北京市東城區(qū)2020屆高三上學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題—附答案

2019 2020 學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測(cè) 高三數(shù)學(xué) 本試卷共 4 頁(yè) 共 150 分 考試時(shí)長(zhǎng) 120 分鐘 考生務(wù)必將答案答在答題卡上 在試卷上作答無(wú)效 考試結(jié)束 后 將答題卡一并交回 第一部分 選擇題共 40 分 一 選擇題共 8 小題 每小題 5 分 共 40 分 在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中 選出符合題目要求的一項(xiàng) 1 已知集合 1 Ax x 210 Bxxx 那么AB A 12 xx B 1 1 xx C 12 xx D 11 xx 2 復(fù)數(shù) z i i 1 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 下列函數(shù)中 是偶函數(shù) 且在區(qū)間 0 上單調(diào)遞增的為 A 1 y x B lnyx C 2 x y D 1yx 4 設(shè) a b為實(shí)數(shù) 則 0ab 是 ab 的 A 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件 5 設(shè) 是兩個(gè)不同的平面 m n是兩條不同的直線 則下列結(jié)論中正確的是 A 若m mn 則 n B 若 m n 則mn C 若n m n 則m D 若 m n 則mn 6 從數(shù)字1 2 3 4 5中 取出3個(gè)數(shù)字 允許重復(fù) 組成三位數(shù) 各位數(shù)字之和等于 6 這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 A 7 B 9 C 10 D 13 7 設(shè) 是三角形的兩個(gè)內(nèi)角 下列結(jié)論中正確的是 A 若 2 則sinsin2 B 若 2 則coscos2 C 若 2 則sinsin1 D 若 2 則coscos1 8 用平面截圓柱面 當(dāng)圓柱的軸與 所成角為銳角時(shí) 圓柱面的截線是一個(gè)橢圓 著名數(shù)學(xué)家 Dandelin 創(chuàng)立的雙 球?qū)嶒?yàn)證明了上述結(jié)論 如圖所示 將兩個(gè)大小相同的球嵌入圓柱內(nèi) 使它們分別位于 的上方和下方 并且 與圓柱面和 均相切 給出下列三個(gè)結(jié)論 兩個(gè)球與 的切點(diǎn)是所得橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) 若球心距 12 4OO 球的半徑為3 則所得橢圓的焦距為2 當(dāng)圓柱的軸與 所成的角由小變大時(shí) 所得橢圓的離心率也由小變大 其中 所有正確結(jié)論的序號(hào)是 A B C D 第二部分 非選擇題 共 110 分 二 填空題共 6 小題 每小題 5 分 共 30 分 9 若雙曲線 2 2 1 x y m 與 22 1 32 xy 有相同的焦點(diǎn) 則實(shí)數(shù)m 10 已知 n a 是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列 n S為其前項(xiàng)和 若 1 6a 23 26aa 則公比q 4 S 11 能說(shuō)明 直線0 xym 與圓 22 420 xyxy 有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 是真命題的一個(gè)m的值為 12 在平行四邊形ABCD中 已知 uu u r uuu ruuu r uuu r AB ACAC AD 4AC uuu r 2BD uuu r 則四邊形ABCD的面積是 13 已知函數(shù) 2sin 0 f xx 曲線 yf x 與直線3y 相交 若存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為 6 則 的所有可能值為 14 將初始溫度為0 C的物體放在室溫恒定為30 C的實(shí)驗(yàn)室里 現(xiàn)等時(shí)間間隔測(cè)量物體溫度 將第n次次測(cè)量得到 的物體溫度記為 n t 已知 1 0 Ct 已知物體溫度的變化與實(shí)驗(yàn)室和物體溫度差成正比 比例系數(shù)為k 給 出以下幾個(gè)模型 那么能夠描述這些測(cè)量數(shù)據(jù)的一個(gè)合理模型為 填寫模型對(duì)應(yīng)的序號(hào) 1 30 nn n k tt t 1 30 nnn ttkt 1 30 nn tkt 在上述模型下 設(shè)物體溫度從5 C上升到10 C所需時(shí)間為mina 從 10 C上升到15 C所需時(shí)間為minb 從15 C上升到20 C所需時(shí)間為minC 那么 a b 與 b c 的大小關(guān)系是 用 或 號(hào)填 空 n 三 解答題共 6 小題 共 80 分 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明 演算步驟或證明過(guò)程 15 本小題 13 分 在 ABC中 已知sin3 cos0cAaC 求C 的大小 若 22 3bc 求 ABC的面積 16 本小題 13 分 2019 年 6 月 國(guó)內(nèi)的 5G 運(yùn)營(yíng)牌照開(kāi)始發(fā)放 從 2G 到 5G 我們國(guó)家的移動(dòng)通信業(yè)務(wù)用了不到 20 年的時(shí)間 完 成了技術(shù)上的飛躍 躋身世界先進(jìn)水平 為了解高校學(xué)生對(duì) 5G 的消費(fèi)意愿 2019 年 8 月 從某地在校大學(xué)生中隨機(jī) 抽取了 1000 人進(jìn)行調(diào)查 樣本中各類用戶分布情況如下 用戶分類 預(yù)計(jì)升級(jí)到 5G 的時(shí)段 人數(shù) 早期體驗(yàn)用戶 2019 年 8 月至 209 年 12 月 270 人 中期跟隨用戶 2020 年 1 月至 20121 年 12 月 530 人 后期用戶 2022 年 1 月及以后 200 人 我們將大學(xué)生升級(jí) 5G 時(shí)間的早晚與大學(xué)生愿意為 5G 套餐支付更多的費(fèi)用作比較 可得出下圖的關(guān)系 例如早 期體驗(yàn)用戶中愿意為 5G 套餐多支付 5 元的人數(shù)占所有早期體驗(yàn)用戶的 40 I 從該地高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取 1 人 估計(jì)該學(xué)生愿意在 2021 年或 2021 年之前升級(jí)到 5G 的概率 II 從樣本的早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶中各隨機(jī)抽取 1 人 以X表示這 2 人中愿意為升級(jí) 5G 多支付 10 元或 10 元以上的人數(shù) 求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 III 2019 年底 從這 1000 人的樣本中隨機(jī)抽取 3 人 這三位學(xué)生都已簽約 5G 套餐 能否認(rèn)為樣本中早期體驗(yàn)用 戶的人數(shù)有變化 說(shuō)明理由 17 本小題 14 分 如圖 在三棱柱 111 ABCABC 中 1 BB 平面ABC ABBC 1 2AAABBC 求證 1 BC 平面 11 A BC 求異面直線 1 BC與 1 AB所成角的大小 點(diǎn)M在線段 1 BC上 且 1 1 0 1 B M BC 點(diǎn)N在線段 1 AB上 若MN 平面 11 A ACC 求 1 1 A N AB 的值 用含 的代數(shù)式表示 18 本小題 13 分 已知函數(shù) 32 1 3 3 f xxxax a R 若 f x在1x 時(shí) 有極值 求a的值 在直線1x 上是否存在點(diǎn)P 使得過(guò)點(diǎn)P至少有兩條直線與曲線 yf x 相切 若存在 求出P點(diǎn)坐標(biāo) 若 不存在 說(shuō)明理由 19 本小題 14 分 已知橢圓 2 2 2 1 x Cy a 1a 的離心率是 2 2 求橢圓C的方程 已知 1 F 2 F分別是橢圓C的左 右焦點(diǎn) 過(guò) 2 F作斜率為k的直線l 交橢圓C于 A B兩點(diǎn) 直線 11 F A FB 分別交y軸于不同的兩點(diǎn) MN 如果 1 MFN 為銳角 求k的取值范圍 20 本小題 13 分 已知數(shù)列 n a 記集合 1 1 iij TS ij S ijaaaij ij N L 對(duì)于數(shù)列 n a 1 2 3 4 寫出集合T 若2 n an 是否存在 ij N 使得 1024S ij 若存在 求出一組符合條件的 ij 若不存在 說(shuō) 明理由 III 若22 n an 把集合T中的元素從小到大排列 得到的新數(shù)列為 12 m B bbb LL 若2020 m b 求 m的最大值 20201919 20202020學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測(cè)學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測(cè) 高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 一 選擇題 共 8 小題 每小題 5 分 共 40 分 一 選擇題 共 8 小題 每小題 5 分 共 40 分 1 D 2 C 3 B 4 A 5 B 6 C 7 A 8 C 二 填空題 共 6 小題 每小題 5 分 共 30 分 二 填空題 共 6 小題 每小題 5 分 共 30 分 9 4 10 145 24 11 0 答案不唯一 12 4 13 2或10 14 三 解答題 共三 解答題 共 6 6 小題 共小題 共 8080 分 分 15 共 13 分 解 由正弦定理可得sinsin3cos sin 0CACA 因?yàn)閟in0A 所以tan3 C 又因?yàn)?C 所以 2 3 C 7 分 由正弦定理得 3 2 sin1 2 sin 22 3 bC B c 又因?yàn)? 3 B 所以 66 BABC 所以 ABC的面積 111 sin2 2 33 222 SbcA 13 分 16 共 13 分 解 由題意可知 從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取 1 人 該學(xué)生在 2021 年或 2021 年之前升級(jí)到 5G 的概率估計(jì)為樣本 中早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶的頻率 即 270530 0 8 10001000 3 分 II 由題意X的所有可能值為 0 1 2 記事件A為 從早期體驗(yàn)用戶中隨機(jī)抽取 1 人 該學(xué)生愿意為升級(jí) 5G 多支付 10 元或 10 元以上 事件B為 從中期跟隨用戶中隨機(jī)抽取 1 人 該學(xué)生愿意為升級(jí) 5G 多支付 10 元或 10 元以上 由題意可知 事件 AB相互獨(dú)立 且 1 40 0 6P A 1 45 0 55P B 所以 0 1 0 6 1 0 55 0 18P X P AB 1 1 1 0 61 0 551 0 6 0 55 0 49 P XP AB ABP ABP AB P AP BP A P B 0 6 0 550 33 P X 2P AB 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0 18 0 49 0 33 故X的數(shù)學(xué)期望0 0 18 1 0 492 0 331 15 E X 10 分 III 設(shè)事件D為 從這 1000 人的樣本中隨機(jī)抽取 3 人 這三位學(xué)生都已簽約 5G 套餐 那么 3 270 3 1000 0 02 C P D C 回答一 事件D雖然發(fā)生概率小 但是發(fā)生可能性為0 02 所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶沒(méi)有發(fā)生變化 回答二 事件D發(fā)生概率小 所以可以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶人數(shù)增加 13 分 17 共 14 分 解 在三棱柱 111 ABCA BC 中 由于 1 BB 平面ABC 所以 1 BB 平面 111 ABC 又 1 BB 平面 11 B BCC 所以平面 11 B BCC 平面 111 ABC 交線為 11 BC 又因?yàn)锳BBC 所以 1111 A BBC 所以 11 AB 平面 11 B BCC 因?yàn)?1 BC 平面 11 B BCC 所以 111 A BBC 又因?yàn)?1 2BBBC 所以 11 B CBC 又 1 1 AB 11 BCB 所以 1 BC 平面 11 A B C 5 分 由 知 1 BB 底面ABC ABBC 如圖建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz 由題意得 0 0 0 B 2 0 0 C 1 0 2 2 A 1 0 0 2 B 所以 1 2 0 2 BC uuu r 1 0 2 2 AB uuu r 所以 11 11 11 1 cos 2 A B B C A B B C BAB C uuu r uuu r uuu r uuu r uuu ruuu r 故異面直線 1 BC與 1 AB所成角的大小為 3 9 分 易知平面 11 A ACC的一個(gè)法向量為 1 1 0 n 由 1 1 B M BC 得 2 0 22 M 設(shè) 1 1 A N AB 得 0 22 22 N 則 2 22 22 MN 因?yàn)?MN平面 11 A ACC 所以 0MN n 即 2 22 22 1 1 0 0 解得1 所以 1 1 1 A N AB 14 分 18 共 13 分 解 因?yàn)?32 1 3 3 f xxxax 所以 2 23fxxxa 由 f x在1x 時(shí) 有極值得 11 230fa 解得 1a 經(jīng)檢驗(yàn) 1a 時(shí) f x有極值 綜上 1a 4 分 不妨設(shè)在直線1x 上存在一點(diǎn) 1 Pb 設(shè)過(guò)點(diǎn)P與 yf x 相切的直線為l 切點(diǎn)為 00 xy 則切線l方程為 322 000000 1 3 23 3 yxxaxxxa xx 又直線l過(guò) 1 Pb 有 322 000000 1 3 23 1 3 bxxaxxxax 即 32 000 2 2 230 3 xxxab 設(shè) 32 2 223 3 g xxxxab 22 2422 1 0g xxxx 所以 g x在區(qū)間 上單調(diào)遞增 所以 0g x 至多有一個(gè)解 過(guò)點(diǎn)P與 yf x 相切的直線至多有一條 故在直線1x 上不存在點(diǎn)P 使得過(guò)P至少有兩條直線與曲線 yf x 相切 13 分 19 共 14 分 解 由題意 2 222 2 2 1 c a b abc 解得 2 2a 所以橢圓C的方程為 2 2 1 2 x y 4 分 由已知直線l的斜率不為 0 設(shè)直線l方程為 1yk x 直線l與橢圓C的交點(diǎn)為 1122 A x yB xy 由 2 2 1 1 2 yk x x y 得 2222 214220kxk xk 由已知 判別式0 恒成立 且 22 1212 22 422 2121 kk xxx x kk 直線 1 F A的方程為 1 1 1 1 y yx x 令0 x 則 1 1 0 1 y M x 同理可得 2 2 0 1 y N x 所以 2 12 12 11 1212 11 11 1111 kxxy y FM FN xxxx uuuu r uuu r 2222 12121212 12121212 1111 1 11 kx xkxxkkx xxx x xxxx xxx 將 代入并化簡(jiǎn) 得 2 11 2 71 81 k FM FN k uuuu r uuu r 依題意 1 MFN 我銳角 所以 11 0FM FN 即 2 11 2 71 0 81 k FM FN k uuuu r uuu r 解得 2 1 7 k 或 2 1 8 k 綜上 直線l斜率的取值范圍是 7227 0 0 7447 UUU 14 分 20 共 13 分 解 3 5 6 7 9 10T 3 分 假設(shè)存在ij N 使得 1024S ij 則