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第一課時(shí) 3 4基本不等式 問(wèn)題提出 1 不等式有許多基本性質(zhì) 同時(shí)還有一些顯而易見(jiàn)的結(jié)論 如a2 0 a 0 a a等 這些性質(zhì)都是研究不等式問(wèn)題的理論依據(jù) 在實(shí)際應(yīng)用中 我們還需要有相應(yīng)的不等式原理 2 如圖是在北京召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo) 它是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的 顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē) 代表中國(guó)人民熱情好客 在這個(gè)圖案中既有一些相等關(guān)系 也有一些不等關(guān)系 對(duì)這些等與不等的關(guān)系 我們作些相應(yīng)研究 基本不等式原理及其變通 探究 一 基本不等式的原理 a b 思考2 圖中正方形abcd的面積與4個(gè)直角三角形的面積之和有什么不等關(guān)系 由此可得到一個(gè)什么不等式 a2 b2 2ab 思考3 從圖形分析 上述不等式在什么情況下取等號(hào) 當(dāng)直角三角形為等腰直角三角形 即a b時(shí) a2 b2 2ab 思考4 在上面的圖形背景中 a b都是正數(shù) 那么當(dāng)a b r時(shí) 不等式a2 b2 2ab成立嗎 為什么 一般地 對(duì)于任意實(shí)數(shù)a b 有 a2 b2 2ab 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)等號(hào)成立 思考5 特別地 如果a 0 b 0 我們用 分別代替a b 可得什么不等式 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)等號(hào)成立 思考6 不等式稱(chēng)為基本不等式 它溝通了兩個(gè)正數(shù)的和與積的不等關(guān)系 在實(shí)際問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用 你能用分析法證明嗎 思考7 我們稱(chēng)和分別為a b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù) 如何用文字語(yǔ)言表述基本不等式 兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 思考8 如圖 在直角三角形abc中 cd為斜邊上的高 co為斜邊上中線(xiàn) 你能利用這個(gè)圖形對(duì)基本不等式作出幾何解釋嗎 探究 二 基本不等式的變通 思考1 將基本不等式兩邊平方可得什么結(jié)論 它與不等式a2 b2 2ab有什么內(nèi)在聯(lián)系 思考2 在不等式a2 b2 2ab兩邊同加上a2 b2可得什么結(jié)論 所得不等式有什么特色 它反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和與它們的和的平方的不等關(guān)系 稱(chēng)為平方平均不等式 其數(shù)學(xué)意義是 兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的算術(shù)平均數(shù)的平方 思考3 將不等式兩邊同乘以 可變通出一些什么結(jié)論 理論遷移 例1已知x y都是正數(shù) 求證 x y x2 y2 x3 y3 x3y3 例2已知a2 b2 c2 1 求證 a b c 3 3 小結(jié)作業(yè) 2 基本不等式有多種形式 應(yīng)用時(shí)具有很大的靈活性 既可直接應(yīng)用也可變式應(yīng)用 一般地 遇到和與積 平方和與積 平方和與和的平方等不等式問(wèn)題時(shí) 常利用基本不等式處理 1 不等式a2 b2 2ab與都是基本不等式 它們成立的條件不同 前者a b可為任意實(shí)數(shù) 后者要求
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