直線關于直線對稱問題的常用方法與技巧

精品文檔 1歡迎下載 直直線線關關于于直直線線對對稱稱問問題題的的常常用用方方法法與與技技巧巧 對稱問題是高中數(shù)學的比較重要內容 它的一般解題步驟是 1 在所求曲線上選一 點 2 求出這點關于中心或軸的對稱點與之間的關系 3 yxM 00 yxM yxM 利用求出曲線 直線關于直線的對稱問題是對稱問題中的較難0 00 yxf0 yxg 的習題 但它的解法很多 現(xiàn)以一道典型習題為例給出幾種常見解法 供大家參考 例題 試求直線關于直線對稱的直線 的方程 01 1 yxl033 2 yxll 解法 1 動點轉移法 在上任取點 設點 P 關于的對稱點為 則 1 l 2 lPyxP 2 l yxQ 5 343 5 934 3 1 03 22 3 yx y yx x xx yy yyxx 又點 P 在上運動 所以 所以 即 1 l01 yx01 5 343 5 934 yxyx 所以直線 的方程是 017 yxl017 yx 解法 2 到角公式法 解方程組所以直線的交點為 A 1 0 0 1 033 01 y x yx yx 21 l l 設所求直線 的方程為 即 由題意知 到與到 的角相l(xiāng) 1 xky0 kykx 1 l 2 l 2 ll 等 則 所以直線 的方程是 7 1 31 3 131 13 k k k l017 yx 解法 3 取特殊點法 由解法 2 知 直線的交點為 A 1 0 在上取點 P 2 1 設點 P 關于的對稱點 21 l l 1 l 2 l 的坐標為 則 yxQ 5 7 5 4 3 1 2 1 03 2 1 2 2 3 y x x y yx 而點 A Q 在直線 上 由兩點式可求直線 的方程是 ll017 yx 解法 4 兩點對稱法 精品文檔 2歡迎下載 對解法 3 在上取點 P 2 1 設點 P 關于的對稱點的坐標為 Q 在上取點 1 l 2 l 5 7 5 4 1 l M 0 1 設點 P 關于的對稱點的坐標為而 N Q 在直線 上 由兩點式可求 2 l 5 1 5 12 Nl 直線 的方程是 l017 yx 解法 5 角平分線法 由解法 2 知 直線的交點為 A 1 0 設所求直線 的方程為 設所求直線 的方程為 21 l lll 即 由題意知 為的角平分線 在上取點 P 0 3 1 xky0 kykx 2 l 1 ll 2 l 則點 P 到的距離相等 由點到直線距離公式 有 1 ll 1 7 1 1 30 2 130 2 即kk k k 時為直線 故 所以直線 的方程是1 k 1 l 7 1 kl017 yx 解法 6 公式法 給出一個重要定理 曲線 或直線 關于直線0 yxFC 的對稱曲線 或直線 的方程為0 CByAxyxfl C 1 0 2 2 2222 yxf BA B yyxf BA A xF 證 設是曲線上的任意一點 它關于 的對稱點為 yxM C yxMl 則于是 M 與 M 關于直線 l 對稱 yxMCM 2 0 yxF 3 代 3 2 2 0 22 0 22 22 yxf BA B yy yxf BA A xx C yy B xx A yyAxxB 入 2 得 此即為曲線的方0 2 2 2222 yxf BA B yyxf BA A xF C 程 解析 定理知 直線關于直線的對稱01 1 yxyxFl033 2 yxyxfl 曲線 的方程為 l 精品文檔 3歡迎下載 017 0 5 1 5 7 5 1 01 5 3 5 4 5 3 5 9 5 3 5 4 0 5 3 5 4 5 3 5 9 5 3 5 4 0 33 5 1 33 5 3 0 13 1 2 13 32 2222 yx即yx yxyxyxyxF yxyyxxFyxfyyxfxF 所以直線 的方程是點關于點的對稱問題 是對稱問題中最基礎最重l017 yx 要的一類 其余幾類對稱問題均可以化歸為點關于點的對稱進行求解 熟練掌 握和靈活運用中點坐標公式是處理這類問題的關鍵 點關于直線的對稱問題是點關于點的對稱問題的延伸 處理這類問題主要抓住 兩個方面 兩點連線與已知直線斜率乘積等于 1 兩點的中點在已知直線 上 直線關于點的對稱問題 可轉化為直線上的點關于某點對稱的問題 這里需要 注意到的是兩對稱直線是平行的 我們往往利用平行直線系去求解 例 求直線 2x 11y 16 0 關于點 P 0 1 對稱的直線方程 分析 本題可以利用兩直線平行 以及點 P 到兩直線的距離相等求解 也可以 先在已知直線上取一點 再求該點關于點 P 的對稱點 代入對稱直線方程待定 相關常數(shù) 解法一 由中心對稱性質知 所求對稱直線與已知直線平行 故可設對稱直線 方程為 2x 11y c 0 由點到直線距離公式 得 即 11 c 27 得 c 16 即為已知直線 舍去 或 c 38 故所求對稱直線方 程為 2x 11y 38 0 解法二 在直線 2x 11y 16 0 上取兩點 A 8 0 則點 A 8 0 關于 P 0 1 的對稱點的 B 8 2 由中心對稱性質知 所求對稱直線與已知直 線平行 故可設對稱直線方程為 2x 11y c 0 將 B 8 2 代入 解得 c 38 故所求對稱直線方程為 2x 11y 38 0 點評 解法一利用所求的對稱直線肯定與已知直線平行 再由點 對稱中心 到此兩直線距離相等 而求出 c 使問題解決 而解法二是轉化為點關于點對 稱問題 利用中點坐標公式 求出對稱點坐標 再利用直線系方程 寫出直線 方程 本題兩種解法都體現(xiàn)了直線系方程的優(yōu)越性 直線關于直線對稱問題 包含有兩種情形 兩直線平行 兩直線相交 對 于 我們可轉化為點關于直線的對稱問題去求解 對于 其一般解法為先 求交點 再用 到角 或是轉化為點關于直線對稱問題 例 求直線 l1 x y 1 0 關于直線 l2 x y 1 0 對稱的直線 l 的方程 分析 由題意 所給的兩直線 l1 l2 為平行直線 求解這類對稱總是 我們 可以轉化為點關于直線的對稱問題 再利用平行直線系去求解 或者利用距離 相等尋求解答 解 根據(jù)分析 可設直線 l 的方程為 x y c 0 在直線 l1 x y 1 0 上取點 M 1 0 則易求得 M 關于直線 l2 x y 1 0 的對稱點 N 1 2 精品文檔 4歡迎下載 將 N 的坐標代入方程 x y c 0 解得 c 3 故所求直線 l 的方程為 x y 3 0 點評 將對稱問題進行轉化 是我們求解這類問題的一種必不可少的思路 另 外此題也可以先利