橢圓的定義及幾何性質(zhì).docx

橢 圓【教學目標】（1）掌握橢圓的定義 （2）掌握橢圓的幾何性質(zhì) （3）掌握求橢圓的標準方程【教學重難點】（1）橢圓的離心率有關(guān)的問題 （2）橢圓焦點三角形面積的求法【教學過程】一、知識點梳理知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)()，這個動點的軌跡叫橢圓。這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距。注意：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形。知識點二：橢圓的標準方程1當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；2當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；注意：1只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；2在橢圓的兩種標準方程中，都有和；3橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，。知識點三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的的簡單幾何性質(zhì)（1）對稱性對于橢圓標準方程，把x換成x，或把y換成y，或把x、y同時換成x、y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。講練結(jié)合：（2）范圍橢圓上所有的點都位于直線x=a和y=b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足|x|a，|y|b。（3）頂點橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢圓（ab0）與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）。線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作。因為ac0，所以e的取值范圍是0e1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1），；（2），；（3）,，；知識點四：橢圓與（ab0）的區(qū)別和聯(lián)系標準方程圖形性質(zhì)焦點，焦距范圍，對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點，軸長軸長=，短軸長= 離心率準線方程焦半徑，注意：橢圓，（ab0）的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有ab0和，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同。二、考點分析考點一：橢圓的定義【例1】方程化簡的結(jié)果是 。【例2】已知F1(-8，0)，F(xiàn)2(8，0)，動點P滿足|PF1|+|PF2|=16，則點P的軌跡為（ ）A 圓 B 橢圓 C線段 D 直線【變式訓練】已知橢圓=1上的一點P到橢圓一個焦點的距離為3,則P到另一焦點距離為 ?？键c二：求橢圓的標準方程【例3】若橢圓經(jīng)過點(5，1)，(3，2)則該橢圓的標準方程為 。【例4】的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡【例5】求以橢圓的焦點為焦點，且經(jīng)過點的橢圓的標準方程【變式訓練】1、焦點在坐標軸上，且，的橢圓的標準方程為 。2、焦點在軸上，橢圓的標準方程為 。3、已知三點P（5，2）、（6，0）、（6，0），求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程；4、已知點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程考點三：利用標準方程確定參數(shù)【例6】若方程+=1（1）表示圓，則實數(shù)k的取值是 .（2）表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是 .（3）表示焦點在y型上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是 .（4）表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是 .【例7】橢圓的長軸長等于 ，短軸長等于 , 頂點坐標是 ,焦點的坐標是 ,焦距是 ，離心率等于 ?！咀兪接柧殹?、橢圓的焦距為，則= 。2、橢圓的一個焦點是，那么 ?？键c四：離心率的有關(guān)問題一、求離心率1、用定義（求出a,c或找到c/a）求離心率（1）已知橢圓:的兩個焦點分別為,且橢圓經(jīng)過點.則橢圓的離心率 。（2）設(shè)是橢圓的左、右焦點，為直線上一點， 是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ） （3）橢圓（ab0）的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2。若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_.（4）在給定的橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線距離為1，則該橢圓的離心率為 。2、根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造a、c的齊次式方程，解出e。（1）若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（ ）A. B. C. D. （2）在平面直角坐標系中,橢圓的標準方程為,右焦點為,右準線為,短軸的一個端點為,設(shè)原點到直線的距離為,到的距離為,若,則橢圓的離心率為_.（3）設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1.F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若三角形F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為 。二）、求離心率的范圍（關(guān)鍵是建立離心率相關(guān)不等式）1、直接根據(jù)題意建立不等關(guān)系求解. （1）橢圓的焦點為，兩條準線與軸的交點分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是 。（2）已知為橢圓的焦點，為橢圓短軸上的端點，求橢圓離心率的取值范圍 。2、借助平面幾何關(guān)系（或圓錐曲線之間的數(shù)形結(jié)合）建立不等關(guān)系求解設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點，若在其右準線上存在使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是 。3、利用圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)建立不等關(guān)系求解.（焦半徑或橫縱坐標范圍建立不等式）（1）橢圓（a0,b0）的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,則橢圓離心率的取值范圍為 。（2）已知橢圓右頂為A,點P在橢圓上，O為坐標原點，且OP垂直于PA，求橢圓的離心率e的取值范圍 。（3）橢圓和圓（其中為橢圓半焦距）有四個不同的交點，求橢圓的離心率的取值范圍 ?？键c五：橢圓焦點三角形面積公式的應用【例14】已知橢圓方程，長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積【變式訓練】1、若P是橢圓上的一點，、是其焦點，且，求的面積.2、已知P是橢圓上的點，、分別是橢圓的左、右焦點，若，則的面積為（ ）A. B. C. D. 課后作業(yè)：一、選擇題1已知F1(-8，0)，F(xiàn)2(8，0)，動點P滿足|PF1|+|PF2|=25，則點P的軌跡為( )A 圓 B 橢圓 C線段 D 直線3已知方程表示橢圓，則k的取值范圍是( ) A -1k0 C k0 D k1或k0)有（ ） (A)相等的焦距 (B)相同的離心率 (C)相同的準線 (D)以上都不對18、橢圓與（0k9）的關(guān)系為（ ） (A)相等的焦距 (B)相同的的焦點 (C)相同的準線 (D)有相等的長軸、短軸二、填空題2、橢圓左右焦點為F1、F2，CD為過F1的弦，則CDF1的周長為_4、求滿足以下條件的橢圓的標準方程 (1)長軸長為10，短軸長為6 (2)長軸是短軸的2倍，且過點(2，1) (3) 經(jīng)過點(5，1)，(3，2) 5、若ABC頂點B、C坐標分別為(-4，0)，(4，0)，AC、AB邊上的中線長之和為30，則ABC的重心G的軌跡方程為_6.橢圓的左右焦點分別是F1、F2，過點F1作x軸的垂線交橢圓于P點。若F1PF2=60，則橢圓的離心率為_ _7、已知正方形ABCD，則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的的離心率為_ _橢圓方程為 _.8已知橢圓的方程為，P點是橢圓上的點且,求的面積 9.若橢圓的短軸為AB，它的一個焦點為F1，則滿足ABF1為等邊三角形的橢圓的離心率為 10.橢圓上的點P到它的左焦點的距離是12，那么點P到它的右焦點的距離是 11已知橢圓的兩個焦點為、，且，弦AB過點，則的周長 。13、中心在原點、長軸是短軸的兩倍,一條準線方程為,那么這個橢圓的方程為 。14、橢圓的兩個焦點三等分它的兩準線間的距離,則橢圓的離