人教版高數(shù)必修三第8講：變量間的相關(guān)關(guān)系(教師版).docx

變量間的相關(guān)關(guān)系_1.通過收集現(xiàn)實(shí)問題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.2.明確事物間的相互聯(lián)系.認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中變量間除了存在確定的關(guān)系外,仍存在大量的非確定性的相關(guān)關(guān)系,并利用散點(diǎn)圖直觀體會(huì)這種相關(guān)關(guān)系.3.經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過程知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程1相關(guān)關(guān)系(1)定義：如果兩個(gè)變量中一個(gè)變量的取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值帶有一定的_性，那么這兩個(gè)變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系(2)兩類特殊的相關(guān)關(guān)系：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布是從_角到_角的區(qū)域，那么這兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布是從_角到_角的區(qū)域，那么這兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)隨機(jī) 左下 右上 左上 右下兩個(gè)變量間的關(guān)系分為三類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系，如正方形的邊長與面積的關(guān)系；另一類是變量間確實(shí)存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機(jī)性的，這種關(guān)系就是相關(guān)關(guān)系，例如，某位同學(xué)的“物理成績”與“數(shù)學(xué)成績”之間的關(guān)系，我們稱它們?yōu)橄嚓P(guān)關(guān)系；再一類是不相關(guān)，即兩個(gè)變量間沒有任何關(guān)系2線性相關(guān)(1)定義：如果兩個(gè)變量散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條_附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做_(2)最小二乘法：求線性回歸直線方程x時(shí)，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的_最小的方法叫做最小二乘法，其中a，b的值由以下公式給出：直線 回歸直線 距離的平方和其中，是回歸方程的_，是回歸方程在y軸上的_ 斜率 截距線性回歸分析涉及大量的計(jì)算，形成操作上的一個(gè)難點(diǎn)，可以利用計(jì)算機(jī)非常方便地作散點(diǎn)圖、回歸直線，并能求出回歸直線方程因此在學(xué)習(xí)過程中，要重視信息技術(shù)的應(yīng)用類型一 變量之間的相關(guān)關(guān)系的判斷例1：(1)下列變量之間的關(guān)系不是相關(guān)關(guān)系的是()A二次函數(shù)yax2bxc中，a，c是已知常數(shù)，取b為自變量，因變量是判別式b24acB光照時(shí)間和果樹畝產(chǎn)量C降雪量和交通事故發(fā)生率D每畝田施肥量和糧食畝產(chǎn)量(2)現(xiàn)隨機(jī)抽取某校10名學(xué)生在入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成績x與入學(xué)后的第一次數(shù)學(xué)成績y，數(shù)據(jù)如下：學(xué)號(hào)12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請利用散點(diǎn)圖判斷這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)考試成績是否具有相關(guān)關(guān)系解析(1)在A中，若b確定，則a，b，c都是常數(shù)，b24ac也就唯一確這了，因此，這兩者之間是確定性的函數(shù)關(guān)系；一般來說，光照時(shí)間越長，果樹畝產(chǎn)量越高；降雪量越大，交通事故發(fā)生率越高；施肥量越多，糧食畝產(chǎn)量越高，所以B，C，D是相關(guān)關(guān)系故選A.(2)兩次數(shù)學(xué)考試成績散點(diǎn)圖如圖所示，由散點(diǎn)圖可以看出兩個(gè)變量的對應(yīng)點(diǎn)集中在一條直線的周圍，具有正相關(guān)關(guān)系因此，這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)考試成績具有相關(guān)關(guān)系練習(xí)1：對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖(1)；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖(2)由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()A變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)答案C類型二 回歸直線方程例2：隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷增長，個(gè)人購買家庭轎車已不再是一種時(shí)尚車的使用費(fèi)用，尤其是隨著使用年限的增多，所支出的費(fèi)用到底會(huì)增長多少，一直是購車一族非常關(guān)心的問題某汽車銷售公司作了一次抽樣調(diào)查，并統(tǒng)計(jì)得出某款車的使用年限x與所支出的總費(fèi)用y(萬元)有如下的數(shù)據(jù)資料：使用年限x23456總費(fèi)用y2.23.85.56.57.0若由資料，知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系試求：(1)線性回歸方程x的回歸系數(shù)、；(2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，車的使用總費(fèi)用是多少？解析第一步，列表xi，yi，xiyi；第二步，計(jì)算，iyi；第三步，代入公式計(jì)算b，a的值；第四步，寫出回歸直線方程(1)利用公式：來計(jì)算回歸系數(shù)有時(shí)為了方便常列表，對應(yīng)列出xiyi、x，以利于求和(2)獲得線性回歸方程后，取x10，即得所求答案(1)列表：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0x491625364，5，90，iyi112.3于是1.23；b51.2340.08.(2)線性回歸直線方程是1.23x0.08，當(dāng)x10(年)時(shí)，1.23100.0812.38(萬元)，即估計(jì)使用10年時(shí)，支出總費(fèi)用是12.38萬元練習(xí)1：(2015石家莊高二檢測)已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是1.23，樣本點(diǎn)中心(即(，)為(4,5)，則回歸直線的方程是()A.1.23x4 B.1.23x5C.1.23x0.08 D.0.08x1.23答案C練習(xí)2：某公司的廣告費(fèi)支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有下列對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070資料顯示y對x呈線性相關(guān)關(guān)系根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)得到回歸方程x中的6.5，預(yù)測銷售額為115萬元時(shí)約需_萬元廣告費(fèi)答案15有人統(tǒng)計(jì)了同一個(gè)省的6個(gè)城市某一年的人均國民生產(chǎn)總值(即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒童年數(shù)量，如下表：人均GDP/萬元1086431患白血病的兒童數(shù)/人351312207175132180(1)畫出散點(diǎn)圖，并判定這兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)通過計(jì)算可知這兩個(gè)變量的回歸直線方程為23.25x102.15，假如一個(gè)城市的人均GDP為12萬元，那么可以斷言，這個(gè)城市患白血病的兒童一定超過380人，請問這個(gè)斷言是否正確？解析(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖，如圖所示，從圖可以看出，在6個(gè)點(diǎn)中，雖然第一個(gè)點(diǎn)離這條直線較遠(yuǎn)，但其余5個(gè)點(diǎn)大致分布在這條直線的附近，所以這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系(2)上述斷言是錯(cuò)誤的，將x12代入23.25x102.15得23.2512102.15381.15380，但381.15是對該城市人均GDP為12萬元的情況下所作的一個(gè)估計(jì)，該城市患白血病的兒童可能超過380人，也可能低于380人練習(xí)1：某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價(jià)x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求回歸直線方程x，其中20.(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤銷售收入成本)答案(1)由于(x1x2x3x4x5x6)8.5，(y1y2y3y4y5y6)80.所以80208.5250，從而回歸直線方程為20x250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得Lx(20x250)4(20x250)20x2330x100020(x8.25)2361.25.當(dāng)且僅當(dāng)x8.25時(shí)，L取得是大值，故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤1下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系：角度和它的余弦值；正n邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和；家庭的支出與收入；某戶家庭用電量與電價(jià)間的關(guān)系其中是相關(guān)關(guān)系的有()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)答案A2下列圖形中兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是() 答案C3設(shè)一個(gè)回歸方程為31.2x，則變量x增加一個(gè)單位時(shí)()Ay平均增加1.2個(gè)單位By平均增加3個(gè)單位Cy平均減少1.2個(gè)單位Dy平均減少3個(gè)單位答案A4現(xiàn)有5組數(shù)據(jù)A(1,3)、B(2,4)、C(4,5)、D(3,10)、E(10,12)，去掉_組數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最大答案D5下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù)：x3456y2.5344.5(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程x；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？解析(1)散點(diǎn)圖，如圖所示(2)由題意，得iyi32.5435464.566.5，4.5，3.5，3242526286，0.7，3.50.74.50.35，故線性回歸方程為0.7x0.35.(3)根據(jù)回歸方程的預(yù)測，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量為0.71000.3570.35，故耗能減少了9070.3519.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)_基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1由一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)得到的回歸直線方程bxa，那么下面說法不正確的是()A直線bxa必經(jīng)過點(diǎn)(，)B直線bxa至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn)C直線bxa的斜率為D直線bxa和各點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的偏差yi(bxia)2是該坐標(biāo)平面上所有直線與這些點(diǎn)的偏差中最小的直線答案B解析由ab 知b bx，必定過(，)點(diǎn)回歸直線方程對應(yīng)的直線是與樣本數(shù)據(jù)距離最小的，但不一定過原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，只須和這些點(diǎn)很接近即可2下列說法正確的是()A對于相關(guān)系數(shù)r來說，|r|1，|r|越接近0，相關(guān)程度越大；|r|越接近1，相關(guān)程度越小B對于相關(guān)系數(shù)r來說，|r|1，|r|越接近1，相關(guān)程度越大；|r|越大，相關(guān)程度越小C對于相關(guān)系數(shù)r來說，|r|1，|r|越接近1，相關(guān)程度越大；|r|越接近0，相關(guān)程度越小D對于相關(guān)系數(shù)r來說，|r|1，|r|越接近1，相關(guān)程度越?。粅r|越大，相關(guān)程度越大答案C3(2015遼寧鞍山調(diào)研)兩個(gè)變量成負(fù)相關(guān)關(guān)系時(shí)，散點(diǎn)圖的特征是()A點(diǎn)從左下角到右上角區(qū)域散布B點(diǎn)散布在某帶形區(qū)域內(nèi)C點(diǎn)散布在某圓形區(qū)域內(nèi)D點(diǎn)從左上角到右下角區(qū)域散布答案D4(2014重慶)已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本的平均數(shù)2.5，3.5，則由觀測的數(shù)據(jù)得線性回歸方程可能為()A.0.4x2.3 B.2x2.4C.2x9.5 D.0.3x4.4答案A解析x，正相關(guān)則b0，排除C，D.過中點(diǎn)心(，)(3,3.5)，選A.5某化工廠為預(yù)測某產(chǎn)品的回收率y，需要研究它的原料有效成分含量x之間的相關(guān)關(guān)素，現(xiàn)取了8對觀測值，計(jì)算得：i52，i228，478，iyi1849，則y對x的回歸直線的方程是()A.11.472.62x B.11.472.62xC.2.6211.47x D.11.472.62x答案A解析由已知得i52，i228，所以2.62，2.6211.47，所以2.62x11.47.6為了考查兩個(gè)變量x和y之間的線性關(guān)系，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立做了10次和15次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1、l2，已知兩人所得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，變量x和y的數(shù)據(jù)的平均值都相等，且分別是s和t，那么下列說法中正確的是()A直線l1、l2一定有公共點(diǎn)(s，t)B直線l1、l2相交，但交點(diǎn)不一定是(s，t)C必有直線l1l2Dl1、l2必定重合答案A解析線性回歸直線方程為bxa，而，即atbs，tbsa，所以(s，t)在回歸直線上，直線l1、l2一定有公共點(diǎn)(s，t)二、填空題7(2011遼寧高考)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：0.254x0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加_萬元答案0.254解析由于0.254x0.321知，當(dāng)x增加1萬元時(shí)，年飲食支出y增加0.254萬元8某單位為了解用電量y(度)與氣溫x()之間的關(guān)系，隨機(jī)抽查了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：氣溫()1813101用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程x中2，預(yù)測當(dāng)氣溫為4時(shí)，用電量約為_度答案68解析10，40，因?yàn)榛貧w方程一定過點(diǎn)(，)，所以，則4021060.則2x60，當(dāng)x4時(shí)，2(4)6068.三、解答題9某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)(單位：百萬元)x24568y3040605070(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)從散點(diǎn)圖中判斷銷售金額與廣告費(fèi)支出成什么樣的關(guān)系？解析(1)以x對應(yīng)的數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)，以y對應(yīng)的數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo)，所作的散點(diǎn)圖如下圖所示：(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)廣告費(fèi)支出與銷售金額之間具有相關(guān)關(guān)系，并且當(dāng)廣告費(fèi)支出由小變大時(shí)，銷售金額也大多由小變大，圖中的數(shù)據(jù)大致分布在某條直線的附近，即x與y成正相關(guān)關(guān)系10一臺(tái)機(jī)器由于使用時(shí)間較長，生產(chǎn)的零件有一些缺損按不同轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的零件有缺損的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128每小時(shí)生產(chǎn)有缺損零件數(shù)y(個(gè))11985(1)作出散點(diǎn)圖；(2)如果y與x線性相關(guān)，求出回歸直線方程；(3)若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)的產(chǎn)品中有缺損的零件最多為10個(gè)，那么，機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解析先作出散點(diǎn)圖，再根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y與x呈線性相關(guān)，從而建立回歸直線方程求解解：(1)作散點(diǎn)圖如圖所示(2)由散點(diǎn)圖可知y與x線性相關(guān)故可設(shè)回歸直線方程為bxa.依題意，用計(jì)算器可算得：12.5，8.25，660，iyi438.b0.73，ab8.250.7312.50.875.所求回歸直線方程為0.73x0.875.(3)令10，得0.73x0.87510，解得x15.即機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在15轉(zhuǎn)/秒內(nèi)能力提升一、選擇題1(2014湖北)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為bxa，則()x345678y4.02.50.50.52.03.0A.a0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0答案A解析由于x增大y減小知b0，又x3時(shí)y0，a0，故選A.2某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程x中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為()A63.6萬元B65.5萬元C67.7萬元D72.0萬元答案B探究由線性回歸方程的圖象過樣本點(diǎn)的中心，可求得線性回歸方程，然后結(jié)合該方程對x6時(shí)的銷售額作出估計(jì)解析樣本點(diǎn)的中心是(3.5,42)，則429.43.59.1，所以線性回歸方程是9.4x9.1，把x6代入得65.5.3已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為x.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為ybxa，則以下結(jié)論正確的是()A.b，a B.b，aC.b，a D.b，a答案C探究先由已知條件分別求出b，a的值，再由，的計(jì)算公式分別求解，的值，即可作出比較解析由兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)可求得直線方程為y2x2，從而b2，a2.而利用線性回歸方程的公式與已知表格中的數(shù)據(jù)，可求得，所以b，a.4某學(xué)生課外活動(dòng)興趣小組對兩個(gè)相關(guān)變量收集到5組數(shù)據(jù)如下表：x1020304050y62758189由最小二乘法求得回歸方程為0.67x54.9，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊不清，請推斷該數(shù)據(jù)的值為()A60B62C68D68.3答案C解析由題意可得30，代入回歸方程得75.設(shè)看不清處的數(shù)為a，則62a758189755，a68.點(diǎn)評(píng)表中所給的數(shù)據(jù)只反映x與y的線性關(guān)系，并非函數(shù)關(guān)系，因而不能直接代入線性方程求預(yù)報(bào)值，應(yīng)根據(jù)線性回歸方程性質(zhì)，即線性回歸方程經(jīng)過中心點(diǎn)(，)求解二、填空題52010年4月初，廣東部分地區(qū)流行手足口病，黨和政府采取果斷措施，防治結(jié)合，很快使病情得到控制下表是某同學(xué)記載的2010年4月1日到2010年4月12日每天廣州手足口病治愈出院者數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖如圖.日期123456人數(shù)100109115118121134日期789101112人數(shù)141152168175186203下列說法：根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷日期與人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系；根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷日期與人數(shù)且有一次函數(shù)關(guān)系；后三天治愈出院的人數(shù)占這12天治愈出院人數(shù)的30%多；后三天治愈出院的人數(shù)均超過這12天內(nèi)北京市治愈出院人數(shù)的20%.其中正確的個(gè)數(shù)是_答案26改革開放30年以來，我國高等教育事業(yè)迅速發(fā)展，對某省19902000年考大學(xué)升學(xué)百分比按城市、縣鎮(zhèn)、農(nóng)村進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將19902000年依次編號(hào)為010，回歸分析之后得到每年考入大學(xué)的百分比y與年份x的關(guān)系為：城市：2.84x9.50；縣鎮(zhèn)：2.32x6.67；農(nóng)村：0.42x1.80.根據(jù)以上回歸直線方程，城市、縣鎮(zhèn)、農(nóng)村三個(gè)組中，_的大學(xué)入學(xué)率增長最快按同樣的增長速度，可預(yù)測2010年，農(nóng)村考入大學(xué)的百分比為_%.答案城市10.2探究增長速度可根據(jù)回歸直線的斜率來判斷，斜率大的增長速度快，斜率小的增長速度慢解析通過題目中所提供的回歸方程可判斷，城市的大學(xué)入學(xué)率增長最快；2010年農(nóng)村考入大學(xué)的百分比為0.42201.8010.2.三、解答題7(2014新課標(biāo)全國高考)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表年份2007200820092010201120122013年份代號(hào)1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關(guān)于t的線性回歸