華南理工大學版微積分下課件32.doc

第二節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的收斂性質(zhì)及其判別法一、 正項級數(shù)及其審斂法設是正項級數(shù)的部分和數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列，如果是有界的則一定存在極限（單調(diào)有界準則）定理1：正項級數(shù)收斂的充分必要條件是其部分和數(shù)列有界。定理2：（比較判別法）設級數(shù)和都是正項級數(shù)，且，若級數(shù)收斂級數(shù)也收斂；若級數(shù)發(fā)散級數(shù)也發(fā)散。證明：設收斂于，是正項級數(shù)的部分和數(shù)列，則有 由定理1可得所需結(jié)論。推論1：設和都是正項級數(shù)，如果級數(shù)收斂，且存在自然數(shù)，當時有則級數(shù)收斂；如果級數(shù)發(fā)散，且存在自然數(shù)，當時有則級數(shù)發(fā)散；例5：討論級數(shù)的斂散性（）解：設，則由比較判別法，級數(shù)與級數(shù)同斂散。我們考慮級數(shù)，其部分和當時，級數(shù)收斂；當時，不存在，級數(shù)發(fā)散。例6：證明收斂。解：因為，而級數(shù)收斂，由比較判別法級數(shù)收斂。定理3：（比較判別法極限形式）設和都是正項級數(shù)，如果則級數(shù)和同時收斂或同時發(fā)散。證明：由極限定義，取，存在自然數(shù)，當時有由推論1可的所需結(jié)論。例7：判別級數(shù)的斂散性。解：因為，級數(shù)發(fā)散所以級數(shù)發(fā)散。例8：判別級數(shù)的斂散性。解：因為，級數(shù)收斂所以級數(shù)收斂。定理4：（比值判別法）若正項級數(shù)的后一項與前一項之比值的極限等于，即1）當時級數(shù)收斂； 2）當時級數(shù)發(fā)散； 3）當時不能確定。證明：1）如果，由極限的定義，取適當使得（無妨設），存在自然數(shù)，當時有由比較判別法得收斂。1） 如果，自己證明。3）由調(diào)和級數(shù)與例8說明。例9：判別級數(shù)的斂散性解：因為級數(shù)發(fā)散。例10：證明級數(shù)是收斂的。解：因為級數(shù)收斂。例11：判別級數(shù)的斂散性解：因為級數(shù)收斂。定理5：（根式判別法）設是正項級數(shù)，如果，則1）當時級數(shù)收斂； 2）當時級數(shù)發(fā)散；3）當時不能確定。證明：1）如果，取適當使得（無妨設），存在自然數(shù)，當時有由比較判別法得收斂。例12：判別級數(shù)的斂散性。解： 因為有根式判別法級數(shù)收斂。二、交錯級數(shù)及其審斂法級數(shù)中如果含有無限項正項和無限項負項，則稱為任意項級數(shù)。各項正負交錯的級數(shù)，叫交錯級數(shù)。如是正項級數(shù)，則級數(shù)是交錯級數(shù)。定理6：如果交錯級數(shù)滿足條件1） 2）則級數(shù)收斂，且其和，其余項的絕對值證明：由單調(diào)有界準則：，又因為，所以 三、 絕對收斂和條件收斂定理7：如果級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂。證明：設，但注：逆定理不成立。如定義：對于一般的級數(shù)如果級數(shù)收斂則稱級數(shù)絕對收斂；如果級數(shù)發(fā)散而級數(shù)收斂，則稱級數(shù)條件收斂。例12：判別級數(shù)的斂散性。（絕對收斂）解： 先考慮級數(shù)的斂散性，因為級數(shù)收斂，由比較判別法收斂原級數(shù)絕對收斂。例13：判別級數(shù)的斂散性。（發(fā)