函數(shù)的有關(guān)概念

函數(shù)的有關(guān)概念函數(shù)的有關(guān)概念 1 函數(shù)的概念 設(shè) A B 是非空的數(shù)集 如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系 f 使對于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x 在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f x 和它對應(yīng) 那么就稱 f A B 為 從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù) 記作 y f x x A 其中 x 叫做自變量 x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域 與 x 的值相對應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值 函數(shù)值的集合 f x x A 叫做函 數(shù)的值域 注意 2 如果只給出解析式 y f x 而沒有指明它的定義域 則函數(shù)的定義域即是指 能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合 3 函數(shù)的定義域 值域要寫成集合或區(qū)間的形式 定義域補(bǔ)充 能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù) x 的集合稱為函數(shù)的定義域 求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組 的主要依據(jù)是 1 分式的分母不等于零 2 偶次方根的被開方數(shù)不小于零 3 對數(shù)式的真 數(shù)必須大于零 4 指數(shù) 對數(shù)式的底必須大于零且不等于 1 5 如果函數(shù)是由一些基本函 數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的 那么 它的定義域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合 6 指數(shù)為零底不可以等于零 6 實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義 又注意 求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域 構(gòu)成函數(shù)的三要素 定義域 對應(yīng)關(guān)系和值域 再注意 1 構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域 對應(yīng)關(guān)系和值域 由于值域是由定義域和對 應(yīng)關(guān)系決定的 所以 如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致 即稱這兩個(gè)函數(shù)相等 或?yàn)橥缓瘮?shù) 2 兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致 而與表示自 變量和函數(shù)值的字母無關(guān) 相同函數(shù)的判斷方法 表達(dá)式相同 定義域一致 兩點(diǎn)必須 同時(shí)具備 見課本 21 頁相關(guān)例 2 值域補(bǔ)充 1 函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則 不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考 慮其定義域 2 應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù) 二次函數(shù) 指數(shù) 對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域 它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ) 3 函數(shù)圖象知識歸納 1 定義 在平面直角坐標(biāo)系中 以函數(shù) y f x x A 中的 x 為橫坐標(biāo) 函數(shù)值 y 為 縱坐標(biāo)的點(diǎn) P x y 的集合 C 叫做函數(shù) y f x x A 的圖象 C 上每一點(diǎn)的坐標(biāo) x y 均滿足函數(shù)關(guān)系 y f x 反過來 以滿足 y f x 的每一組有 序?qū)崝?shù)對 x y 為坐標(biāo)的點(diǎn) x y 均在 C 上 即記為 C P x y y f x x A 圖象 C 一般的是一條光滑的連續(xù)曲線 或直線 也可能是由與任意平行與 Y 軸的直線最 多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成 2 畫法 A 描點(diǎn)法 根據(jù)函數(shù)解析式和定義域 求出 x y 的一些對應(yīng)值并列表 以 x y 為坐 標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn) P x y 最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來 B 圖象變換法 請參考必修 4 三角函數(shù) 常用變換方法有三種 即平移變換 伸縮變換和對稱變換 3 作用 1 直觀的看出函數(shù)的性質(zhì) 2 利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路 提高解題的速度 發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤 4 快去了解區(qū)間的概念 1 區(qū)間的分類 開區(qū)間 閉區(qū)間 半開半閉區(qū)間 2 無窮區(qū)間 3 區(qū)間的數(shù)軸表示 5 什么叫做映射 一般地 設(shè) A B 是兩個(gè)非空的集合 如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)法則 f 使對于集合 A 中的任意一個(gè)元素 x 在集合 B 中都有唯一確定的元素 y 與之對應(yīng) 那么就稱對應(yīng) f AB 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)映射 記作 f AB 給定一個(gè)集合 A 到 B 的映射 如果 a A b B 且元素 a 和元素 b 對應(yīng) 那么 我們把 元素 b 叫做元素 a 的象 元素 a 叫做元素 b 的原象 說明 函數(shù)是一種特殊的映射 映射是一種特殊的對應(yīng) 集合 A B 及對應(yīng)法則 f 是 確定的 對應(yīng)法則有 方向性 即強(qiáng)調(diào)從集合 A 到集合 B 的對應(yīng) 它與從 B 到 A 的對應(yīng) 關(guān)系一般是不同的 對于映射 f A B 來說 則應(yīng)滿足 集合 A 中的每一個(gè)元素 在 集合 B 中都有象 并且象是唯一的 集合 A 中不同的元素 在集合 B 中對應(yīng)的象可以是 同一個(gè) 不要求集合 B 中的每一個(gè)元素在集合 A 中都有原象 常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn) 常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn) 1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線 也可以是直線 折線 離散的點(diǎn)等等 注意判斷一 個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù) 2 解析法 必須注明函數(shù)的定義域 3 圖象法 描點(diǎn)法作圖要 注意 確定函數(shù)的定義域 化簡函數(shù)的解析式 觀察函數(shù)的特征 4 列表法 選取的自變量要 有代表性 應(yīng)能反映定義域的特征 注意啊 解析法 便于算出函數(shù)值 列表法 便于查出函數(shù)值 圖象法 便于量出函 數(shù)值 補(bǔ)充一 分段函數(shù) 參見課本 P24 25 在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù) 在不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須 把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式 分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程 而就寫函數(shù)值 幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號括起來 并分別注明各部分的自變量的取值情況 1 分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù) 不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù) 2 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的 并集 值域是各段值域的并集 補(bǔ)充二 復(fù)合函數(shù) 如果 y f u u M u g x x A 則 y f g x F x x A 稱為 f g 的復(fù)合函 數(shù) 例如 y 2sinXy 2cos X2 1 7 函數(shù)單調(diào)性 1 增函數(shù) 設(shè)函數(shù) y f x 的定義域?yàn)?I 如果對于定義域 I 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間 D 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量 x1 x2 當(dāng) x1 如果對于區(qū)間 D 上的任意兩個(gè)自變量的值 x1 x2 當(dāng) x1 注意 1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì) 是函數(shù)的局部性質(zhì) 2 必須是對于區(qū)間 D 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量 x1 x2 當(dāng) x1 2 圖象的特點(diǎn) 如果函數(shù) y f x 在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù) 那么說函數(shù) y f x 在這一區(qū)間上具有 嚴(yán)格的 單調(diào)性 在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的 減函數(shù)的圖象從左到右 是下降的 3 函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法 A 定義法 1 任取 x1 x2 D 且 x1 B 圖象法 從圖象上看升降 C 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 8 函數(shù)的奇偶性 1 偶函數(shù) 一般地 對于函數(shù) f x 的定義域內(nèi)的任意一個(gè) x 都有 f x f x 那么 f x 就叫做 偶函數(shù) 2 奇函數(shù) 一般地 對于函數(shù) f x 的定義域內(nèi)的任意一個(gè) x 都有 f x f x 那么 f x 就叫 做奇函數(shù) 注意 1 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性 質(zhì) 函數(shù)可能沒有奇偶性 也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 2 由函數(shù)的奇偶性定義可知 函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是 對于定義域內(nèi)的任 意一個(gè) x 則 x 也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量 即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱 3 具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征 偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 總結(jié) 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟 1 首先確定函數(shù)的定義域 并判斷其定 義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱 2 確定 f x 與 f x 的關(guān)系 3 作出相應(yīng)結(jié)論 若 f x f x 或 f x f x 0 則 f x 是偶函數(shù) 若 f x f x 或 f x f x 0 則 f x 是奇函數(shù) 注意啊 函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件 首先看函數(shù)的定義域 是否關(guān)于原點(diǎn)對稱 若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù) 若對稱 1 再根據(jù)定義判定 2 有 時(shí)判定 f x f x 比較困難 可考慮根據(jù)是否有 f x f x 0 或 f x f x 1 來 判定 3 利用定理 或借助函數(shù)的圖象判定 9 函數(shù)的解析表達(dá)式 1 函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法 要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí) 一是要 求出它們之間的對應(yīng)法則 二是要求出函數(shù)的定義域 2 求函數(shù)的解析式的主要方法有 待定系數(shù)法 換元法 消參法等 如果已知函數(shù) 解析式的構(gòu)造時(shí) 可用待定系數(shù)法 已知復(fù)合函數(shù) f g x 的表達(dá)式時(shí) 可用換元法 這時(shí) 要注意元的取值范圍 當(dāng)已知表達(dá)式較簡單時(shí) 也可用湊配法 若已知抽象函數(shù)表達(dá)式 則 常用解方程組消參的方法求出 f x 10 函數(shù)最大 小 值 定義見課本 p36 頁 1 利用二次函數(shù)的性質(zhì) 配