微積分定理歸納.doc

第一章函數(shù)與極限 1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)K2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。 2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列xn不能同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的極限。 定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列xn收斂，那么數(shù)列xn一定有界。 如果數(shù)列xn無(wú)界，那么數(shù)列xn一定發(fā)散；但如果數(shù)列xn有界，卻不能斷定數(shù)列xn一定收斂，例如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。 定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列xn收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列xn有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列xn是發(fā)散的，如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1中子數(shù)列x2k-1收斂于1，xnk收斂于-1，xn卻是發(fā)散的；同時(shí)一個(gè)發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。 3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中00(或A0(或f(x)0)，反之也成立。 函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。 一般的說(shuō)，如果lim(x)f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(xx0)f(x)=，則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。 4、極限運(yùn)算法則定理有限個(gè)無(wú)窮小之和也是無(wú)窮??；有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮??；常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮??；有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮??；定理如果F1(x)F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么ab. 5、極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限lim(x0)(sinx/x)=1；lim(x)(1+1/x)x=1.夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列xn、yn、zn滿足下列條件：ynxnzn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對(duì)于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 6、函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(xx0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。 不連續(xù)情形：1、在點(diǎn)x=x0沒(méi)有定義；2、雖在x=x0有定義但lim(xx0)f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim(xx0)f(x)存在，但lim(xx0)f(x)f(x0)時(shí)則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。 如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)(左右極限相等者稱可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn))。非第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)(無(wú)窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn))。 定理有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。 定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy=y|y=f(x)，xIx上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。 定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。 定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即mf(x)M.定理(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)(即f(a)f(b)0)，那么在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)(a函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)；函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)在該點(diǎn)可導(dǎo)。即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件而不是充分條件。 3、原函數(shù)可導(dǎo)則反函數(shù)也可導(dǎo)，且反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。 4、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微=函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)；函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)。 第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(ab），使的函數(shù)f（x）在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零：f（）=0. 2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(a0，那么函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)增加；(2)如果在(a，b)內(nèi)f(x)0，那么函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)減少。 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f(x)=0的根及f(x)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證f(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號(hào)，因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。 6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是(a，b)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，如果存在著點(diǎn)x0的一個(gè)去心鄰域，對(duì)于這去心鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。 在函數(shù)取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數(shù)不一定取得極值，即可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn))，但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。 定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么函數(shù)在x0的導(dǎo)數(shù)為零，即f(x0)=0.定理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(x0)=0，那么：(1)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時(shí)，f(x)恒為正；當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時(shí)，f(x)恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；(2)如果當(dāng)x取x0左側(cè)臨近的值時(shí)，f(x)恒為負(fù)；當(dāng)x去x0右側(cè)臨近的值時(shí)，f(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；(3)如果當(dāng)x取x0左右兩側(cè)臨近的值時(shí)，f(x)恒為正或恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在x0處沒(méi)有極值。 定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f(x0)=0，f(x0)0那么：(1)當(dāng)f(x0)0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；駐點(diǎn)有可能是極值點(diǎn)，不是駐點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。 7、函數(shù)的凹凸性及其判定設(shè)f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如果對(duì)任意兩點(diǎn)x1，x2恒有f(x1+x2)/2f(x1)+f(x1)/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。 定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么(1)若在(a，b)內(nèi)f(x)0，則f(x)在閉區(qū)間a，b上的圖形是凹的；(2)若在(a，b)內(nèi)f(x)可積。 定理設(shè)f(x)在區(qū)間a，b上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間a，b上可積。 3、定積分的若干重要性質(zhì)性質(zhì)如果在區(qū)間a，b上f(x)0則abf(x)dx0.推論如果在區(qū)間a，b上f(x)g(x)則abf(x)dxabg(x)dx.推論|abf(x)dx|ab|f(x)|dx.性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值和最小值，則m(b-a)abf(x)dxM(b-a)，該性質(zhì)說(shuō)明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍。 性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a，b上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：abf(x)dx=f()(b-a)。 4、關(guān)于廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上除點(diǎn)c(ac可偏導(dǎo)。 5、多元函數(shù)可微的充分條件定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)存在且在點(diǎn)(x，y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。 6.多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0，y0)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零。 定理(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，則f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處是否取得極值的條件如下：(1)AC-B20時(shí)具有極值，且當(dāng)A0時(shí)有極小值；(2)AC-B20時(shí)沒(méi)有極值；(3)AC-B2=0時(shí)可能有也可能沒(méi)有。 7、多元函數(shù)極值存在的解法(1)解方程組fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。 (2)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0，y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.(3)定出AC-B2的符號(hào)，按充分條件進(jìn)行判定f(x0，y0)是否是極大值、極小值。 注意：在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)，除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外，如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮在內(nèi)。 第八章二重積分 1、二重積分的一些應(yīng)用曲頂柱體的體積曲面的面積(A=1+f2x(x，y)+f2y(x，y)d) 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的重心坐標(biāo)(x=1/Axd，y=1/Ayd；其中A=d為閉區(qū)域D的面積。 平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Ix=y2(x，y)d，Iy=x2(x，y)d；其中(x，y)為在點(diǎn)(x，y)處的密度。 平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力(FxFyFz) 2、二重積分存在的條件當(dāng)f(x，y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)，極限存在，故函數(shù)f(x，y)在D上的二重積分必定存在。 3、二重積分的一些重要性質(zhì)性質(zhì)如果在D上，f(x，y)(x，y)，則有不等式f(x，y)dxdy(x，y)dxdy，特殊地由于-|f(x，y)|f(x，y)|f(x，y)|又有不等式|f(x，y)dxdy|f