解三角形常見(jiàn)題型.doc

解三角形常見(jiàn)題型正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類型的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系。題型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個(gè)元素問(wèn)題，進(jìn)而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長(zhǎng)等基本問(wèn)題1. 在中，AB=3，AC=2，BC=，則 ( )A B C D【答案】D 2（1）在中，已知，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精確到，邊長(zhǎng)精確到1cm）。3（1）在ABC中，已知，求b及A；（2）在ABC中，已知，解三角形4(2005年全國(guó)高考江蘇卷) 中，BC3，則的周長(zhǎng)為（ ）A BC D分析：由正弦定理，求出b及c，或整體求出bc，則周長(zhǎng)為3bc而得到結(jié)果選(D)5 （2005年全國(guó)高考湖北卷) 在ABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA的值分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA解：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接DE，則DE/AB，且，設(shè)BEx在BDE中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故BC=2，從而，即又，故，在ABC中，已知a2，b，C15，求A。答案：題型之二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀1. (2005年北京春季高考題)在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法1：由sin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，得sin(AB)0，得AB故選(B)解法2：由題意，得cosB，再由余弦定理，得cosB ，即a2b2，得ab，故選(B)評(píng)注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)2在ABC中，若2cosBsinAsinC，則ABC的形狀一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB3.在ABC中，若，試判斷ABC的形狀。答案：故ABC為等腰三角形或直角三角形。4. 在ABC中，判斷ABC的形狀。答案：ABC為等腰三角形或直角三角形。題型之三：解決與面積有關(guān)問(wèn)題主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來(lái)解題1. (2005年全國(guó)高考上海卷) 在中，若，則的面積S_2在中，求的值和的面積。答案：3. （07浙江理18）已知的周長(zhǎng)為，且（I）求邊的長(zhǎng)；（II）若的面積為，求角的度數(shù)解：（I）由題意及正弦定理，得，兩式相減，得（II）由的面積，得，由余弦定理，得，所以題型之四：三角形中求值問(wèn)題1. (2005年全國(guó)高考天津卷) 在中，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，設(shè)滿足條件和，求和的值分析：本題給出一些條件式的求值問(wèn)題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理解：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180AB=120B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理解得從而2的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；當(dāng)sin = ，即A=時(shí), cosA+2cos取得最大值為。3在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知，（1）求的值；（2）若，求的值。解析：（1）因?yàn)殇J角ABC中，ABCp，所以cosA，則（2），則bc3。將a2，cosA，c代入余弦定理：中，得解得b。點(diǎn)評(píng)：知道三角形邊外的元素如中線長(zhǎng)、面積、周長(zhǎng)等時(shí)，靈活逆用公式求得結(jié)果即可。4在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知，（）若的面積等于，求；（）若，求的面積本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合應(yīng)用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的能力滿分12分解：（）由余弦定理及已知條件得，又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得4分聯(lián)立方程組解得，6分（）由題意得，即，8分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，所以的面積12分題型之五：正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下：圖1ABCD（一.）測(cè)量問(wèn)題1. 如圖1所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的寬度。分析：求河的寬度，就是求ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測(cè)出AB長(zhǎng)、CAB、CBA，這個(gè)三角形可確定。解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m。點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡(jiǎn)單，但是意義重大，屬于“不過(guò)河求河寬問(wèn)題”。（二.）遇險(xiǎn)問(wèn)題2 某艦艇測(cè)得燈塔在它的東15北的方向，此艦艇以30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測(cè)得燈塔在它的東30北。若此燈塔周?chē)?0海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)此艦艇繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？西北南東ABC3015圖2解析：如圖艦艇在A點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔S在東15北的方向上；艦艇航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得S在東30北的方向上。 在ABC中，可知AB=300.5=15，ABS=150，ASB=15，由正弦定理得BS=AB=15，過(guò)點(diǎn)S作SC直線AB，垂足為C，則SC=15sin30=7.5。這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周?chē)?0海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)。點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問(wèn)題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)；（2）畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追擊問(wèn)題圖3ABC北45153 如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？ 解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設(shè)ABC=，BAC=。=1804515=120。根據(jù)余弦定理，（4t3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）AC=28=21 n mile，BC=20=15 n mile。根據(jù)正弦定理，得，又=120，為銳角，=arcsin，又，arcsin，甲船沿南偏東arcsin的方向用h可以追上乙船。點(diǎn)評(píng)：航海問(wèn)題常涉及到解三角形的知識(shí)，本題中的 ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時(shí)間t有關(guān)。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t的值。4如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西