高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.7.1正切函數(shù)的定義1.7.2正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)教案北師大版.docx

1.7.1 正切函數(shù)的定義1.7.2 正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 本節(jié)課的背景是:這之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì).函數(shù)的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般來(lái)說(shuō),對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究總是先作圖像,通過(guò)觀察圖像獲得對(duì)函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識(shí),然后再?gòu)拇鷶?shù)的角度對(duì)性質(zhì)作出嚴(yán)格表述.對(duì)正切函數(shù),我們也遵循這一原則,先定義正切函數(shù),再利用單位圓找出正切線,然后類比畫(huà)正弦函數(shù)圖像的方式,利用正切線畫(huà)出正切函數(shù)的圖像.通過(guò)圖像來(lái)研究它的主要性質(zhì).這樣處理學(xué)生駕輕就熟,易于理解和掌握. 通過(guò)多媒體教學(xué),讓學(xué)生通過(guò)對(duì)圖像的動(dòng)態(tài)觀察,對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解更加直觀、形象,以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高課堂教學(xué)質(zhì)量.以學(xué)生的實(shí)際情況為教學(xué)出發(fā)點(diǎn),通過(guò)各種數(shù)學(xué)思想的滲透,合理運(yùn)用各種教學(xué)課件,逐步培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成學(xué)會(huì)通過(guò)對(duì)圖像的觀察來(lái)整理相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)的能力,學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力.這樣既加強(qiáng)了類比這一重要數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng),也有利于學(xué)生綜合運(yùn)用能力的提高,有利于學(xué)生把新舊知識(shí)前后聯(lián)系,融會(huì)貫通,提高教學(xué)效果. 由于學(xué)生已經(jīng)有了研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn),這種經(jīng)驗(yàn)完全可以遷移到對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的研究中,因此,我們可以通過(guò)“探究”提出,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)研究正切函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟這種遷移與類比的學(xué)習(xí)方法.三維目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)的研究,注重培養(yǎng)學(xué)生類比思想的養(yǎng)成,以及培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用新舊知識(shí)的能力.學(xué)會(huì)通過(guò)對(duì)圖像的觀察來(lái)整理相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn),學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力.2.在學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ)上,運(yùn)用類比的方法,學(xué)習(xí)正切函數(shù)的圖像與性質(zhì),從而培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力.3.通過(guò)正切函數(shù)圖像的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生欣賞(中心)對(duì)稱美的能力,激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)科學(xué)、努力學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):掌握正切函數(shù)的定義,正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn):正切函數(shù)性質(zhì)的深刻理解及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)入)常見(jiàn)的三角函數(shù)還有正切函數(shù),前面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì),你能否根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn),以同樣的方法研究正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)？由此展開(kāi)新課.思路2.先由圖像開(kāi)始,讓學(xué)生先畫(huà)正切線,然后類比正弦、余弦函數(shù)的幾何作圖法來(lái)畫(huà)出正切函數(shù)的圖像.這也是一種不錯(cuò)的選擇,這是傳統(tǒng)的導(dǎo)入法.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題什么是正切函數(shù)?什么是正切線?我們學(xué)習(xí)了正弦線、余弦線、正切線.你能畫(huà)出四個(gè)象限的正切線嗎？我們知道作周期函數(shù)的圖像一般是先作出長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖像,然后向左、右擴(kuò)展,這樣就可以得到它在整個(gè)定義域上的圖像.那么我們先選哪一個(gè)區(qū)間來(lái)研究正切函數(shù)呢？為什么？我們用“五點(diǎn)法”能簡(jiǎn)捷地畫(huà)出正弦、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖,你能畫(huà)出正切函數(shù)的簡(jiǎn)圖嗎？你能類比“五點(diǎn)法”也用幾個(gè)字總結(jié)出作正切簡(jiǎn)圖的方法嗎？你能類比歸納出正切函數(shù)的主要性質(zhì)嗎?活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生回憶前面對(duì)正弦、余弦函數(shù)的學(xué)習(xí).閱讀課本第33頁(yè),明確正弦函數(shù)的定義.我們前面用正弦線、余弦線畫(huà)出了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像.那么有沒(méi)有線段可以表示正切線呢? 如圖1,在直角坐標(biāo)系中,設(shè)單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)為A(1,0),任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)A(1,0)作x軸的垂線,與角的終邊或終邊的延長(zhǎng)線相交于T點(diǎn).從圖中容易看出:當(dāng)角位于第一和第三象限時(shí),T點(diǎn)位于x軸的上方;當(dāng)角位于第二和第四象限時(shí),T點(diǎn)位于x軸的下方.過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,與x軸交于點(diǎn)M,那么,不論角的終邊在第幾象限,都有AOT與MOP的正切值相等.我們稱線段AT為角的正切線. 問(wèn)題,教師先引導(dǎo)學(xué)生回憶:正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)是從定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性這幾個(gè)方面來(lái)研究的,有了這些知識(shí)準(zhǔn)備,然后根據(jù)作出的正切函數(shù)圖像,類比正弦、余弦函數(shù)探究正切函數(shù)的性質(zhì),教師指導(dǎo)學(xué)生充分利用正切曲線的直觀性. 問(wèn)題,教師引導(dǎo)學(xué)生作出正切線,并觀察它的變化規(guī)律,如圖1.圖1 問(wèn)題,正切函數(shù)圖像選用哪個(gè)區(qū)間作為代表區(qū)間更加自然呢？教師引導(dǎo)學(xué)生在課堂上展開(kāi)充分討論,這也體現(xiàn)了“教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體”的新課改理念.有的學(xué)生可能選取了0,作為正切函數(shù)的周期選取,這正是學(xué)生作圖的真實(shí)性的體現(xiàn).此時(shí),教師應(yīng)調(diào)整計(jì)劃,把課件中先作出-,內(nèi)的圖像,改為先作出0,內(nèi)的圖像,再進(jìn)行圖像的平移,得到整個(gè)定義域內(nèi)函數(shù)的圖像,讓學(xué)生觀察思考.最后由學(xué)生來(lái)判斷究竟選用哪個(gè)區(qū)間段內(nèi)的函數(shù)圖像既簡(jiǎn)單又能完全體現(xiàn)正切函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生通過(guò)分析得到先作區(qū)間(-,)的圖像為好.這時(shí)條件成熟,教師引導(dǎo)學(xué)生來(lái)作正切函數(shù)的圖像,如圖2.圖2 根據(jù)正切函數(shù)的周期性,把圖2向左、右擴(kuò)展,得到正切函數(shù)y=tanx,xR,且x+k(kZ)的圖像,我們稱正切曲線,如圖3.圖3 問(wèn)題,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察正切曲線,點(diǎn)撥學(xué)生討論思考,只需確定哪些點(diǎn)或線就能畫(huà)出函數(shù)y=tanx,x(-,)的簡(jiǎn)圖.學(xué)生可看出有三個(gè)點(diǎn)很關(guān)鍵:(-,-1),(0,0),(,1),還有兩條豎線.因此,畫(huà)正切函數(shù)簡(jiǎn)圖的方法就是:先描三點(diǎn)(-,-1),(0,0),(,1),再畫(huà)兩條平行線x=-,x=,然后連線.教師要讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)一畫(huà),這對(duì)今后解題很有幫助.討論結(jié)果:略.正切線是AT.略.能.“三點(diǎn)兩線”法.性質(zhì)如下:(1)周期性由誘導(dǎo)公式tan(x+)=tanx,xR,x+k,kZ,可知,正切函數(shù)是周期函數(shù),周期是.這里可通過(guò)多媒體課件演示,讓學(xué)生觀察由角的變化引起正切線的變化的周期性,直觀理解正切函數(shù)的周期性,后面的正切函數(shù)圖像作出以后,還可從圖像上觀察正切函數(shù)的這一周期性.(2)奇偶性由誘導(dǎo)公式tan(-x)=-tanx,xR,x+k,kZ,可知,正切函數(shù)是奇函數(shù),所以它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圖像還能發(fā)現(xiàn)對(duì)稱點(diǎn)嗎？與正余弦函數(shù)相對(duì)照,學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)也是中心對(duì)稱函數(shù),它的對(duì)稱中心是(,0),kZ.(3)單調(diào)性 通過(guò)多媒體課件演示,由正切線的變化規(guī)律可以得出,正切函數(shù)在(-,)內(nèi)是增函數(shù),又由正切函數(shù)的周期性可知,正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(-+k,+k),kZ內(nèi)都是增函數(shù).(4)定義域 根據(jù)正切函數(shù)的定義tan=,顯然,當(dāng)角的終邊落在y軸上任意一點(diǎn)時(shí),都有x=0,這時(shí)正切函數(shù)是沒(méi)有意義的；又因?yàn)榻K邊落在y軸上的所有角可表示為k+,kZ,所以正切函數(shù)的定義域是|k+,kZ,而不是+2k,kZ,這個(gè)問(wèn)題不少初學(xué)者很不理解,在解題時(shí)又很容易出錯(cuò),教師應(yīng)提醒學(xué)生注意這點(diǎn),深刻明了其內(nèi)涵本質(zhì).(5)值域 由多媒體課件演示正切線的變化規(guī)律,從正切線知,當(dāng)x大于-且無(wú)限接近-時(shí),正切線AT向Oy軸的負(fù)方向無(wú)限延伸;當(dāng)x小于且無(wú)限接近時(shí),正切線AT向Oy軸的正方向無(wú)限延伸.因此,tanx在(-,)內(nèi)可以取任意實(shí)數(shù),但沒(méi)有最大值、最小值.因此,正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集R.提出問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察正切函數(shù)的圖像特征,由形及數(shù)從正切函數(shù)的圖像討論它的性質(zhì).設(shè)問(wèn):每個(gè)區(qū)間都是增區(qū)間,我們可以說(shuō)正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？請(qǐng)舉一個(gè)例子.活動(dòng):問(wèn)題,從圖中可以看出,正切曲線是被相互平行的直線x=+k,kZ所隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線組成的.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考,這點(diǎn)反映了它的哪一性質(zhì)定義域；并且函數(shù)圖像在每個(gè)區(qū)間都無(wú)限靠近這些直線,我們可以將這些直線稱之為正切函數(shù)的什么線漸近線；從y軸方向看,上下無(wú)限延伸,得到它的哪一性質(zhì)值域?yàn)镽；每隔個(gè)單位,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等,得到它的哪一性質(zhì)周期;在每個(gè)區(qū)間圖像都是上升趨勢(shì),得到它的哪一性質(zhì)單調(diào)性,單調(diào)增區(qū)間是(-+k,+k),kZ,沒(méi)有減區(qū)間.它的圖像是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,得到哪一性質(zhì)是奇函數(shù).通過(guò)圖像我們還能發(fā)現(xiàn)是中心對(duì)稱,對(duì)稱中心是(,0),kZ. 問(wèn)題,正切函數(shù)在每個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù),但我們不可以說(shuō)正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù).如在區(qū)間(0,)上就沒(méi)有單調(diào)性.討論結(jié)果:略.略.應(yīng)用示例1.比較大小.(1)tan138與tan143；(2)tan(-)與tan(-).活動(dòng):利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小,可以先利用誘導(dǎo)公式將已知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角,然后再比較大小.教師可放手讓學(xué)生自己去探究完成,由學(xué)生類比正弦、余弦函數(shù)值的大小比較,學(xué)生不難解決,主要是訓(xùn)練學(xué)生鞏固本節(jié)所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),加強(qiáng)類比思想的運(yùn)用.解:(1)y=tanx在90x180上為增函數(shù),由138143,得tan138tan143.(2)tan(-)=-tan=-tan(3+)=-tan,tan(-)=-tan=-tan(3+)=-tan.又0,而y=tanx在(0,)上是增函數(shù),tantan.-tan-tan,即tan(-)tan(-).點(diǎn)評(píng):不要求學(xué)生強(qiáng)記正切函數(shù)的性質(zhì),只要記住正切函數(shù)的圖像或正切線即可.2.用圖像求函數(shù)y=的定義域.活動(dòng):如圖4,本例的目的是讓學(xué)生熟悉運(yùn)用正切曲線來(lái)解題.不足之處在于本例可以通過(guò)三角函數(shù)線來(lái)解決,教師在引導(dǎo)學(xué)生探究活動(dòng)中,也應(yīng)以兩種方法提出解決方案,但要有側(cè)重點(diǎn),應(yīng)體現(xiàn)函數(shù)圖像應(yīng)用的重要性. 圖4 圖5解:由tanx-0,得tanx,利用圖4知,所求定義域?yàn)閗+,k+)(kZ).點(diǎn)評(píng):先在一個(gè)周期內(nèi)得出x的取值范圍,然后再加周期即可,亦可利用單位圓求解,如圖5.本節(jié)的重點(diǎn)是正切線,但在今后解題時(shí),學(xué)生哪種熟練就用哪種.變式訓(xùn)練 根據(jù)正切函數(shù)的圖像,寫(xiě)出使下列不等式成立的x的集合.(1)1+tanx0;(2)tanx+0.解:(1)tanx-1,xk-,k+),kZ;(2)xk-,k-),kZ.3.求函數(shù)y=tan(x+)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間.活動(dòng):類比正弦、余弦函數(shù),本例應(yīng)用的是換元法,由于在研究正弦、余弦函數(shù)的類似問(wèn)題時(shí)已經(jīng)用過(guò)換元法,所以這里也就不用再介紹換元法,可以直接將x+作為一個(gè)整體.教師可讓學(xué)生自己類比地探究,只是提醒學(xué)生注意定義域.解:函數(shù)的自變量x應(yīng)滿足x+k+,kZ,即x2k+,kZ.所以函數(shù)的定義域是x|x2k+,kZ.由于f(x)=tan(x+)=tan(x+)=tan(x+2)+=f(x+2),因此,函數(shù)的周期為2.由-+kx+k,kZ,解得-+2kx+2k,kZ.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-+2k,+2k),kZ.點(diǎn)評(píng):同y=Asin(x+)(0)的周期性的研究一樣,這里可引導(dǎo)學(xué)生探究y=Atan(x+) (0)的周期T=.變式訓(xùn)練求函數(shù)y=tan(x+)的定義域,值域,單調(diào)區(qū)間,周期性.解:由x+k+,kZ可知,定義域?yàn)閤|xR且xk+,kZ.值域?yàn)镽.由x+(k-,k+),kZ可得,在x(k-,k+)上是增函數(shù).周期是,也可看作由y=tanx的圖像向左平移個(gè)單位得到,其周期仍然是.4.把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的順序排列,并說(shuō)明理由.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)y=tanx的單調(diào)性探究解題方法.也可利用單位圓中的正切線探究解題方法.但要提醒學(xué)生注意本節(jié)中活動(dòng)的結(jié)論:正切函數(shù)在定義域內(nèi)的每個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù),但我們不可以說(shuō)正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù).學(xué)生可能的錯(cuò)解有: 錯(cuò)解1:函數(shù)y=tanx是增函數(shù),又1234,tan1tan2tan3tan4. 錯(cuò)解2:2和3的終邊在第二象限,tan2,tan3都是負(fù)數(shù).1和4的終邊分別在第一和第三象限,tan1,tan4都是正數(shù).又函數(shù)y=tanx是增函數(shù),且23,14,tan2tan3tan1tan4. 教師可放手讓學(xué)生自己探究問(wèn)題的解法.發(fā)現(xiàn)錯(cuò)解后不要直接糾正,立即給出正確解法,可再讓學(xué)生討論分析找出錯(cuò)的原因.圖6解法一:函數(shù)y=tanx在區(qū)間(,)上是單調(diào)遞增函數(shù),且tan1=tan(+1),又234+1,tan2tan3tan4tan1.解法二:如圖6,1,2,3,4的正切函數(shù)線分別是AT1,AT2,AT3,AT4,tan2tan3tan4tan1.點(diǎn)評(píng):本例重在讓學(xué)生澄清正切函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題,這屬于學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn).把正切函數(shù)y=tanx的單調(diào)性簡(jiǎn)單地說(shuō)成“在定義域內(nèi)是增函數(shù)”是不對(duì)的.知能訓(xùn)練課本本節(jié)習(xí)題16 A組1-5.課堂小結(jié)1.先由學(xué)生回顧本節(jié)都學(xué)到了哪些知識(shí)方法,有哪些啟發(fā)、收獲.本節(jié)課我們是在研究完正、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)之后,研究的又一個(gè)具體的三角函數(shù),與研究正弦、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)有什么不同?研究正、余弦函數(shù),是由圖像得性質(zhì),而這節(jié)課我們從正切函數(shù)的定義出發(fā)得出一些性質(zhì),并在此基礎(chǔ)上得到圖像,最后用圖像又驗(yàn)證了函數(shù)的性質(zhì).2.(教師點(diǎn)撥)本節(jié)研究的過(guò)程是由數(shù)及形,又由形及數(shù)相結(jié)合,也是我們研究函數(shù)的基本方法,特別是運(yùn)用了類比的方法、數(shù)形結(jié)合的方法、化歸的方法.請(qǐng)同學(xué)們課后思考總結(jié):這種多角度觀察、探究問(wèn)題的方法對(duì)我們今后學(xué)習(xí)有什么指導(dǎo)意義？作業(yè)課本習(xí)題16 A組6.設(shè)計(jì)感想1.本教案的設(shè)計(jì)背景是剛剛學(xué)完的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì).因此教案的設(shè)計(jì)主線是始終抓住類比思想這條主線,讓學(xué)生在鞏固原有知識(shí)的基礎(chǔ)上,通過(guò)類比,由學(xué)生自己來(lái)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行分析、探究、猜想、證明,使新舊知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地結(jié)合在一起,學(xué)生對(duì)新知識(shí)也較易接受.2.本教案設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)程序是:溫故(相關(guān)知識(shí)準(zhǔn)備)新的學(xué)習(xí)對(duì)象與舊知識(shí)的聯(lián)系類比探究解決問(wèn)題應(yīng)用成果歸納總結(jié)進(jìn)一步地發(fā)散思考探索提高.備課資料函數(shù)f(x)g(x)最小正周期的求法若f(x)和g(x)是三角函數(shù),求f