九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 24.2 相似三角形的判定教案 滬科版

用心 愛心 專心 1 24 224 2 相似三角形的判定相似三角形的判定 學(xué)習(xí)目標(biāo)要求學(xué)習(xí)目標(biāo)要求 1 掌握相似三角形的概念 2 掌握兩個(gè)三角形相似的條件 3 能用兩個(gè)三角形相似的條件解決問(wèn)題 教材內(nèi)容點(diǎn)撥教材內(nèi)容點(diǎn)撥 知識(shí)點(diǎn) 1 相似三角形 1 兩個(gè)三角形 如果各邊對(duì)應(yīng)成比例 各角對(duì)應(yīng)相等 則這兩個(gè)三角形相似 2 各邊對(duì)應(yīng)成比例 各角對(duì)應(yīng)相等是指三組對(duì)應(yīng)角分別相等 三組對(duì)應(yīng)邊分別成比例 3 ABC 與 A B C 相似記作 ABC A B C 書寫時(shí)同三角形全等一樣 要 注意對(duì)應(yīng)字母放在對(duì)應(yīng)位置 例如 ABC 與 DEF 中 A 點(diǎn)與 E 點(diǎn)對(duì)應(yīng) B 點(diǎn)與 D 點(diǎn)對(duì)應(yīng) C 點(diǎn)與 F 點(diǎn)對(duì)應(yīng) 則應(yīng)記作 ABC EDF 4 相似三角形的定義揭示了相似三角形的本質(zhì)特性 即如果兩個(gè)三角形相似 則各邊對(duì)應(yīng) 成比例 各角對(duì)應(yīng)相等 相似三角形的定義即是性質(zhì) 又是判定 5 全等三角形是相似比為 1 的相似三角形 知識(shí)點(diǎn) 2 相似三角形判定方法 相似三角形的判定方法按照全等三角形的判定方法可記為 AA SAS SSS 和 HL 只是這里對(duì)邊要求是對(duì)應(yīng)成比例 對(duì)角的要求是對(duì)應(yīng)角相等 1 AA 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等 那么這兩個(gè) 三角形相似 可簡(jiǎn)單的說(shuō)成 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似 2 SAS 如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例 并且夾角相等 那么這兩個(gè)三角形相似 可簡(jiǎn)單的說(shuō)成 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似 3 SSS 如果一個(gè)三角形的三條邊為另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例 那么這兩個(gè)三 角形相似 可以簡(jiǎn)單的說(shuō)成 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似 4 HL 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直 角邊對(duì)應(yīng)成比例 那么這兩個(gè)直角三外形相似 典型例題點(diǎn)撥典型例題點(diǎn)撥 用心 愛心 專心 2 例 1 已知 如圖 ABC 中 AD DB 1 2 求證 ABC EAD 點(diǎn)撥 題中提供了兩個(gè)條件 一個(gè)是關(guān)于邊的 一個(gè)是關(guān)于角的 而關(guān)于邊的條件可轉(zhuǎn)換 為角之間的關(guān)系 從而可得兩個(gè)角之間的關(guān)系 聯(lián)系到要求證的結(jié)論 可聯(lián)想到用 AA 來(lái)證 解答 AD DB 3 B 又 1 2 4 B 2 BAC 4 BAC 在 ABC 和 EAD 中 3 B 4 BAC ABC EAD 例 2 已知 如圖 在正方形 ABCD 中 P 是 BC 上的點(diǎn) 且 BP 3PC Q 是 CD 的 中點(diǎn) ADQ 與 QCP 是否相似 為什么 點(diǎn)撥 根據(jù)條件 BP 3PC Q 是 CD 的中點(diǎn) 可知 結(jié)合 1 2 QDPC ADCQ C D 90 可用 SAS 求證 解答 BP 3PC Q 是 CD 的中點(diǎn) 又 四邊形 ABCD 是正方形 1 2 QDPC ADCQ C D 90 在 ADQ 與 QCP 中 1 2 PC CQ C D 1 2 QD AD ADQ QCP 例 3 如圖 點(diǎn) C D 在線段 AB 上 PCD 是等邊三角形 1 當(dāng) AC CD DB 滿足怎樣的關(guān)系時(shí) ACP PDB 2 當(dāng) ACP PDB 時(shí) 求 APB 的度數(shù) 解答 1 ACP PDB 120 當(dāng) 即 也就是 PD AC DB PC CD AC DB CD CD2 AC DB 時(shí) ACP PDB 2 ACP PDB A DPB APB APC CPD DPB 用心 愛心 專心 3 APC A CPD PCD CPD 120 例 4 2006 年福建省南平市 如圖 正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1 點(diǎn) E 是 AD 邊上的動(dòng)點(diǎn) 從 點(diǎn) A 沿 AD 向 D 運(yùn)動(dòng) 以 BE 為邊 在 BE 的上方作正方形 BEFG 連接 CG 請(qǐng)?zhí)骄?1 線段 AE 與 CG 是否相等 請(qǐng)說(shuō)明理由 2 若設(shè) 當(dāng)取何值時(shí) 最大 xAE yDH xy 3 連接 BH 當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到 AD 的何位置時(shí) BEH BAE 點(diǎn)撥 本題主要考察對(duì)全等三角形和相似三角形的理解與應(yīng)用 根據(jù)條件注意到 ABE DEH 并由此得到 從而得到關(guān)于 x y 的一個(gè)條件式 進(jìn)而得到 y DHDE AEAB 與 x 的一個(gè)函數(shù) 這是解決第 2 小題的關(guān)鍵 在第 3 小題中 則要從果溯源 要使 BEH BAE 則必須 由此得到關(guān)于 x 的一個(gè)方程 解這個(gè)方程即可 EHEB AEAB 解答 1 AE CG 四邊形 ABCD EBGF 都是正方形 1 2 且 AB AC BE BG ABE CBG AE CG 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 2 在 ABE 和 DEH 中 D A 90 1 3 90 AEB ABE DEH 即 得 當(dāng)時(shí) DHDE AEAB 1 1 yx x 2 yxx 1 2 x 1 4 max y 3 若 BEH BAE 則 即 解得 當(dāng) EHEB AEAB 22 1 11 1 xxx x 1 2 x E 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí) BEH BAE 考點(diǎn)考題點(diǎn)撥考點(diǎn)考題點(diǎn)撥 1 中考導(dǎo)航 中考中對(duì)相似三角形的考察往往結(jié)合其他內(nèi)容例如平行線 平行四邊形來(lái)進(jìn)行 要熟練掌 握相似三角形的四種判定方法 特別是 AA 2 經(jīng)典考題追蹤 例 1 06 天門 點(diǎn) E 是 ABCD 的邊 BC 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn) AE 與 CD 相交于 G 則圖中相似 三角形共有 A 2 對(duì) B 3 對(duì) C 4 對(duì) D 5 對(duì) 點(diǎn)撥 將 BCG ADG ABC ACD 分別標(biāo)為 則有 1 2 3 用心 愛心 專心 4 和 和 和 和 和 五對(duì)相似三角形 解答 選 D 例 2 06 蘇州 如圖 梯形 ABCD 中 AB CD 且 AB 2CD E F 分別是 AB BC 的中點(diǎn) EF 與 BD 相交于點(diǎn) M 1 求證 EDM FBM 2 若 DB 9 求 BM 點(diǎn)撥 由條件 AB 2CD E 是 AB 的中點(diǎn) 可得 BE CD 從而可知四邊形 DEBC 是平行四邊形 由此可證 1 在 1 中結(jié)論成立的前提下 利用 相似三角形 對(duì)應(yīng)邊成比例 的性質(zhì) 可求 BM 解答 1 AB 2CD 且 E 是 AB 的中點(diǎn) BE CD 又 BE CD 四邊形 DEBC 是平行四邊形 DE BC 1 2 3 4 EDM FBM 2 EDM FBM 相似三角形的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例 F 是 CD 的 BFBM DEDM 中點(diǎn) 令 BM x 則 1 2 BF DE 1 2 BM DM DM 2x BD 3x 9 x 3 BM 3 例 3 06 年錦州 點(diǎn) D 是 ABC 中 AB 邊上的一點(diǎn) 過(guò)點(diǎn) D 作直線 不與直線 AB 重合 截 ABC 使截得的三角形與 ABC 相似 滿足這樣條件的直線最多有 條 點(diǎn)撥 要使所截得的三角形與 ABC 相似 則所截三角形的三個(gè)內(nèi)角與 ABC 的三個(gè)角對(duì)應(yīng) 相等 如果所截三角形與 ABC 以 A 為公共角 則以有一個(gè)角已經(jīng)相等 只要另一個(gè)角對(duì) 應(yīng)相等即可 由此有 1 B 2 C 或 3 B ADF C 兩種情況 如果所截三 角形與 ABC 以 B 為公共角 則同理也有兩種情況 所以經(jīng)過(guò) D 點(diǎn)共有 4 種不同直線可截 三角形與 ABC 相似 解答 4 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)撥易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)撥 易錯(cuò)點(diǎn) 1 相似三角形識(shí)別不準(zhǔn)確 易錯(cuò)點(diǎn)導(dǎo)析 兩個(gè)相似三角形中對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例 然而不對(duì)應(yīng)的角和不對(duì) 應(yīng)的邊之間并沒(méi)有特別的關(guān)系 在應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)要特別注意邊 角的對(duì)應(yīng) 不 1 2 3 4 用心 愛心 專心 5 能隨便得出角相等 邊成比例 例 1 如圖 ABC 是等邊三角形 AB 3cm 分別延長(zhǎng) BC CB 至 E D 使得 CE 2cm EAC D 求 BD 的長(zhǎng) 錯(cuò)解 BD 2cm 錯(cuò)解點(diǎn)撥 由題中條件可知 ABD ECA 其中 A 點(diǎn)與 E 點(diǎn)對(duì)應(yīng) D 點(diǎn)與 A 點(diǎn)對(duì)應(yīng) B 點(diǎn)與 C 點(diǎn)對(duì)應(yīng) 而不是 ABBD CEAC ABBD ACCE 解答 ABC 是等邊三角形 ABC ACB ABD ACE 又 EAC D ABD ECA 即 解得 BD 4 5cm ABBD CEAC 3 23 BD 例 2 如圖 在 ABC 中 BAC 90 D 是 BC 中點(diǎn) AE AD 交 CB 延長(zhǎng)線于點(diǎn) E 則 BAE 相似于 錯(cuò)解 DAC 錯(cuò)解點(diǎn)撥 由題中條件可知 EAB DAC 容易使人設(shè)想 AEB 與 ACD 相 似 但是 E 與 C 不一定相等 AEB 與 ACD 不一定相似 實(shí)際上 由于 E 是 AEB 與 CEA 的公共角 應(yīng)該有 AEB CEA 正解 CEA 易錯(cuò)點(diǎn) 2 考慮問(wèn)題不全面 思維不謹(jǐn)慎 例 如圖 Rt ABC 中 AD 是斜邊 BC 上的高 則與 ABD 相似的三角形有幾個(gè) 分別是哪 幾個(gè) 錯(cuò)解 ADC 錯(cuò)解點(diǎn)撥 通過(guò)圖形觀察 容易得到 ABD CAD 但是還有 ABD CBA 應(yīng)引起我們的 注意 正解 與 ABD 相似的三角形有 2 個(gè) 分別是 CAD 和 CBA 易錯(cuò)點(diǎn) 3 考慮問(wèn)題時(shí)思維無(wú)序 方法混亂 例 如圖 平行四邊形 ABCD 中 C 是 BC 延長(zhǎng)線上一點(diǎn) AG 與 BD 交于點(diǎn) E 與 DC 交于點(diǎn) F 則圖中相似三角形 不包括全等 共有 A 3 對(duì) B 4 對(duì) C 5 對(duì) D 6 對(duì) 錯(cuò)解 B 錯(cuò)解點(diǎn)撥 在做這類題時(shí) 如果不按照一定的方法 思維很容易混亂 用心 愛心 專心 6 造成少解或重復(fù)計(jì)數(shù) 可以先去掉 BD 考慮較簡(jiǎn)單的情況 如圖所示 此時(shí)有 CFG DFA CFG BAG BAG DFA 三對(duì) 添加了 BD 后 又增加了 ADE GBE 和 ABE FDE 兩對(duì) 所以共有 5 對(duì) 正解 5 拓展與創(chuàng)新拓展與創(chuàng)新 1 將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺放成如圖所示的樣子 假設(shè)圖中的 所有點(diǎn) 線都在同一平面內(nèi) 回答下列問(wèn)題 1 圖中共有 個(gè)三角形 2 圖中有相似 不包括全等 三角形嗎 如果有 就把它們一一寫出來(lái) 點(diǎn)撥 1 中三角形的個(gè)數(shù)可以按照單個(gè)三角形和復(fù)合三角形兩類來(lái)分開 數(shù) 2 中注意到 DAE 45 有 ADE BAE ADE DAC 兩對(duì) 解答 1 圖中有 ABD ADE AEC ABE ADC ABC AFG 共 7 個(gè)三角形 2 圖中共有兩對(duì)相似三角形 分別是 ADE BAE ADE DAC 2 如圖 在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn) A 4 0 B 0 2 如果點(diǎn) C 在x軸上 C 與 A 不重合 當(dāng)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 或 時(shí) 使得由點(diǎn) B O C 組成的三角形與 AOB 相似 至 少寫出兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo) 點(diǎn)撥 要使 BOC AOB 因?yàn)?O 是公共角 根據(jù) SAS 只要即可 由此 OCOB OBOA 可得 解得 OC 1 C 點(diǎn)的橫坐標(biāo)可為 1 2 24 OC 解答 1 0 1 0 3 如圖 在正方形 ABCD 中 M 為 AB 上一點(diǎn) BP CM 于 P N 在 BC 上且 BN BM 連結(jié) PD 求證 DP NP 點(diǎn)撥 要證 DP NP 只要能證明 BPN CPD 即可 可考慮證明 BPN CPD 利用 Rt BPM Rt CPB 得比例式 等量代換后得 再完 BPCP BMBC BPCP BNDC 成 PCD PBN 的證明 即可得證 證明 BP CM 于 P BPM CPB 90 又 CBM 90 PBM BCP 90 用心 愛心 專心 7 CBP Rt BPM Rt CPB BC CD PCD PBN 90 BCP BPCP BMBC BPCP BNDC BPN CPD DPC NBP DPN CPB 90 DP NP 學(xué)習(xí)方法點(diǎn)撥學(xué)習(xí)方法點(diǎn)撥 注意相似三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)及對(duì)應(yīng)邊 即兩個(gè)相似三角形是通過(guò)什么樣的變換對(duì)應(yīng)在一起 的 在學(xué)習(xí)的初始階段 可以制作一些模型 幫助形成相應(yīng)的幾何直觀 隨堂演練隨堂演練 1 如圖 D 是的邊 AB 上一點(diǎn) 若 則 若ABC 1 ADC ACB 則 2 ADC ACB 第 1 題 第 2 題 第 3 題 第 4 題 2 如圖 cm 則cm 3 2 BCDBADABCAEBAD DE 3 如圖 在中 AC 是 BC DC 的比例中項(xiàng) 則 ABC ADC 4 如圖 在四邊形 ABCD 中 cm cm cm 15 ABCBDA20 AD18 BD cm 則 CD 的長(zhǎng)為 cm 24 BC 5 如圖 在正方形網(wǎng)格上有 6 個(gè)三角形 ABC BCD 其中 BDE BFG FGH EFK 中與 相似的是 第 5 題 6 在 ABC 中 AB 8 AC 6 點(diǎn) D 在 AC 上 且 AD 2 若要在 AB 上找一點(diǎn) E 使 ADE 與原三角形相似 那么 AE 7 如圖 BD CE 是的高 圖中相似三角形有 對(duì) ABC 用心 愛心 專心 8 8 如圖 AB CD EF 則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)為 A 1 對(duì) B 2 對(duì) C 3 對(duì) D 4 對(duì) 9 如圖 D E 分別是 AB AC 上兩點(diǎn) CD 與 BE 相交于點(diǎn) O 下列條件中不能使 ABE 和 ACD 相似的是 A B C B ADC AEB C BE CD AB AC D AD AC AE AB 第 7 題 第 8 題 第 9 題 10 如圖 D 是 ABC 的邊 AB 上一點(diǎn) 在條件 1 ACD B 2 AC2 AD AB 3 AB 邊上與點(diǎn) C 距離相等的點(diǎn) D 有兩個(gè) 4 B ACB 中 一定使 ABC ACD 的個(gè)數(shù) 是 A 1 B 2 C 3 D 4 11 如圖 E 是平行四邊形 ABCD 邊 BC 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn) 連接 AE 交 CD 于點(diǎn) F 則圖中共有 相似三角形 A 1 對(duì) B 2 對(duì) C 3 對(duì) D 4 對(duì) 第 10 題 第 11 題 第 13 題 12 有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形的關(guān)系是 A 全等 B 相似 C 既不全等與也不相似 D 無(wú)法確定 13 已知 ACB 為等腰直角三角形 ACB 90 延長(zhǎng) BA 至 E 延長(zhǎng) AB 至 F ECF 135 求證 EAC CBF 14 如圖 在中 在中 ABC 47Acm5 1 ABcm2 A