導數(shù)的概念（教學設計）

1 導導 數(shù)數(shù) 的的 概概 念念 樊加虎 導數(shù)是近代數(shù)學中微積分的核心概念之一 是一種思想方法 這種思想方 法是人類智慧的驕傲 導數(shù)的概念 這一節(jié)內容 大致分成四個課時 我主要 針對第三課時的教學 談談我的理解與設計 敬請各位專家斧正 一 教材分析 1 1 編者意圖 導數(shù)的概念 分成四個部分展開 即 曲線的切線 瞬 時速度 導數(shù)的概念 導數(shù)的幾何意義 編者意圖在哪里呢 用前兩部分作 為背景 是為了引出導數(shù)的概念 介紹導數(shù)的幾何意義 是為了加深對導數(shù)的 理解 從而充分借助直觀來引出導數(shù)的概念 用極限思想抽象出導數(shù) 用函數(shù)思 想拓展 完善導數(shù)以及在應用中鞏固 反思導數(shù) 教材的顯著特點是從具體經(jīng) 驗出發(fā) 向抽象和普遍發(fā)展 使探究知識的過程簡單 經(jīng)濟 有效 1 2 導數(shù)概念在教材的地位和作用 導數(shù)的概念 是全章核心 不僅在于它 自身具有非常嚴謹?shù)慕Y構 更重要的是 導數(shù)運算是一種高明的數(shù)學思維 用 導數(shù)的運算去處理函數(shù)的性質更具一般性 獲得更為理想的結果 把運算對象 作用于導數(shù)上 可使我們擴展知識面 感悟變量 極限等思想 運用更高的觀 點和更為一般的方法解決或簡化中學數(shù)學中的不少問題 導數(shù)的方法是今后全 面研究微積分的重要方法和基本工具 在在其它學科中同樣具有十分重要的作 用 在物理學 經(jīng)濟學等其它學科和生產(chǎn) 生活的各個領域都有廣泛的應用 導 數(shù)的出現(xiàn)推動了人類事業(yè)向前發(fā)展 1 3 教材的內容剖析 知識主體結構的比較和知識的遷移類比如下表 表 1 知識主體結構比較 對 象內 容本 質符號語言數(shù)學思想 曲線 y f x 切線的斜率 割線斜率 的極限 0 lim x y k x 極限思想 現(xiàn)有 認知 結構 物體運動規(guī) 律 S s t 物體的瞬時 速度 平均速度 的極限 0 lim t s v t 極限思想 函數(shù)思想 最近 發(fā)展 區(qū) 函數(shù) y f x 導函數(shù) 導數(shù) 平均變化 率的極限 0 lim x y y x 極限思想 函數(shù)思想 表 2 知識遷移類比 導數(shù)像速度 2 已有認知結構最近發(fā)展區(qū)相似點 物體在 t0時刻的速度 00 0 0 lim t s tts t v t 函數(shù) f x 在 x0處的導數(shù) 00 0 0 lim x f xxf x fx x 特指 常數(shù) 物體的任意時刻 t 的 速度 0 lim t s tts t v t 函數(shù) f x 在開區(qū)間內 0 lim x f xxf x y x 泛指 是函數(shù) 變 量 瞬時速度 一般說成速度 導函數(shù) 一般說成導數(shù) 名稱對應 泛指 v v t xfy 關系對應 v0 v t t0 00 xxyxf 求法對應 位移對時間的變化率函數(shù)對自變量的變化率本質對應 通過比較發(fā)現(xiàn) 求切線的斜率和物體的瞬時速度 這兩個具體問題的解決 都依賴于求函數(shù)的極限 一個是 微小直角三角形中兩直角邊之比 的極限 一 個是 位置改變量與時間改變量之比 的極限 如果舍去問題的具體含義 都可 以歸結為一種相同形式的極限 即 平均變化率 的極限 因此以兩個背景作為新 知的生長點 不僅使新知引入變得自然 而且為新知建構提供了有效的類比方 法 1 4 重 難點剖析 重點 導數(shù)的概念的形成過程 難點 對導數(shù)概念的理解 為什么這樣確定呢 導數(shù)概念的形成分為三個的層次 f x 在點 x0可導 f x 在開區(qū)間 b 內可導 f x 在開區(qū)間 b 內的導函數(shù) 導數(shù) aa 這三個層次是一個遞進的過程 而不是專指哪一個層次 也不是幾個層次的簡 單相加 因此導數(shù)概念的形成過程是重點 教材中出現(xiàn)了兩個 導數(shù) 兩個可 導 初學者往往會有這樣的困惑 導數(shù)到底是個什么東西 一個函數(shù)是不是有 兩種導數(shù)呢 導函數(shù)與導數(shù)是怎么統(tǒng)一的 事實上 1 f x 在點 x0處的 導數(shù)是這一點 x0到 x0 x 的變化率的極限 是一個常數(shù) 區(qū)別于導函數(shù) x y 3 2 f x 的導數(shù)是對開區(qū)間內任意點 x 而言 是 x 到 x x 的變化率的極限 是 x y f x 在任意點的變化率 其中滲透了函數(shù)思想 3 導函數(shù)就是導數(shù) 是特殊 的函數(shù) 先定義 f x 在 x0處可導 再定義 f x 在開區(qū)間 b 內可導 最后a 定義 f x 在開區(qū)間的導函數(shù) 4 y f x 在 x0處的導數(shù)就是導函數(shù)在 x f x x0處的函數(shù)值 表示為這也是求 f x0 的一種方法 初學者最難理解 0 xxy 導數(shù)的概念 是因為初學者最容易忽視或混淆概念形成過程中幾個關鍵詞的區(qū) 別和聯(lián)系 會出現(xiàn)較大的分歧和差別 要突破難點 關鍵是找到 f x 在點 x0可 導 f x 在開區(qū)間的導函數(shù) 和 導數(shù) 之間的聯(lián)系 而要弄清這種聯(lián)系的最好方 法就是類比 用 速度與導數(shù) 進行類比 二 目的分析 2 1 學生的認知特點 在知識方面 對函數(shù)的極限已經(jīng)熟悉 加上兩個具 體背景的學習 新知教學有很好的基礎 在技能方面 高三學生 有很強的概 括能力和抽象思維能力 在情感方面 求知的欲望強烈 喜歡探求真理 具有 積極的情感態(tài)度 2 2 教學目標的擬定 鑒于這些特點 并結合教學大綱的要求以及對教材的 分析 擬定如下的教學目標 知識目標 理解導數(shù)的概念 掌握用定義求導數(shù)的方法 領悟函數(shù)思想和無限逼近的極限思想 能力目標 培養(yǎng)學生歸納 抽象和概括的能力 培養(yǎng)學生的數(shù)學符號表示和數(shù)學語言表達能力 情感目標 通過導數(shù)概念的學習 使學生體驗和認同 有限和無限對立統(tǒng) 一 的辯證觀 點 接受用運動變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學問題的積極態(tài)度 三 過程分析 設計理念 遵循特殊到一般的認知規(guī)律 結合可接受性和可操作性原則 把教學目標的落實融入到教學過程之中 通過演繹導數(shù)的形成 發(fā)展和應用過程 幫助學生主動建構概念 引引導導激趣激趣概括抽象概括抽象互互動導標動導標類類比拓展比拓展 分分層層作作業(yè)業(yè)引引導導小小結結回回歸歸體體驗驗概念概念導導析析 4 3 1 引導激趣 設計意圖 創(chuàng)設情景 提出課題 演示曲線的割線變切線的動態(tài)過程 為學 生提供一個 聯(lián)想的 源 從變量分析的角度 巧妙設問 把學習任務轉移給學生 p x y o x y Y f x M 割線 切切線線 演示 曲線的切線 x0 y0 x y 0 0 問題 割線的變化過程中 x 與 y 有什么變化 有什么含義 在 x 0 時是否存 x y x y 在極限 3 2 概括抽象 設計意圖 回顧實際問題 抽象共同特征 自然提出 f x 在 x0處可導的 定義 完成 導 數(shù) 概念的第一層次 曲線的切線的斜率 抽象舍去問題的具體含義 5 歸結為一種形式相同的極限 即 0 lim x y x f x0 0 lim x y x 000 0 lim x f xxf x x 在黑板上清晰完整的板書定義 并要求學生表述 書寫 以培養(yǎng)學生的 數(shù)學符號表示和數(shù)學語言表達能力 3 3 互動導標 設計意圖 設置兩個探究問題 分析不同結果的原因 并引導學生提出 新的問題或猜想 鼓勵學生進行數(shù)學交流 激發(fā)學生進一步探究的熱情 從 而找到推進解決問題的線索 提出 f x 在開區(qū)間 b 內可導的定義 a 完成 導數(shù)概念 的第二個層次 研究 函數(shù) y 2x 5 在下列各點的變化率 1 x 1 2 x 2 3 x 3 研究 函數(shù) y x2 在下列各點的變化率 1 x 1 2 x 2 3 x 3 定義 函數(shù) f x 在開區(qū)間 b 內每一點可導 就說 f x 在開區(qū)間 b 內aa 可導 3 4 類比拓展 設計意圖 回顧 瞬時速度的概念 滲透類比思想和函數(shù)思想 讓學生產(chǎn) 生聯(lián)想 拓展出 f x 在開區(qū)間 b 內的導函數(shù)的定義 完成 導數(shù) 概念a 的第三層次 已有認知 物體在時刻 t0的速度 00 0 00 limlim tt s tts ts v tt 物體在時刻 t 的速度 00 limlim tt ss tts t v tt 新認知 函數(shù) f x 在開區(qū)間 b 內每一點可導 就說 f x 在開區(qū)間 b 內可導 aa 點撥 映射 函數(shù) 對于 b 內每一個確定的值 x0 對應著一個確定的導數(shù)值 這a 0 x f 樣就在開區(qū)間 b 內構成一個新函數(shù)a 導函數(shù) 導數(shù) 00 limlim xx yf xxf x fxy xx 6 3 5 概念導析 設計意圖 引導學生用辨析和討論的方式 反思導數(shù)概念的實質 從而 突破難點 促成學生形成合理的認知結構 辨析 1 f x0 與相等嗎 0 f x 2 與 f x0 相等嗎 試討論 f x0 與 00 0 2 lim x f xxf x x 區(qū)別與聯(lián)系 x f 反思 f x 在點 x0處的導數(shù) f x 在開區(qū)間 b 內的導函數(shù) 和 導a 數(shù) 之間的區(qū)別和聯(lián)系 板書 導數(shù)概念主體結構示意圖 f x 在點 x0處可導 f x 在開區(qū)間 b 內可導a f x 在開區(qū)間 b 內的導函數(shù)a 導數(shù) 3 6 回歸體驗 體現(xiàn) 導數(shù) 的應用價值 設計意圖 通過隨堂提問和討論例題 增強師生互動 讓學生在 做 中 學 體驗求導的結果表示的實際意義 體驗導數(shù)運算的作用 體會用導數(shù)定 義求導的兩種方法 產(chǎn)生認可和接受 導數(shù) 的積極態(tài)度 并養(yǎng)成規(guī)范使用數(shù)學符 號的習慣 想一想 1 導數(shù)的本質是什么 你能用今天學過的方法去解決上次課 的問題嗎 第 109 頁練習 1 2 第 111 頁練習 1 2 有什么感想 2 切線的斜率 物體的瞬時速度 的本質都是什么 怎樣表示 k 或 k 00 xxyxf x f v0 或 v 00 ttsts ts 7 3 導數(shù)還可以解決實際生活中那些問題 你能舉例說明嗎 例題 A 組 已知 S r2 求 r S 已知 V 求 3 4 3 R R V 已知 y x2 3x 求 1 2 求 x 2 y y 例題 B 組 已知 求 并思考的定義域與函數(shù)在開區(qū)間可導的yx y y 意義 3 7 引導小結 設計意圖 引導學生進行自我小結 用聯(lián)系的觀點將新學內容在知識結構 思想方法等 方面進行概括 鞏固新知 形成新的認知結構 知識結構 1 導數(shù)的概念 語言表達 符號表示 f x 在點 x0處的導數(shù) 導函數(shù) 和 導數(shù) 之間的聯(lián)系和區(qū)別 2 主要數(shù)學思想 極限思想 函數(shù)思想 3 用定義求導的方法 步驟 4 導數(shù)的作用 3 8 分層作業(yè) 設計意圖 注意雙基訓練與發(fā)展能力相結合 設計遞進式分層作業(yè)以滿足不 同學生的多樣化學習需求 使他們得到最全面的發(fā)展 把教材的第 112 頁的關于 可導必連續(xù) 的命題調整為選做題既不影響主體知識建構 又能滿足學生的進一 步的探究需求 必 做 題 1 教材第 114 頁 第 2 3 4 題 2 若 f x0 a 1 求的值 000 0 lim x f xxf x x 8 2 求的值 00 0 lim x f xxf xx x 思 考 題 1 已知 y x3 求 1 2 x 0 3 求曲線在 0 0 處的切 y y 線方程 2 討論 y x 在 x 0 處是否可導 選 做 題 求證 如果函數(shù) y f x 在 x0處可導 那么函數(shù) y f x 在點 x0處連續(xù) 四 教法分析 依據(jù) 循序漸進原則和可接受原則 設計理念 把教學看作是一個由教師的 導 學生的 學 及其教學過程中的 悟 為三個子系統(tǒng)組成的多要素的和諧整體 教法 支架式過程法 即 b 學習a 教師啟發(fā) 誘導 激勵 評價等為學生的學習搭建支架 把學習的任a 務轉移給學生 b 學生接受任務 探究問題 完成任務 b 以問題為核心 通過對知識的發(fā)生 發(fā)展和運用過程的演繹 揭示a 和探究 組織和推動教學 圖 3 b 導 學 悟 教 學 學習a 圖 4 導 悟 學 啟 接 發(fā) 受 問題 誘 組 推 探 導 織 動 究 循序漸進原則 知識的發(fā)生 發(fā)展 運用 9 激 完 勵 成 可接受原則 認知規(guī)律 4 1 導 引導學生用變量觀點去認識 x y和 x y 引導學生用函數(shù)的思想去認識 f x0 向 f x 拓展的過程 引導學生聯(lián)系的觀點弄清導數(shù)概念之間的區(qū)別和聯(lián)系 學 通過具體的導數(shù)背景提出問題 通過類比 聯(lián)想分析問題 通過交流 體驗 反思解決問題 悟 通過教師的 導 學生的 學 悟 出導數(shù)的本質 4 2 借助多媒體顯示直觀 體現(xiàn)過程的優(yōu)勢來展示割線的動態(tài)變化 向學 生滲透無限逼近的極限思想 為抽象出導數(shù)的概念作必要的準備 4 3 板書設計 3 1 3 導數(shù)的概念 主線 1 定義 函數(shù) y