反三角函數(shù)求導(dǎo)公式證明

精品文檔 1歡迎下載 2 3 2 3 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 一 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè) yx 是直接函數(shù) xfy 是它的反函數(shù) 假定 yx 在 Iy 內(nèi)單調(diào) 可導(dǎo) 而且 0 y 則反函數(shù) xfy 在間 yx IyyxxI 內(nèi)也是單調(diào) 可導(dǎo)的 而且 1 y xf 1 證明 證明 xIx 給x以增量 x 0 x Ixxx 由 xfy 在 Ix 上的單調(diào)性可知 0 xfxxfy 于是 y x x y 1 因直接函數(shù) yx 在 Iy 上單調(diào) 可導(dǎo) 故它是連續(xù)的 且反函數(shù) xfy 在Ix上也是連續(xù)的 當(dāng) 0 x 時(shí) 必有 0 y 11 limlim 00 y y x x y yx 即 1 y xf 例 1 試證明下列基本導(dǎo)數(shù)公式 arcsin log ln 1 1 1 2 1 1 3 1 2 2 x x arctgx x a xa x 證證 1 1 設(shè) yxsin 為直接函數(shù) xyarcsin 是它的反函數(shù) 函數(shù) yxsin 在 2 2 y I 上單調(diào) 可導(dǎo) 且 xycos0 因此 在 1 1 x I 上 有 y x cos 1 arcsin 注意到 當(dāng) 2 2 y 時(shí) 0cos y 22 1sin1cosxyy 因此 2 1 1 arcsin x x 證證 2 2 設(shè)x tgy 2 2 y I 則 yarctgx Ix tgyx 在 Iy 上單調(diào) 可導(dǎo)且 0 cos 1 2 y x 故 22 2 1 1 1 1 cos 1 xytg y tgy arctgx 證證 3 3 axaaa a yy x ln 1 ln 1 1 log 精品文檔 2歡迎下載 類似地 我們可以證明下列導(dǎo)數(shù)公式 arccos ln x x arcctgx x x x 1 1 1 1 1 2 2 二 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 如果 xu 在點(diǎn)x0可導(dǎo) 而 ufy 在點(diǎn) 00 xu 可導(dǎo) 則復(fù)合函數(shù) xfy 在點(diǎn)x0可導(dǎo) 且導(dǎo)數(shù)為 00 0 xuf dx dy xx 證明 證明 因 lim 0 0 uf x y u 由極限與無(wú)窮小的關(guān)系 有 0 0 0 時(shí)當(dāng) uuuufy 用 0 x 去除上式兩邊得 x u x u uf x y 0 由 xu 在x0的可導(dǎo)性有 00 ux 0limlim 00 ux limlim 0 00 x u x u uf x y xx x u x u uf xxx 000 0 limlimlim 00 xuf 即 00 0 xuf dx dy xx 上述復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可作更一般的敘述 若u x 在開區(qū)間Ix 可導(dǎo) yf u 在開區(qū)間Iu 可導(dǎo) 且 xIx 時(shí) 對(duì)應(yīng)的 u Iu 則復(fù)合函數(shù) xfy 在Ix內(nèi)可導(dǎo) 且 dx du du dy dx dy 2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則是一個(gè)非常重要的法則 特給出如下注記 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則是一個(gè)非常重要的法則 特給出如下注記 弄懂了鎖鏈規(guī)則的實(shí)質(zhì)之后 不難給出復(fù)合更多層函數(shù)的求導(dǎo)公式 例 2 xfy 求 dy dx 引入中間變量 設(shè) v x u v 于是yf u 變量關(guān)系是 y uvx 由鎖鏈規(guī)則有 精品文檔 3歡迎下載 dy dx dy du du dv dv dx 2 用鎖鏈規(guī)則求導(dǎo)的關(guān)鍵用鎖鏈規(guī)則求導(dǎo)的關(guān)鍵 引入中間變量 將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù) 還應(yīng)注意還應(yīng)注意 求導(dǎo)完成后 應(yīng)將引入的中間變量代換成原自變量 例 3 求y x sin2 的導(dǎo)數(shù) dy dx 解 設(shè) ux 2 則y u sin ux 2 由鎖鏈規(guī)則有 dy dx dy du du dx uxux sin cos cos2222 例 4 設(shè) ytg x ln 2 求 dy dx 由鎖鏈規(guī)則有dx dv dv du du dy dx dy 2 1 cos 11 2 vu 基本初等函數(shù)求導(dǎo) 2 1 2 cos 1 2 1 2 xx tg 消中間變量 xsin 1 由上例 不難發(fā)現(xiàn)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)竅門竅門 中間變量在求導(dǎo)過程中 只是起過渡作用 熟練之后 可不必引入 僅需 心中有鏈心中有鏈 然后 對(duì)函數(shù)所有中間變量求導(dǎo) 直至求到自變量為止 最后諸導(dǎo)數(shù)相乘 請(qǐng)看下面的演示過程 2 2 cos 1 2 1 2 2 1 2 ln 2 x xx tg x tg x tg x tg dx dy x xx tg x xx tg sin 1 2 2 cos 2 1 2 1 2 cos 1 2 1 22 例 5 證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 1 xx 為實(shí)數(shù) 證明 設(shè) yxe x ln 1