關(guān)于曲線繪圖與運(yùn)動(dòng)控制問題的研究

關(guān)于曲線繪圖與運(yùn)動(dòng)控制問題的研究姓名：張碩 朱聰聰 禹雪珂學(xué)號(hào)：201722060220172106102017210609專業(yè)：研究生組題目：關(guān)于曲線繪圖與運(yùn)動(dòng)控制問題的研究摘要隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，計(jì)算機(jī)輔助繪圖在當(dāng)今社會(huì)已成為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。本文的建模題目就是利用數(shù)學(xué)建模的方法來研究計(jì)算機(jī)繪圖以及運(yùn)動(dòng)控制的原理。針對(duì)問題一，首先根據(jù)題意建立了滿足條件的三階貝塞爾曲線模型，讓屏幕上的4點(diǎn)在一條光滑又簡單的曲線上。然后根據(jù)模型計(jì)算出由以下 4點(diǎn)構(gòu)成的參數(shù)方程，運(yùn)用 matlab編程，繪出了相應(yīng)的曲線。2,3,1,DCBA針對(duì)問題二的第一步，先把所給的參數(shù)方程的參數(shù)作 4等分，即 ，1,432,0t然后用 matlab編程繪圖，驗(yàn)證出了當(dāng)參數(shù)作 4等分時(shí)，這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線弧長并不是4等分的。對(duì)于弧長 n等分的問題，隨后利用微積分的原理建立了求弧長的公式模型。在弧長公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)行弧長等分。利用這個(gè)模型，求出每段弧長對(duì)應(yīng)的參數(shù) t，結(jié)合所給的參數(shù)方程，最后利用編程繪制出了曲線的弧長 4等分和 10等分圖像。關(guān)鍵詞：貝塞爾曲線；微積分；MATLAB 繪圖1一 問題重述目前計(jì)算機(jī)輔助繪圖已成為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，本文的問題就是利用數(shù)學(xué)建模的方法來研究計(jì)算機(jī)繪圖以及運(yùn)動(dòng)控制的基本原理。問題 1：繪圖 在計(jì)算機(jī)屏幕上隨機(jī)地畫出 和 ，321,yxCByxA4,yxD利用這 4個(gè)點(diǎn)的信息繪制出一條曲線，其中讓 為曲線的起點(diǎn)， 為曲線的終點(diǎn)，和 為控制點(diǎn)。曲線在起點(diǎn) 處，以 方向?yàn)榍芯€方向，在終點(diǎn) 處，以 方向BCAB為切線方向。使用參數(shù)方程 來描述這條曲線，但滿足上述條件的曲線有無窮條，10,tyx請(qǐng)?jiān)黾右恍l件，使它表示一條曲線，并且具有形式簡單（如多項(xiàng)式） 、曲線光滑（如連續(xù)可微）和美觀等特點(diǎn)。根據(jù)建立的模型寫出由以下 4點(diǎn) 構(gòu)成曲線的參數(shù)方程，2,3,1DCBA并繪出這條曲線（同時(shí)在圖上標(biāo)注這 4個(gè)點(diǎn)，和相應(yīng)的切線） 。問題 2：運(yùn)動(dòng)控制 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)在一些情況下，需要對(duì)沿著指定的運(yùn)動(dòng)途徑的空間位置進(jìn)行精確的控制，而參數(shù)方程 給出的曲線一般是達(dá)不到這一10,tyx效果。也就是說，若將參數(shù) 作 等分，而對(duì)應(yīng)的曲線弧長并不是 等分的。例如：需tnn要控制的曲線由下列參數(shù)方程表示(1-1) .10,7.29.035.143 ttttyx若將參數(shù) 作 4 等分，即 ，而這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線弧長并不是 4 等分,的，本題需要繪圖驗(yàn)證這一點(diǎn)，并給出將弧長作 等分的數(shù)學(xué)模型或計(jì)算公式。n根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，將參數(shù)方程(1-1)所繪出曲線的弧長 4 等分和 10 等分。繪出參數(shù)方程(1-1)的控制曲線，并標(biāo)注出弧長 4 等分和 10 等分的等分點(diǎn)。二問題分析對(duì)于問題一，是讓我們對(duì)計(jì)算機(jī)屏幕上的隨機(jī) 4 點(diǎn)滿足的參數(shù)方程添加一些條件，使得繪出的曲線只有一條，且具有一定的特點(diǎn)。根據(jù)搜集的信息，首先我們建立了三2階貝塞爾曲線方程的模型，這個(gè)模型是多項(xiàng)式，繪出的曲線具有形式簡單，曲線光滑和美觀等特點(diǎn)。然后根據(jù)模型求出了 4 點(diǎn)滿足的曲線的參數(shù)2,3,1DCBA方程，并用 matlab 軟件繪制出了相應(yīng)的曲線。對(duì)于問題二，要求我們?cè)趨?shù) 等分的情況下，給出將弧長 等分的數(shù)學(xué)模型。根nn據(jù)題意我們已經(jīng)知道了需要控制的曲線的參數(shù)方程，利用微積分的方法，給出了求曲線弧長的計(jì)算公式，在此基礎(chǔ)上對(duì)弧長進(jìn)行 等分。根據(jù)建立的模型，利用 matlab 軟件繪制出將參數(shù)方程(1-1) 所繪出曲線的弧長 4 等分和 10 等分的圖像。三模型假設(shè)1.假設(shè)計(jì)算機(jī)屏幕上的隨機(jī) 4點(diǎn)沒有重合。2. 假設(shè)計(jì)算機(jī)正常運(yùn)行。3. 假設(shè)用 matlab 運(yùn)行的誤差忽略不計(jì)。四符號(hào)說明參數(shù) t定點(diǎn)控制點(diǎn)幕上的任意四點(diǎn)參數(shù)方程的系數(shù)總弧長 s每段的弧長3五模型的建立與求解5.1 理論準(zhǔn)備5.1.1貝塞爾曲線簡介貝塞爾曲線，又稱貝茲曲線或貝濟(jì)埃曲線，是應(yīng)用于二維圖形應(yīng)用程序的數(shù)學(xué)曲線。一般的矢量圖形軟件通過它來精確畫出曲線，貝茲曲線由線段與節(jié)點(diǎn)組成，節(jié)點(diǎn)是可拖動(dòng)的支點(diǎn)，線段像可伸縮的皮筋，它是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中相當(dāng)重要的參數(shù)曲線。貝塞爾曲線是根據(jù) 4個(gè)位置任意的點(diǎn)坐標(biāo)繪制出的一條光滑曲線，我們把這 4個(gè)點(diǎn)設(shè)為和，貝塞爾曲線必定通過首尾兩個(gè)端點(diǎn)，中間的兩個(gè)點(diǎn)雖然未必要通過，但卻起著牽制曲線形狀路徑的作用，稱為控制點(diǎn)。通過調(diào)整控制點(diǎn)，貝塞爾曲線的形狀會(huì)發(fā)生變化 beisaier.gif。 5.1.2 貝塞爾曲線的參數(shù)表示當(dāng)控制點(diǎn)不同時(shí)，貝塞爾曲線的方程就不同。在這里，可以簡單的分為一階、二階、三階、和高階貝塞爾曲線。下面對(duì)其參數(shù)方程進(jìn)行簡單的介紹。A.一階貝塞爾曲線給定點(diǎn) P0、P1，線性貝茲曲線只是一條兩點(diǎn)之間的直線。這條線由下式給出：且其等同于線性插值。B.二階貝塞爾曲線二次方貝茲曲線的路徑由給定點(diǎn) P0、P1、P2 的函數(shù) B（ t）追蹤：TrueType 字型就運(yùn)用了以貝茲樣條組成的二次貝茲曲線。C.三階貝塞爾曲線P0、P1、P2、P3 四個(gè)點(diǎn)在平面或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。曲線起始于 P0走向 P1，并從 P2的方向來到 P3。一般不會(huì)經(jīng)過 P1或 P2；這兩個(gè)點(diǎn)只是在那里提供方向資訊。P0 和 P1之間的間距，決定了曲線在轉(zhuǎn)而趨進(jìn) P3之前，走向 P2方向的“長度有多長” 。曲線的參數(shù)形式為：4現(xiàn)代的成象系統(tǒng)，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，運(yùn)用了以貝茲樣條組成的三次貝茲曲線，用來描繪曲線輪廓。D.一般參數(shù)公式給定點(diǎn) P0、P1、Pn，其貝茲曲線即：如上公式可如下遞歸表達(dá)： 用表示由點(diǎn) P0、P 1、 、Pn 所決定的貝茲曲線。5.1.3 貝塞爾曲線的性質(zhì)貝塞爾曲線把組合參數(shù)曲線構(gòu)造成在連接處具有直到 n階連續(xù)，即 n階連續(xù)可微，這類光滑度稱之為 nC或 n階參數(shù)連續(xù)性。并且組合曲線在連接處滿足不同于 nC的某一組約束條件，具有 n階幾何連續(xù)性，5.2 問題一模型的建立根據(jù)題目所給，要使參數(shù)方程并且具有形式簡單（如多項(xiàng)式） 、曲線光滑（如連續(xù)可微）和美觀等特點(diǎn)，我們建立了三階貝塞爾曲線方程的模型：如果已知一條曲線的參數(shù)方程，系數(shù)都已知，兩個(gè)方程的參數(shù)為 ，且它的值位于0，1 之間，表現(xiàn)形式如下所示：()=*3+2+1()=*3+2+1由于這條曲線的起點(diǎn)為 ，我們可以用以下公式求出剩余三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(1， 1)2=1+/33=2+（ +/3）4=1+2=1+/33=2+(+)/34=1+經(jīng)過觀察，不管方程的已知和所求是什么，一共有 6 個(gè)未知數(shù)，并且總能找到 6個(gè)等式，其中 是已知的。也就是說，上面的方法是完全可逆的，因此可以根據(jù)(1， 1)54 個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)來反求曲線參數(shù)方程的系數(shù)，經(jīng)過變換，可得到下列式子： =3（ 21）=3（ 32） =41=3（ 21）=3（ 32） =41所以，對(duì)于坐標(biāo)任意的 4 個(gè)已知點(diǎn)，總能構(gòu)建一條貝塞爾曲線，并可通過以上算法求出其參數(shù)方程。5.3問題一的求解根據(jù)建立的模型，將 代入三階貝塞爾曲線模型中，得到2,3,1DCBA=3（ 21） =0=3（ 32） =6=41=5=3（ 21） =6=3（ 32） =6=41=1所以得到的參數(shù)方程為 ()=5*3+62+0+1（-6） .()=1*3+ 2+6+1根據(jù)計(jì)算結(jié)果，利用 MATLAB寫出程序見（附錄 1） ，繪出這條曲線同時(shí)在圖上標(biāo)注出四點(diǎn)點(diǎn)，和相應(yīng)的切線，其中 為曲線的起點(diǎn)， 為曲線的終點(diǎn)， 和 為控制點(diǎn).ADBC曲線在起點(diǎn) 處，以 方向?yàn)榍芯€方向，在終點(diǎn) 處，以 方向?yàn)榍芯€方向.AB如下圖：61 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 311.21.41.61.822.22.42.62.835.3 問題二模型的建立問題 2中，需要控制的曲線的參數(shù)方程已知，當(dāng)參數(shù) 作 等分時(shí)，要使曲線弧長tn是 等分，這時(shí)我們應(yīng)利用微積分的方法，給出求曲線弧長的計(jì)算公式，在此基礎(chǔ)上n建立對(duì)弧長進(jìn)行 等分的數(shù)學(xué)模型。n若曲線弧的參數(shù)方程如下：（ ）=（ ）=（ ） 則弧長元素（弧微分）為：=（ ） 2+（ ） 2= 2（ ） +2()所求弧長為=2（ ） +2()因此得到將弧長進(jìn)行 n 等分的公式模型：7=2（ ） +2()ndtts)(221tt)(322. nttsn)()1(22計(jì)算出 n 等分點(diǎn)的到起始點(diǎn)的弧長，利用 Matlab 可以求出每個(gè)等分點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t，從而可繪出 n 等分的對(duì)應(yīng)圖像。5.4 問題二的求解首先對(duì)于參數(shù)方程 若將參數(shù) 作 4 等分， .10,7.29.035.143 ttttyx t即 時(shí)，經(jīng)過 matlab 軟件編程繪制圖像，發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線1,432,0t弧長并不是 4 等分的。繪制的圖形如下：8從圖 5.4-1 中可以看出當(dāng)參數(shù) 作 4 等分時(shí)，對(duì)應(yīng)的弧長并不是 4 等分的。t對(duì)于參數(shù)方程 將其代入建立的模型之中， .10,7.29.035.13 ttttyx運(yùn)用 matlab 編程求出弧長 S 為 2.4952，若將弧長進(jìn)行 4 等分，每段的弧長 s 為0.6238。再次運(yùn)用 Matlab 編程，用已知的四等分點(diǎn)的弧長 s 反過來求出對(duì)應(yīng)的參數(shù) t，數(shù)據(jù)如表格所示：弧長 s 參數(shù) t=0.00000 =0.0000=0.62381s =0.5501t=1.24762 =0.8002=2.33483s =0.9183t=2.49524 =1.0004進(jìn)而繪制出將弧長進(jìn)行 4 等分的圖像，并將 4 等分的等分點(diǎn)用紅色圓圈在圖上進(jìn)行了標(biāo)注，如圖：9同理，運(yùn)用模型可將曲線 10 等分?？汕蟪?10 等分之后每段的弧長為 0.2495，運(yùn)用 Matlab 求出了所有等分點(diǎn)參數(shù) t 的取值?；￠L s 參數(shù) t=0.0000 =0.00000=0.2491s =0.24021t=0.4992 =0.43242=0.7483s =0.63103t=0.9984 =0.73324=1.2485s =0.80075t=1.4976 =0.85326=1.7477s =0.89727t=1.9968 =0.93538=2.2459s =0.96919t10=2.49510s =1.000010t并繪制出了將弧長進(jìn)行 10 等分的圖像，并對(duì)弧長 10 等分的等分點(diǎn)進(jìn)行了標(biāo)注。六模型評(píng)價(jià)6.1模型一的評(píng)價(jià)6.1.1優(yōu)點(diǎn)（1）模型簡單，通過一個(gè)貝塞爾曲線模型給出了屏幕上任意 4點(diǎn)需要滿足的條件，利用限制條件繪制出了美觀的圖像，便于觀察。（2）該模型的原理淺顯易懂，計(jì)算過程不復(fù)雜，適用性比較強(qiáng)。6.1.2缺點(diǎn)由于所給的數(shù)據(jù)較少，繪制出的圖像不是特別準(zhǔn)確，存在一定的誤差。6.2模型二的評(píng)價(jià)6.2.1優(yōu)點(diǎn)（1）模型簡單，原理淺顯易懂，思路明確，直奔主題。（2）利用了微積分求弧長，化曲為直，簡化了計(jì)算過程。6.2.2缺點(diǎn)在計(jì)算 n等分點(diǎn)時(shí)，過程較為繁瑣，復(fù)雜。11參考文獻(xiàn)1劉衛(wèi)國，MATLAB 程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用（第二版）M. 北京：高等教育出版社，2006.2龔純,王正林編 .MATLAB 語言常用算法程序集 .北京：電子工業(yè)出版社,2008.3王正林等編.MATLAB/Simulink 與控制系統(tǒng)仿真（第 2 版）.北京：電子工業(yè)出版社,20084夏瑋等編.MATLAB 控制系統(tǒng)仿真與實(shí)例詳解 .北京：人民郵電出版社 .2008.5張靜等編. MATLAB 在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用 .北京：電子工業(yè)出版社 ,2007 6 方康玲編 ,過程控制及其 MATLAB 實(shí)現(xiàn)(第 2 版).北京：電子工業(yè)出版社,2013附錄問題 1t=0:0.01:1;x=-5*t.3+6*t.2+1;y=t.3-6*t.2+6*t+1;plot(x,y,-b);hold onx0=1;1;3;2y0=1;3;3;2;plot(x0,y0,r)x1=1;1;y1=1;3;plot(x1,y1,-g)t=0:0.01:1;12x=-5*t.3+6*t.2+1;y=t.3-6*t.2+6*t+1;plot(x,y,-b);hold onx0=1;1;3;2;y0=1;3;3;2;plot(x0,y0,r)x2=3;2;y2=3;2;plot(x2,y2,-g)問題二（1）驗(yàn)證當(dāng)參數(shù)作 4等分，即時(shí)，這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的弧長不是 4等分的程序：t=0:0.01:0.25x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x,y,*:b);hold ont=0.25:0.01:0.5x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x,y,*:r);hold ont=0.5:0.01:0.75x2=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y2=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x2,y2,*:g);hold ont=0.75:0.01:1x3=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y3=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;13plot(x3,y3,*:k);（2）由已知的參數(shù)方程求出的總弧