391147一元二次方程的解法（三）--公式法因式分解法—知識講解（基礎(chǔ)）

宇軒在線資源中心 一元二次方程的解法（三）-公式法，因式分解法知識講解（基礎(chǔ)）責(zé)編:康紅梅 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，能熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程；2. 正確理解因式分解法的實(shí)質(zhì)，熟練運(yùn)用因式分解法解一元二次方程；3. 通過求根公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性及嚴(yán)謹(jǐn)性，滲透分類的思想【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.2.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式： 當(dāng)時(shí)，原方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根.3.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟： 把一元二次方程化為一般形式； 確定a、b、c的值（要注意符號）； 求出的值； 若，則利用公式求出原方程的解； 若，則原方程無實(shí)根.要點(diǎn)詮釋：（1）雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡單的，一定要注意方法的選擇.（2）一元二次方程，用配方法將其變形為：. 當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)因此，方程有兩個不相等的實(shí)根：. 當(dāng)時(shí)，右端是零因此，方程有兩個相等的實(shí)根：. 當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)因此，方程沒有實(shí)根.要點(diǎn)二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步驟（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積；（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點(diǎn)詮釋： （1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次 因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：必須將方程的右邊化為0；方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.【典型例題】類型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程(1) x2+3x+1=0； (2)； (3) 2x2+3x-1=0【答案與解析】 (1) a=1，b=3，c=1x=x1=，x2=(2)原方程化為一般形式，得，即， (3) a=2，b=3，c=1b24ac=170x=x1=，x2=【總結(jié)升華】用公式法解一元二次方程的關(guān)鍵是對a、b、c的確定用這種方法解一元二次方程的步驟是：(1)把方程化為一元二次方程的一般形式；(2)確定a，b，c的值并計(jì)算的值；(3)若是非負(fù)數(shù)，用公式法求解舉一反三：【變式】用公式法解方程：（2014武漢模擬）x23x2=0【答案】解：a=1，b=3，c=2；b24ac=（3）241（2）=9+8=17；x=，x1=，x2=2用公式法解下列方程：(1) （2014武漢模擬）2x2+x=2； (2) （2014秋開縣期末）3x26x2=0 ； （3）（2015黃陂區(qū)校級模擬）x23x7=0【思路點(diǎn)撥】針對具體的試題具體分析，不是一般式的先化成一般式，再寫出a,b,c的值，代入求值即可.【答案與解析】 解：(1)2x2+x2=0，a=2，b=1，c=2，x=，x1=，x2=(2) a=3，b=6，c=2，b24ac=36+24=600，x=，x1=，x2= （3）a=1，b=3，b=7b24ac=9+28=37.x= = ，解得 x1=，x2=【總結(jié)升華】首先把每個方程化成一般形式，確定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根舉一反三：【變式】用公式法解下列方程： ；【答案】解：移項(xiàng)，得 ， ， ，類型二、因式分解法解一元二次方程3（2016沈陽）一元二次方程x24x=12的根是（）Ax1=2，x2=6Bx1=2，x2=6Cx1=2，x2=6Dx1=2，x2=6【思路點(diǎn)撥】方程整理后，利用因式分解法求出解即可【答案】B【解析】 解：方程整理得：x24x12=0，分解因式得：（x+2）（x6）=0，解得：x1=2，x2=6，故選B【總結(jié)升華】此題考查了解一元二次方程因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵4解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+40； (2)【答案與解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+40，(2x+1+2)20 即， (2) 移項(xiàng)，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)0，即(x-1)(x+2)0，所以，【總結(jié)升華】解一元二次方程時(shí)，一定要先從整體上分析，選擇適當(dāng)?shù)慕夥ㄈ?(1)可以用完全平方公式用含未知數(shù)的整式去除方程兩邊時(shí)，很可能導(dǎo)致方程丟根，（2）容易丟掉x1這個根舉一反三：【變式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0 (x+6)(x+5)=0 X1=-6,x2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0 (2x+1)(3x-2)=0 .5探究下表中的奧秘，并完成填空： 一元二次方程 兩個根二次三項(xiàng)式因式分解 x22x+1=0 x1=1，x2=1 x22x+1=（x1）（x1） x23x+2=0 x1=1，x2=2 x23x+2=（x1）（x2） 3x2+x2=0 x1=，x2=13x2+x2=3（x）（x+1） 2x2+5x+2=0 x1=，x2=2 2x2+5x+2=2（x+）（x+2） 4x2+13x+3=0 x1=，x2= 4x2+13x+3=4（x+）（x+）將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一般化，并寫出來【思路點(diǎn)撥】利用因式分解法，分別求出表中方程的解，總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論【答案與解析】填空：，3