《群論-常哲》群論課程大綱.doc

窗體頂端課程大綱課程編號(hào)：310104H-1課時(shí)：60學(xué)分：5.0課程屬性：專業(yè)核心課主講教師：常哲等課程名稱：群論14-15秋季教學(xué)目的、要求 本課程為理論物理學(xué)二級(jí)學(xué)科研究生的專業(yè)核心課，及其它相關(guān)專業(yè)研究生的專業(yè)普及課。主要學(xué)習(xí)群論與群論方法在物理學(xué)對(duì)稱性研究中的基本應(yīng)用，重點(diǎn)要求掌握群及其線性表示的基本理論，掌握點(diǎn)群、三維轉(zhuǎn)動(dòng)群、置換群及SU(N)群的基本性質(zhì)。通過本課程的學(xué)習(xí)，希望學(xué)生掌握群論的基本知識(shí)，特別是學(xué)會(huì)用群論研究物理系統(tǒng)對(duì)稱性質(zhì)的方法。 預(yù)修課程 線性代數(shù)、量子力學(xué) 教材 物理學(xué)中的群論，馬中騏著，第二版，科學(xué)出版社。 主要內(nèi)容 第零章 群論與對(duì)稱性 （1課時(shí)） 教學(xué)目標(biāo)：本章介紹群的定義，并結(jié)合具體物理系統(tǒng)中對(duì)稱變換與對(duì)稱性實(shí)例闡明群論是物理系統(tǒng)中對(duì)稱性研究的系統(tǒng)工具。 主要內(nèi)容：（按每課時(shí)內(nèi)容分節(jié)） 1. 群的定義、群論與對(duì)稱性的關(guān)系、及其在具體物理系統(tǒng)中的應(yīng)用。 第一章 數(shù)學(xué)準(zhǔn)備 （3課時(shí)） 教學(xué)目標(biāo)：綜述本課程必備的集合論與線性代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，為后續(xù)群、矩陣群和群表示論做好數(shù)學(xué)準(zhǔn)備。 主要內(nèi)容：（按每課時(shí)內(nèi)容分節(jié)） 1. 集合論復(fù)習(xí)：集合、集合上的映射、映射的復(fù)合、等價(jià)關(guān)系和劃分； 2. 線性代數(shù)復(fù)習(xí)：線性空間及線性空間的基底、線性空間的直和與直積、線性映射(變換)與矩陣、矩陣的若干運(yùn)算和性質(zhì)； 3. 線性代數(shù)復(fù)習(xí)：線性空間的基底變換與相似變換、方陣的對(duì)角化與本征值問題、矩陣的直乘等概念。 重點(diǎn)：線性空間和線性變換 難點(diǎn)：線性映射的矩陣表示、線性映射的不變子空間概念。 第二章 群的基本概念 （12課時(shí)） 教學(xué)目標(biāo)：學(xué)習(xí)群的定義及相關(guān)性質(zhì)、群的各種重要子集、群之間的同態(tài)與同構(gòu)映射關(guān)系。通過具體例子了解物理系統(tǒng)中的有限群和連續(xù)群，特別是點(diǎn)群。從群論的角度研究晶體的對(duì)稱性，討論32種晶格點(diǎn)群、7種晶系、14種布拉菲格子和73種簡(jiǎn)單空間群的性質(zhì)。 主要內(nèi)容：（按每課時(shí)內(nèi)容分節(jié)） 1. 群的定義及一般性質(zhì)、物理系統(tǒng)中經(jīng)常用到的群、群的簡(jiǎn)單分類、生成元與秩； 2. 有限群的重排定理及乘法表、由重排定理給出一些低階群的乘法表； 3. 子群、陪集、拉格朗日定理； 4. 共軛元素、共軛等價(jià)類、不變子群和商群； 5. 同態(tài)映射和同構(gòu)映射的定義及相關(guān)概念； 6. 群的同態(tài)定理、群的直積； 7. 點(diǎn)群簡(jiǎn)介(1)：點(diǎn)群的定義及分類，N階循環(huán)群CN 的定義、構(gòu)造、生成元、子群、類等概念； 8. 點(diǎn)群簡(jiǎn)介(2)：正N邊形對(duì)稱群DN 的定義、構(gòu)造、生成元、子群、類等概念，以及在正多邊形系統(tǒng)中的應(yīng)用； 9. 點(diǎn)群簡(jiǎn)介(3)：正多面體對(duì)稱群T群、O群和I群 的定義、構(gòu)造、生成元、子群、類等概念，以及在正多面體系統(tǒng)中的應(yīng)用； 10. 點(diǎn)群簡(jiǎn)介(4)：I型和P型非固有點(diǎn)群的定義及構(gòu)造； 11. 晶體的對(duì)稱性與空間群：從晶體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)抽象談起，介紹晶體系統(tǒng)中的一般對(duì)稱性操作：平移、旋轉(zhuǎn)、及其復(fù)合；介紹平移群、空間群、簡(jiǎn)單空間群、晶體點(diǎn)群等概念；由平移操作對(duì)旋轉(zhuǎn)的限制，給出所有可能的晶體點(diǎn)群（11種固有點(diǎn)群和21種非固有點(diǎn)群）； 12. 7大晶系與14種布拉菲格子： 通過點(diǎn)群操作對(duì)晶格形狀的限制，給出七大晶系；并進(jìn)一步討論點(diǎn)群操作對(duì)原始格子上增加不破壞原始格子對(duì)稱性點(diǎn)的限制，給出14種布拉菲格子和73種空間群。 重點(diǎn)：群的定義、子集、同態(tài)映射，平移群、空間群、晶體點(diǎn)群、主軸、晶系、布拉菲格子 難點(diǎn)：共軛等價(jià)類、商群、同態(tài)定理，非固有晶體點(diǎn)群、倒格矢、布拉菲格子 第三章 群的線性表示理論 （14課時(shí)） 教學(xué)目標(biāo)：掌握群的線性表示基本理論，包括等價(jià)表示和表示的幺正性、不可約表示及表示的約化、舒爾定理與有限群的不等價(jià)不可約表示、有限群的特征標(biāo)表、表示的直接乘積及其約化、維格納-埃伽定理、克萊布施-戈登級(jí)數(shù)與系數(shù)。 主要內(nèi)容： 1. 線性表示的定義、特征標(biāo)；真實(shí)表示、非真實(shí)表示、恒等表示、自身表示、幺正表示、實(shí)正交表示； 2. 群的表示空間、等價(jià)表示、有限群表示的幺正性； 3. 群空間、群函數(shù)、群代數(shù)； 4. 有限群的正則表示及其性質(zhì)、內(nèi)稟正則表示； 5. 有限群的可約表示與不可約表示的定義及一般性質(zhì)； 6. 舒爾定理及其推論； 7正交定理及其推論； 8. 表示的完備性； 9. 有限群不可約表示的特征標(biāo)表的構(gòu)造； 10. 循環(huán)群、D2群、D3群的特征標(biāo)表； 11. 物理應(yīng)用(1)：定態(tài)波函數(shù)按對(duì)稱群表示分類、有限群直乘表示的約化、克萊布施-戈登級(jí)數(shù)與系數(shù)； 12. 物理應(yīng)用(2)：維格納-埃伽定理、不可約張量算符及其矩陣元； 13. 物理應(yīng)用(3)：正則簡(jiǎn)并與偶然簡(jiǎn)并、選擇定則； 14. 物理應(yīng)用舉例。 重點(diǎn)：(不)可約表示、特征標(biāo)、表示空間、不可約張量、C-G級(jí)數(shù)與系數(shù)、維格納-埃伽定理 難點(diǎn)：有限群的特征標(biāo)表、舒爾引理、正交定理、可約表示的約化 第四章 三維轉(zhuǎn)動(dòng)群 14 課時(shí) 教學(xué)目標(biāo)：三維轉(zhuǎn)動(dòng)群是最簡(jiǎn)單并且在物理上最常用的李群。本章通過對(duì)三維轉(zhuǎn)動(dòng)群及其表示的系統(tǒng)研究，介紹李群及其表示理論的一些基本概念，并展示群論方法在物理學(xué)中應(yīng)用的一般途徑。 主要內(nèi)容： 1. 李群定義、組合函數(shù)的性質(zhì)、一些李群的例子； 2. 群空間及其一般整體性質(zhì)、緊致李群上的積分； 3. 李群的線性表示、生成元、不可約表示； 4. 李氏第一和第二定理、李代數(shù)； 5. 李氏第三定理、李群的伴隨表示； 6. SO(3)群的定義、參數(shù)化及群空間； 7. SO(3)群李代數(shù)、自身表示及群上的積分； 8. SO(3)群的歐拉角參數(shù)化； 9. SU(2)群的參數(shù)化、群空間、李代數(shù)； 10. SU(2)群與SO(3)群的同態(tài)對(duì)應(yīng)關(guān)系、SU(2)群上的積分； 11. SU(2)群在二元齊次多項(xiàng)式復(fù)函數(shù)空間上的作用及這些表示的不可約性及完備性； 12. SU(2)群不可約表示的生成元、直乘表示的約化、克萊布施-戈登(C-G)級(jí)數(shù)與系數(shù)； 13. SO(3)群、SU(2)群與角動(dòng)量理論的聯(lián)系； 14. 標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)、旋量場(chǎng)、張量場(chǎng)及其在空間轉(zhuǎn)動(dòng)下的變換規(guī)則。 重點(diǎn)：李群的群空間、組合函數(shù)、生成元、李代數(shù)、SO(3)群(SU(2)群)的不可約表示、克萊布施-戈登級(jí)數(shù) 難點(diǎn)：Haar測(cè)度、李氏三定理、角動(dòng)量理論 第五章 置換群 （6課時(shí)） 教學(xué)目標(biāo)：了解置換群的基本結(jié)構(gòu)與性質(zhì)；學(xué)習(xí)代數(shù)的一般理論及群代數(shù)的分解；掌握利用楊算符構(gòu)造置換群不可約表示的方法。 主要內(nèi)容： 1. 置換群的基本概念、輪換和輪換結(jié)構(gòu)； 2. 置換群的類、交變子群、置換群的生成元； 3. 代數(shù)的一般理論、結(jié)合代數(shù)、群代數(shù)和正則表示； 4. 群代數(shù)的理想和冪等元、不等價(jià)的原始冪等元； 5. 楊圖、楊表、楊算符、置換群代數(shù)的原始冪等元； 6. 置換群的不可約表示。 重點(diǎn)：楊圖、楊表、楊算符、置換群的不可約表示 難點(diǎn)：群代數(shù)和正則表示、群代數(shù)的理想和冪等元 第六章 SU(N)群的不可約表示 （6課時(shí)） 教學(xué)目標(biāo)：了解U(N)群和SU(N)群的基本性質(zhì)，學(xué)習(xí)U(N)群和SU(N)群的張量表示及其約化。 主要內(nèi)容： 1. 矩陣群、U(N)群和SU(N)群； 2. U(N)群和SU(N)群的一般性質(zhì)； 3. U(N)群和SU(N)群的張量表示、外尓互反性； 4. 張量楊表、不可約對(duì)稱張量作為U(N)群和SU(N)群的表示空間； 5. 特征標(biāo)與直乘表示的約化、立特武德-理查森規(guī)則； 6. 協(xié)變和逆變張量、SU(N)群的單純性； 重點(diǎn)：不可約對(duì)稱張量作為U(N)群和SU(N)群的表示空間、立特武德-理查森規(guī)則 難點(diǎn)：外尓互反性、張量楊表 第七章 洛倫茲群與龐卡萊群簡(jiǎn)介（2課時(shí)） 教學(xué)目標(biāo)：初步了解洛倫茲群與龐卡萊群及其表示。 主要內(nèi)容： 1. SO(N)群簡(jiǎn)介、SO(4)群和洛倫茲群； 2. 洛倫茲群的表示、龐卡萊群簡(jiǎn)介；