5.4二次函數(shù)與一元二次方程.doc

類比舊知迎新知 同中析異現(xiàn)本質(zhì)利用圖像法對一元二次方程根的判別式的探究活動設(shè)計江蘇省興化市楚水初級中學(xué) 張建權(quán)1 教學(xué)現(xiàn)狀分析在蘇科版九年級下冊5.4二次函數(shù)與一元二次方程一節(jié)的第1課時中，教材首先提出了一個問題：二次函數(shù)ybxc與一元二次方程bxc0有怎樣的關(guān)系？針對這個問題，教材給出了兩個小貼士，其中一個從y的取值角度說明當(dāng)y的值確定后，就得到一個一元二次方程，如y0，得到bxc0；另一個從二次函數(shù)的圖像角度說明拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程bxc0的解，隨后教材結(jié)合四個具體的一元二次方程及對應(yīng)的二次函數(shù)圖像，得出一元二次方程的判別式和對應(yīng)的拋物線與x軸的交點(diǎn)情況的關(guān)系。在一次組內(nèi)教研活動中，一位同仁就開了這節(jié)課，這位老師基本按照教材內(nèi)容的編排進(jìn)行講授，數(shù)形結(jié)合和等價關(guān)系的轉(zhuǎn)化處理得當(dāng)，應(yīng)該說效果不錯，但在課后評課時，點(diǎn)評意見出現(xiàn)了不統(tǒng)一。部分老師認(rèn)為，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)的求法，令y0，得到關(guān)于x的方程，方程的解就是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，對于本節(jié)課，可將此方法直接遷移運(yùn)用，顯得銜接自然，因此本節(jié)課的重點(diǎn)就是理解并熟練運(yùn)用一元二次方程的判別式；另一部分老師認(rèn)為，本節(jié)課中的等價關(guān)系的轉(zhuǎn)化過于順暢，似乎沒有辨析的過程，會導(dǎo)致學(xué)生對本節(jié)課的內(nèi)容理解不透徹，同時也使本節(jié)課只有承前，沒有啟后，對第2課時一元二次方程根的估值沒有進(jìn)行知識和方法上的鋪墊。兩個教師陣營似乎都有道理，一方也很難說服另一方，筆者認(rèn)為，造成教師意見相左的原因是缺乏一個契合度很高并且有深度的探究活動，將本節(jié)課的數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)揭示出來，從而使學(xué)生對問題的本質(zhì)有一個深入的認(rèn)識和掌握。經(jīng)過苦思冥想，筆者設(shè)計了一個探究活動，第二天在本班進(jìn)行嘗試，并邀請幾位前輩觀摩指導(dǎo)，事后得到他們很高的評價?，F(xiàn)將該探究活動整理成文，供同行分享借鑒，不當(dāng)之處，請批評指正。2 探究活動的設(shè)計(截選)片斷1：對拋物線與x公共點(diǎn)軸個數(shù)的情形討論教師：拋物線ybxc與y軸有幾個公共點(diǎn)？學(xué)生：一個。教師：一定存在嗎？學(xué)生：一定存在。教師：一定是一個嗎？學(xué)生：一定。教師：看來，準(zhǔn)確地說是“有且只有”一個公共點(diǎn)，這個公共點(diǎn)為(0，c)?，F(xiàn)在不考慮y軸，只考慮x軸(PPT中隱去y軸，呈現(xiàn)出x軸)，拋物線與x軸是不是也有且只有一個公共點(diǎn)呢？請大家思考一下，進(jìn)行小組討論，并畫出示意圖。經(jīng)過小組討論、合作交流，最后得出六中情形，如圖1所示。圖1片斷2：類比直線與圓的位置關(guān)系對六種情形進(jìn)行分類教師：很明顯，這六種情形可以分為幾類？學(xué)生：三類。教師：哪三類呢？學(xué)生1：沒有公共點(diǎn)、一個公共點(diǎn)和兩個公共點(diǎn)三類情形。教師：很好。如何給這三類情形分別命名呢？學(xué)生2：沒有公共點(diǎn)是相離，一個公共點(diǎn)是相切，兩個公共點(diǎn)是相交。教師：這位同學(xué)是通過類比直線與圓的位置關(guān)系來命名的，非常棒！片斷3：利用頂點(diǎn)位置和開口方向?qū)θ惽樾芜M(jìn)行分析教師：前面我們學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系的時候，已經(jīng)知道通過公共點(diǎn)的個數(shù)判斷是哪一種情形是不可靠的，因為有時候通過肉眼觀察是不準(zhǔn)確的，于是我們引出了利用數(shù)量關(guān)系來刻畫位置關(guān)系，哪位同學(xué)來復(fù)述一下？學(xué)生3：當(dāng)dr時，直線與圓相離；當(dāng)dr時，直線與圓相切；當(dāng)dr時，直線與圓相交。教師：很好！可是拋物線沒有半徑，更沒有所謂的圓心到x軸的距離啊，怎么辦呢？假設(shè)拋物線開口向上，請大家仔細(xì)觀察下面這個過程(PPT中將拋物線從有兩個公共點(diǎn)的情形上移至沒有公共點(diǎn)，如圖2)，什么時候拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)呢？圖2學(xué)生4：只要拋物線在x軸的上方。教師：如何說明拋物線在x軸上方呢？(見學(xué)生沒有反應(yīng))如何保證我們班的學(xué)生的身高都比小明高？學(xué)生：只要班上最矮的學(xué)生比小明高就可以了。學(xué)生5：只要拋物線的頂點(diǎn)在x軸的上方就可以了。教師：為什么？學(xué)生5：因為拋物線的頂點(diǎn)是它的最低點(diǎn)。教師：非常好！拋物線的頂點(diǎn)在x軸的上方，說明什么？學(xué)生6：它的縱坐標(biāo)大于0。教師：由此，你可以得到什么關(guān)系式？學(xué)生6：0。教師：因為拋物線開口向上，所以a0，從而得到什么呢？學(xué)生：4ac0。教師：好，那開口向下呢？學(xué)生7：0，且a0，也能得到4ac0。教師：由此我們可以得出：當(dāng)拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)時，則4ac0。那么當(dāng)拋物線與x軸有一個公共點(diǎn)、兩個公共點(diǎn)時，你又能得到什么結(jié)論呢？學(xué)生8：當(dāng)拋物線與x軸有一個公共點(diǎn)時，則4ac0。學(xué)生9：當(dāng)拋物線與x軸有兩個公共點(diǎn)時，則4ac0。教師：以上三類情形都出現(xiàn)了4ac，這讓你想起了什么？學(xué)生：一元二次方程。教師：什么樣的一元二次方程？學(xué)生： bxc0。教師：二次函數(shù)ybxc與一元二次方程bxc0有怎樣的關(guān)系？(見學(xué)生沒有反應(yīng)) 從ybxc到bxc0只需要干什么？學(xué)生10：令y0。教師：我們在什么情況下會令一個函數(shù)y0？學(xué)生11：求函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。(以下教學(xué)過程按照教材進(jìn)行)片斷4：對ac異號必有兩個公共點(diǎn)的圖像法分析教師：(一組習(xí)題完成后)這一組例題習(xí)題中的系數(shù)有什么共性？學(xué)生12：ac異號。教師：前面我們學(xué)過，只要ac異號，一元二次方程bxc0必有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，之前我們是通過代數(shù)推理得到這個結(jié)論的，你能用圖像法得到這個結(jié)論嗎？請大家畫出示意圖進(jìn)行說明。學(xué)生13：當(dāng)a0、c0時，拋物線與x軸一定有兩個公共點(diǎn)(如圖3(1)。圖3學(xué)生14：當(dāng)a0、c0時，拋物線與x軸一定有兩個公共點(diǎn)(如圖3(2)。3 兩點(diǎn)心得體會結(jié)合本人的教學(xué)流程和反思以及同仁們的點(diǎn)評，筆者有如下幾點(diǎn)心得體會。3.1 關(guān)于用教材教的問題 前文已提過，本節(jié)課的教材內(nèi)容雖設(shè)置了一些思考活動，但學(xué)生容易想到結(jié)合前面所學(xué)知識，從而快速解決問題，使得本節(jié)課的思考量可謂極少。教材主要是從代數(shù)層面，將本節(jié)內(nèi)容和一次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)問題進(jìn)行類比，借助于數(shù)形結(jié)合思想觀察二次函數(shù)圖像與x軸的位置關(guān)系，從而得到相關(guān)結(jié)論。筆者則從幾何層面，將本節(jié)內(nèi)容和直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行類比，一方面加深了這節(jié)課思考的“厚度”，另一方面也延續(xù)了用數(shù)量關(guān)系刻畫位置關(guān)系這一重要的數(shù)學(xué)思想方法。正如一位前輩所說，“教材作為一種文本，其內(nèi)容的濃縮性和文本簡約性往往以犧牲知識發(fā)生發(fā)展過程、數(shù)學(xué)建模過程和思考過程為代價，教材不可以有太多的閑筆，但教學(xué)不能沒有適當(dāng)?shù)拈e趣”。3.2 關(guān)于探究活動的思考對于探究活動，筆者認(rèn)為應(yīng)把握三個方面：契合度、問題設(shè)置和思想性。探究活動絕不能為了探究而探究，筆者所設(shè)置的探究活動的契合度無疑是非常高的，可謂“直搗黃龍”；類比直線與圓的位置關(guān)系的探究，問題設(shè)置緊扣主題、步步為營、自然順暢，在不同之處、認(rèn)知障礙之處尋求突破，引導(dǎo)學(xué)生換一種數(shù)量關(guān)系來刻畫拋物線與x軸的位置關(guān)系是本節(jié)課的一大亮點(diǎn)；完成探究活動之后，再引出教材開頭的問題，看似迂回曲折，實(shí)則用心良苦，不僅僅是為學(xué)生提供一個新的角度看問題，而是將問題的本質(zhì)揭示出來，以幫助學(xué)生深刻