 D87. 如果是一元二次方程的兩個(gè)根，那么的值是_.8. 若，則方程必有一解是_.9. 若是方程的一個(gè)根，則的值等于_.10. 已知方程的兩個(gè)根的和為，兩根的平方和為，求的值。11. 定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個(gè)方程為“鳳凰”方程. 已知 是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（）A B C D u 配方12. 閱讀：；。應(yīng)用：請(qǐng)你利用上述方法化簡：；對(duì)于的化簡，若存在兩個(gè)數(shù)、滿足，請(qǐng)你利用上述