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江蘇省省級重點課題“構(gòu)建小學數(shù)學課程教材體系的研究”子課題“小學數(shù)學教材如何更好發(fā)揮傳承數(shù)學文化的功能”結(jié)題報告課題組一、課題的提出半個多世紀以前，著名數(shù)學家柯朗（R.Courant）在名著數(shù)學是什么的序言中這樣寫道：“今天，數(shù)學教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴重的危機。數(shù)學教學有時竟變成一種空洞的解題訓練。數(shù)學研究已出現(xiàn)一種過分專門化和過于強調(diào)抽象的趨勢，而忽視了數(shù)學的應用以及與其他領域的聯(lián)系。于是，西方的數(shù)學界有“經(jīng)驗主義的復興”。懷特（L.A.White）的數(shù)學文化論力圖把數(shù)學回歸到文化層面?？巳R因（M.Kline）的古今數(shù)學思想、西方文化中的數(shù)學、數(shù)學：確定性的喪失相繼問世，力圖營造數(shù)學文化的人文色彩。國內(nèi)最早注意數(shù)學文化的學者是北京大學的教授孫小禮，她和鄧東皋等合編的數(shù)學與文化，匯集了一些數(shù)學名家的有關論述，也記錄了從自然辯證法研究的角度對數(shù)學文化的思考。稍后出版的有齊民友的數(shù)學與文化，主要從非歐幾何產(chǎn)生的歷史闡述數(shù)學的文化價值，特別指出了數(shù)學思維的文化意義。鄭毓信等出版的專著數(shù)學文化學，特點是用社會建構(gòu)主義的哲學觀，強調(diào)“數(shù)學共同體”產(chǎn)生的文化效應。進入21世紀之后，數(shù)學文化的研究更加深入，伴隨著新課程的改革發(fā)展，“數(shù)學文化”作為教材的一個組成部分出現(xiàn)在我們面前，面對新課改的理念和國標本小學數(shù)學蘇教版教材，我們在思考：小學數(shù)學教材如何更好發(fā)揮傳承數(shù)學文化的功能呢？如何讓數(shù)學文化走進小學課堂，滲入實際數(shù)學教學？如何使學生在學習數(shù)學過程中真正受到文化感染、產(chǎn)生文化共鳴、體會數(shù)學的文化品位、體察社會文化和數(shù)學文化之間的互動？我們進行了有效的研究。二、課題的界定1關于“數(shù)學文化”“文化”一詞，一般有狹義和廣義的兩種解釋。狹義的“文化”，僅指知識。說一個人有文化，就是說他有知識。廣義的“文化”，則泛指人類的物質(zhì)財富和精神財富的積淀，是一種上層建筑，有相對的穩(wěn)定性。數(shù)學文化中的“文化”，用的是“文化”的廣義的解釋。什么是“數(shù)學文化”，僅據(jù)筆者的理解，目前關于“數(shù)學文化”一詞，也有狹義和廣義的兩種解釋。狹義的解釋，是指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展；廣義的解釋，則是除這些以外，還包含數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育、數(shù)學與人文的交叉、數(shù)學與各種文化的關系。數(shù)學名師張齊華老師說過，數(shù)學文化不是簡單意義上的“數(shù)學+文化”，在關注數(shù)學歷史性和數(shù)學美的同時，我們更應該對數(shù)學文化有一種更為家常的樸素理解：文化者，以文化人也。數(shù)學真正的文化要義在于，它可以最大限度地張揚數(shù)學思考的魅力，并改變一個人思考的方式、方法、視角。著名特級教師張興華老師站在更高的層次對數(shù)學文化進行了一個詮釋，他說：課標指出數(shù)學課程強調(diào)讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學模型并進行解釋與運用的過程，所以數(shù)學文化，應該是教會學生用數(shù)學的眼睛去認識世界。不能停留在對于數(shù)學文化的反映和欣賞上，對于數(shù)學文化的應用、作用和發(fā)展，才是數(shù)學文化的本質(zhì)，才能真正促進學生的可持續(xù)發(fā)展。日本著名數(shù)學教育家米山國藏在數(shù)學的精神、思想和方法中指出：數(shù)學應該不僅指數(shù)學知識，而尤其是數(shù)學的精神、思想、方法。學生在學校所接受的數(shù)學知識，因畢業(yè)進入社會后幾乎沒有什么機會應用這種作為知識的數(shù)學，所以，通常是出校門后不到一年便很快就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學精神、數(shù)學思維方法都隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終身。數(shù)學的精神、思想方法對人的發(fā)展起著舉足輕重的影響。2、關于“國標本小學數(shù)學教材”“國標本小學數(shù)學教材”是遵循全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）精神編寫的，已在全國多個實驗區(qū)實施了六、七年。它的顯著特點是在注重數(shù)學知識傳授的同時重視數(shù)學本身所蘊涵的鮮活的文化背景，浸潤在數(shù)學發(fā)展演變過程中的人類不斷探索、不斷發(fā)現(xiàn)的精神本質(zhì)以及數(shù)學與生活千絲萬縷的聯(lián)系?！皵?shù)學文化”滲透在教材的組成部分中，充分體現(xiàn)學生的主體地位、重視學生的個性和諧發(fā)展，它充分體現(xiàn)了課程改革的新理念。 “小學數(shù)學教材如何更好發(fā)揮傳承數(shù)學文化的功能”是指通過對國標本蘇教版教材與傳統(tǒng)教材的教學內(nèi)容的比較，以及在使用國標本蘇教版教材的過程中通過制定科學的目標，創(chuàng)造性使用教材，合理組織教學活動來傳承數(shù)學文化，揭示“小學數(shù)學教材如何更好發(fā)揮傳承數(shù)學文化的功能”。三、課題研究的理論支撐1、終生教育理論從終生教育的理念來看，學生學習的過程是獲取知識的過程，更是獲取學習方法的過程。人需要終生學習，在信息爆炸的時代，我們更多地是要掌握學習的方法，這就需要我們從小培養(yǎng)必備的數(shù)學素養(yǎng)。2、課標的基本理念數(shù)學課程標準在開篇的“基本理念”部分，對數(shù)學學科性質(zhì)作了這樣定性：“數(shù)學是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分?！辈⒃凇罢n程實施建議”中又作了詳細的闡述，提出了具體要求。這就意味著數(shù)學教學過程，也是傳播“數(shù)學文化”的過程。數(shù)學學科教學只有放在“數(shù)學文化”這樣一個大背景中進行，才會煥發(fā)出旺盛的生命活力。3、建構(gòu)主義學習理論建構(gòu)主義學習理論指出：學生學習的過程不是被動地接收信息刺激，是主動建構(gòu)知識的過程，是根據(jù)學生個體的學習基礎和經(jīng)驗背景，主動地選擇外部的信息，從而獲取個體所需知識的過程，同時學生的知識獲得需要在一定的學習情境下依托必需的學習材料和外界的幫助。4、人的全面發(fā)展的觀念教育的根本目的在于促進學生的發(fā)展，發(fā)展的著力點應該是學生基本數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，比如數(shù)學意識的提升、學習情感的升華、數(shù)學思考習慣的養(yǎng)成等等。正如大數(shù)學家克萊茵所說：“數(shù)學是人類最高的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作。音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學能給予以上的一切?！?、多元智力理論多元智力理論認為，智力是一種能力或一組能力，這種能力或這組能力可以使個體順利地解決有關問題或在特定的文化背景中創(chuàng)造時尚產(chǎn)品。多元智力包括這樣七種智力：音樂智力、身體運動智力、邏輯數(shù)學智力、語言智力、空間智力、人際智力和個人內(nèi)省智力。除此以外，加德納認為可能還存在其他的智力，如靈感、直覺、幽默感、創(chuàng)造力、烹調(diào)能力、嗅覺，以及綜合其他智力的能力等。四、課題研究成果（一）理解國標本教材，挖掘了數(shù)學文化內(nèi)容1、轉(zhuǎn)變觀念，探索數(shù)學文化內(nèi)涵 我們?yōu)槭裁唇绦W數(shù)學？是為了讓學生學會一些書本上的知識？毫無疑問，這不是答案，我們不僅應該為提高學生的基本素養(yǎng)而教，而且還要為培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力而教，為促進學生的終身發(fā)展而教。目前，培養(yǎng)小學生的創(chuàng)新思維、創(chuàng)新意識和實踐能力是一個迫切的任務。以計算技能和解決常規(guī)問題為重點的小學數(shù)學教育已經(jīng)不能滿足時代發(fā)展的需要了，小學數(shù)學教育的目標應該培養(yǎng)學生高層次的數(shù)學思考能力、創(chuàng)新精神和解決實際問題的能力。所以我們一定要改變把數(shù)學學習與做練習等同的觀念，把學生的數(shù)學學習從做習題中解放出來，讓學生具有實踐活動的機會，有運用數(shù)學知識解決現(xiàn)實生活問題并處理由其他學科提出問題的機會，有對數(shù)學內(nèi)部的規(guī)律和原理進行探索研究的機會。為了轉(zhuǎn)變教師的觀念，課題學校積極開展了形式多樣的理論學習活動，組織大家學習數(shù)學文化、數(shù)學教育哲學、數(shù)學游戲新編、數(shù)學教育的理論 問題策略等書籍，推薦好書給成員，提倡集中學習與個人自選、文本閱讀與在線研討相結(jié)合的學習方式，積極匯編有關學習資源為課題組學習。例如，平望實驗區(qū)于2005年11月圍繞“數(shù)學文化”專題開展了讀書沙龍與讀書報告會。讀書給了我們啟示：數(shù)學文化，在一般人的思維中，想到的是數(shù)學歷史、數(shù)學故事、數(shù)學趣事、數(shù)學幽默與數(shù)學美學等。其實，它有三個層面：第一個層面就是基礎知識，第二個層面就是思想方法，第三個層面就是文化價值。數(shù)學文化的根本特征是它表達了一種探索精神。它的核心意義在于數(shù)學的觀念、意識和思維方式。但我們很難用一句話把數(shù)學的內(nèi)涵概括全面，這可能就是數(shù)學異于其他科學而作為文化的最主要的特點。當我們認為數(shù)學本身就是一種文化的時候那便可以說數(shù)學文化，數(shù)學文化就是被推廣的數(shù)學思維習慣和方式。包括用數(shù)學的觀點觀察現(xiàn)實，構(gòu)造數(shù)學模型，學習數(shù)學的語言、圖表、符號表示，進行數(shù)學交流。通過理性思維，培養(yǎng)嚴謹素質(zhì)，追求創(chuàng)新精神，欣賞數(shù)學之美。標準賦予數(shù)學以文化的價值，這是歷次大綱所沒有提到的。數(shù)學的文化價值主要體現(xiàn)在：要用數(shù)學的悠久歷史來展現(xiàn)數(shù)學文化的豐厚背景，用數(shù)學的廣泛應用來感受數(shù)學文化的博大精深；用現(xiàn)代的文明成果來展現(xiàn)數(shù)學文化價值；用數(shù)學的美學價值展現(xiàn)數(shù)學文化的無窮魅力。讓學生在追溯數(shù)學歷史的過程中感悟勞動者的智慧與思想；在演繹數(shù)學歷史的過程中激發(fā)民族自豪感，在與數(shù)學家的對話中感悟探索的精神，在了解數(shù)學的現(xiàn)代文明成果中激起為社會服務的使命感，在挖掘數(shù)學美育功能的過程中領略數(shù)學的奧秘，在應用數(shù)學解決實際問題的過程中培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)意識與實踐能力。我們深感：傳承數(shù)學文化就是要還數(shù)學以本來面目，展現(xiàn)數(shù)學優(yōu)美動人的一面；傳承數(shù)學文化就是要使數(shù)學走入大眾，進而提高全民族的科學文化素質(zhì)；傳承數(shù)學文化就是要使我們每一位教師轉(zhuǎn)變教育觀念，從文化的角度重新審視我們的課程；傳承數(shù)學文化就是要使我們的數(shù)學學習變得生動有趣，使我們的學生成為數(shù)學文化的擁戴者和傳播者；傳承數(shù)學文化就是要使數(shù)學文化走進校園、走進課堂。2、解讀教材，挖掘數(shù)學文化教學內(nèi)容為了揭示“小學數(shù)學教材如何更好發(fā)揮傳承數(shù)學文化的功能”，實驗區(qū)教師以國標本教材為教材，在數(shù)學課程標準的指導下，在課題研究思想與計劃的指引下，認真解讀蘇教版小學數(shù)學教材，了解各部分知識，挖掘數(shù)學文化教學內(nèi)容。我們發(fā)現(xiàn)：國標本數(shù)學教材為學生的發(fā)展提供了有力的保障。教材在面向?qū)W生方面體現(xiàn)了以下的特點：（1）通過主題圖創(chuàng)設生動豐富的學習資源，激發(fā)學生對數(shù)學的興趣。（2）通過提示性的語言引導學生開動腦筋，自主探索，培養(yǎng)學生的數(shù)學思考能力。（3）通過與文本的對話，引導學生獨立思考，并努力采用多樣化的方法進行思考和解決問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。（4）通過試一試，鼓勵學生嘗試運用所學的知識解決問題，培養(yǎng)學生的解決問題的能力。（5）多樣化的分層練習有利于學生鞏固知識的同時，提高和拓展能力。（6）豐富的、具有濃厚生活氣息的材料和“你知道嗎”欄目，拓展了學生的眼界。根據(jù)以上教材特點以及對數(shù)學文化內(nèi)涵的理解，我們挖掘了教材傳承數(shù)學文化的內(nèi)容主要有以下幾個方面：（1）數(shù)學史料、數(shù)學符號來源，科學發(fā)明過程。（2）知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程。（3）獨立思考、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括、類比推理等數(shù)學思想方法。（4）生活數(shù)學及數(shù)學美。（5）理性思維，理性精神、創(chuàng)新精神。課題實驗區(qū)教師認識到：傳承數(shù)學文化需要教師的文化底蘊作保證，教師對教材的理解，對數(shù)學的理解，對教學活動的組織都反映了教師的文化修養(yǎng)，學生與教師的互動活動中，也能受教師的潛移默化。當我們的數(shù)學課，不再僅將所謂的知識點，作為課堂教學的全部，當我們的數(shù)學教師，努力演繹數(shù)學文化的厚重與繽紛，用信息傳遞數(shù)學文化睿智與豁達，當數(shù)學文化魅力滲入教材、到達課堂、溶入教學時，數(shù)學教學就會通過文化層面讓學生進一步理解數(shù)學、喜歡數(shù)學、熱愛數(shù)學。在數(shù)學教育的文化生命和精神生命表現(xiàn)在：能用心靈、用情感來體驗知識所負載的價值和生命意義，從而自身的精神生命也在學習中被喚醒和激活，最終完成了生命價值的實現(xiàn)過程，成為一個自覺、自由活動的人，任何一堂數(shù)學課都能觸摸到數(shù)學文化的脈搏。（二）優(yōu)化教學設計，構(gòu)筑了數(shù)學文化課堂1、追溯數(shù)學史料，豐富數(shù)學文化底蘊在當代國際數(shù)學教育中，數(shù)學史首先被看作理解數(shù)學的一種途徑。哥德曾言：一門科學的歷史就是這門科學本身。數(shù)學史濃縮了無數(shù)令人神往的成就，記載著人們追求真理的足跡。數(shù)學史是數(shù)學知識中較能直觀地體現(xiàn)數(shù)學文化的一個部分，在小學階段進行數(shù)學史的教育，已越來越多地受到教育界的關注。作為數(shù)學知識的傳播者，教師不僅要教會學生解題，教會學生應用，還需要古為今用、取精用弘，從中挖掘數(shù)學的文化內(nèi)涵，提煉數(shù)學的文化價值。我們有理由、也有必要讓學生更多地去了解，使得數(shù)學的學習成為名副其實的文化傳播。在蘇州市名師沙龍活動中，特級教師趙云峰為我們上了一堂“認識分數(shù)”，在教學認識分數(shù)時，多媒體播放了分數(shù)的產(chǎn)生，介紹了我國古代用算籌表示分數(shù)，后來，當印度人發(fā)明了數(shù)字和阿拉伯人發(fā)明了分數(shù)線后，分數(shù)就變成現(xiàn)在的表示方法了，有了數(shù)學家不斷努力與求精的精神，分數(shù)的表示方法愈來愈簡潔，今后我們還會學到用符號表示分數(shù)呢。從中我們可以看到在趙老師的引領下，學生從教師的言語中感受數(shù)學的文化價值。數(shù)學課堂教學中通過對數(shù)學史的介紹，實施數(shù)學文化的感悟，這種感悟應自然、清淡，自然如流水行云，清淡如星光點綴。在平望實驗小學開展的“一課兩教”教學研究活動。市教學能手朱金華老師在教學“認識負數(shù)”時，向?qū)W生介紹負數(shù)的歷史，正數(shù)和負數(shù)都有無數(shù)個，它們在我們的生活中隨處可見。據(jù)九章算術(shù)的記載：早在兩千多年前，古人就已經(jīng)會使用負數(shù)，人們以收入錢為正，以付出錢為負；以糧食的增產(chǎn)為正，以產(chǎn)量的減產(chǎn)為負我國使用負數(shù)要比歐洲國家早好幾百年。九章算術(shù)等古代數(shù)學著作中的一些內(nèi)容。它們體現(xiàn)了人類對客觀世界中數(shù)量關系的不斷探究，從中可以看出人類追求真理的長期努力，折射出科學文明的源遠流長。從而讓學生了解我們中國古代勞動人民的卓越智慧和才能，對學生進行愛國主義教育，可激發(fā)學生的民族自豪感和為國富民強而勤奮學習的精神。他說得好：每一個數(shù)學知識的背后都有一個豐富的數(shù)學文化，每一個知識內(nèi)容的背后都有一段動人的數(shù)學故事，每一次數(shù)學發(fā)展的背后都有一個偉大的數(shù)學天才。所以我們在數(shù)學教學過程中應努力去挖掘蘊涵在數(shù)學知識背后的人文因素，使其脫去僵硬的“外衣”顯露出生機、洋溢著情趣。在 “一課多教”活動中，周學藝老師在教學圓的周長時，采用多媒體介紹祖沖之的研究成果，學生直觀感受到圓內(nèi)接正12288邊形、正24576邊形的邊長非常小，僅有0.852毫米和0.4毫米長，學生不僅深刻地感受了“割圓術(shù)”的精妙，而且極限思想也悄無聲息地融入到學生心田，學生被祖沖之嚴謹?shù)目茖W探索精神所震動，被祖沖之的研究成果（圓周率在3.1415926和3.1415927之間）所震撼，學生的情感體驗得到升華。2、創(chuàng)造數(shù)學美，感受數(shù)學創(chuàng)造的美麗哪里有數(shù)學，哪里就有美。我們提倡對數(shù)學美（簡潔美、對稱美、和諧美、奇異美等）的欣賞與創(chuàng)造，數(shù)學美的存在是肯定的。1940年美國著名數(shù)學家G H哈代說：“數(shù)學美可能很難定義，但她的確是一種真實的美?！边@種由衷的感嘆，我們能體會到嗎？我們能體會到畢達哥拉斯“美就是和諧”的感嘆嗎？能體會到柏拉圖“美在理式”的“至善至美”嗎？能體會到哈代“漂亮定理中美學特征的簡單性、意外性、必然性與有機性”嗎？能體會到哈爾曼韋爾的“我為真和美而工作，當二者發(fā)生沖突時，我寧愿舍真而求美”的氣概嗎？因為數(shù)學美是深藏于理性之中的，數(shù)學美的特點在于抽象的理性形式中包含著無限豐富的感性內(nèi)容，往往需要教師喚醒、點化，方能使學生感悟和領略。數(shù)學美的創(chuàng)造是數(shù)學美的升華，數(shù)學教師應充分挖掘教學內(nèi)容中蘊含的美，讓學生去體驗美、去欣賞美，從而去創(chuàng)造美?！拜S對稱圖形”是蘇教版國標本三年級下冊第七單元內(nèi)容，平望實驗小學校長江蘇省數(shù)學特級教師錢坤南為我們展示了一堂“數(shù)學美”的示范課，請看：片斷一：師：陽光明媚、花香鳥語，蝴蝶飛來請小朋友一起欣賞美麗的世界，（教師多媒體播放教材上“你知道嗎”內(nèi)容有大自然中的昆蟲及自然現(xiàn)象）師：請同學們仔細觀察，看看它們的外形有什么共同特征，你感覺它們怎樣？生：對稱！很美！師：對稱？你是怎樣理解對稱的呢？生：兩邊一樣的。師：好，我們都來看看它們的兩邊是不是一樣的？生：是。師：像這樣兩邊形狀和大小完全相同的物體，我們就說它們是對稱的。（板書：對稱）對稱的物體看起來很舒服、很美，（板書：美）你看到過哪些對稱的物體？生：天安門。生：蝴蝶也是對稱的。生：蜻蜓也是對稱的。師：同學們觀察得真仔細，對稱的物體真多，對稱就在我們的身邊！對稱是一種和諧美！片斷二：師：剛才我們一起研究了軸對稱圖形，下面請同學們自己“創(chuàng)造”一個美麗的軸對稱圖形。（播放江蘇民歌好一朵美麗的茉莉花，學生“創(chuàng)造”軸對稱圖形并把作品貼在黑板上“我們的作品”欄內(nèi)。）師：（音樂停）同學們真了不起，你們用自己的雙手創(chuàng)作出來的軸對稱圖形，美嗎？生：美！師；其實對稱不僅給人以美的感受，它還有一定的科學性呢，你們知道嗎？眼睛的對稱，讓我們看物體更加準確；耳朵的對稱，讓我們聽聲音更加清晰，有立體感。蜻蜓的對稱是為了平衡的需要，人們由此設計出來的飛機才能在藍天平衡地飛翔。師：在我們的生活中有許多物體，有的是大自然中的對稱現(xiàn)象，有的是人們受到這些對稱現(xiàn)象的啟發(fā)，設計出來的具有對稱美的東西！對稱，始終給人以和諧的感受！師：上有天堂，下有蘇杭。江南園林甲天下，蘇州園林甲江南。同學們，我們一起走進蘇州園林，你們看到了什么？蘇州園林美在哪里？（課件播放蘇州園林美景）數(shù)學以其簡潔性、對稱性、和諧性、統(tǒng)一性、奇異性為特征表現(xiàn)出自身的美。引導學生去發(fā)現(xiàn)、體驗甚至創(chuàng)造數(shù)學中一切美的東西，應當是數(shù)學教育的目標之一。作為教師，要努力豐富自己的美學涵養(yǎng)，練就一雙發(fā)現(xiàn)美的慧眼，挖掘兒童的數(shù)學世界里所蘊含的數(shù)學美，從合適的視覺喚醒學生的審美需要，強化美的體驗，提升數(shù)學美的文化教育價值。片斷一中錢校長充分挖掘教材，利用教材中的“你知道嗎”內(nèi)容，讓學生從自然界中的事物或現(xiàn)象中感知“對稱”，感知美。片斷二中錢校長在音樂聲中讓學生創(chuàng)作軸對稱圖形，學生通過自己動手制作軸對稱圖形來感受美、創(chuàng)造美，最后引領學生一起走進美麗的蘇州園林，讓學生享受美。在錢校長的“軸對稱圖形”課上學生所獲得的豈止是軸對稱圖形的數(shù)學本質(zhì)特征？數(shù)學課不但上出“數(shù)學味”，而且讓學生享受了美妙的數(shù)學世界。數(shù)學的內(nèi)在美是數(shù)學美的重要內(nèi)容之一，數(shù)量的和諧，空間的協(xié)調(diào)是構(gòu)成數(shù)學美的重要因素。例如，加、減、乘、除的運算意義和法則，構(gòu)成一個整體之間的相依、相反關系，從橫向分析，加與減、與除之間存在著可逆的關系；從縱向分析，加與乘、減與除之間又存在著相互轉(zhuǎn)換的關系。分析除法可以轉(zhuǎn)化為乘法，乘法也可以轉(zhuǎn)化為除法。還有，除法、分數(shù)和比這三者之間的關系以及它們各自的性質(zhì)，和諧、統(tǒng)一而又各有特點。小學數(shù)學的幾何圖形中，如正方形、等腰三角形、圓等更顯出幾何圖形的和諧美。數(shù)學中的嚴謹美，是數(shù)學獨特的內(nèi)在美，我們通常用“滴水不漏”來形容數(shù)學。它表現(xiàn)在數(shù)學推理的嚴密，數(shù)學定義準確揭示概念的本質(zhì)屬性，數(shù)學結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)完備等等。蘇藿姆林斯基認為：自然界里許多美的事物，如果不事先指給孩子們看、講給孩子們聽，他們自己是不會留意的。這就要求我們教師能發(fā)掘數(shù)學的美，并逐漸引領學生進入美的天堂。我們作出這樣的思考：數(shù)學的文化價值應該來自數(shù)學內(nèi)容本身，數(shù)學美是數(shù)學學科本質(zhì)力量的感性與理性的呈現(xiàn)，是一種人的本質(zhì)力量通過人的數(shù)學思維結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)，是一種真實意義上的美，是一種彰顯人文精神的科學美。3、抓住數(shù)學本質(zhì)，提升數(shù)學文化價值或許我們剛開始理解的數(shù)學文化之美，更多依賴數(shù)學以外的一些東西，依托媒體的精彩演示，把自然、科學、社會、文化等加以整合，而如今我們正走向?qū)τ跀?shù)學文化的深度思考與文化價值的高度關注。我們知道：數(shù)學在其發(fā)展過程中，伴隨著數(shù)學知識的發(fā)生、生成、傳播而在特定的數(shù)學共同體內(nèi)積蓄下的對人的發(fā)展具有重要促進和啟迪價值的數(shù)學思考方法、數(shù)學思想觀念及數(shù)學精神品格等，這些都屬于數(shù)學文化。樸素的內(nèi)容完全可以承載豐厚的數(shù)學內(nèi)涵，每一堂課，我們都可以挖掘數(shù)學知識內(nèi)在的思維與美學價值，以使學生在獲取知識、形成技能、發(fā)展能力的同時，真切感受到數(shù)學的美，體驗數(shù)學學習可能帶來的思維愉悅。 （1）數(shù)學概念，活化理解數(shù)學概念是以極度抽象的形式出現(xiàn)的。數(shù)學基本概念通常是以一種冷冰冰的姿態(tài)呈現(xiàn)在教材或者課堂上。但我們明白，任何數(shù)學概念的形成、發(fā)展、生成，都經(jīng)歷了數(shù)學家無數(shù)的觀察、分析、猜測、實驗、判斷、辨析、調(diào)整、優(yōu)化等一系列數(shù)學思維活動。由此可見，即使是靜態(tài)的數(shù)學概念，其必沉淀下豐富的數(shù)學內(nèi)涵、數(shù)學思考、數(shù)學觀念，需要我們?nèi)ネ诰颉Ｃ恳粋€重要的數(shù)學概念的形成和發(fā)展，其中都有豐富的經(jīng)歷，然而出現(xiàn)在數(shù)學教科書時，卻掩蓋了其間人類探索的“火熱的思考”，而凝固成“冰冷的美麗”。對學習者個人而言，數(shù)學概念的形成過程，即通過對常識材料進行細致的觀察、思考，借助于分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動，對常識材料進行去粗取精、去偽存真的精加工，從中舍去材料的現(xiàn)實意義，僅保留其數(shù)量上或空間上的形式結(jié)構(gòu)方面的信息，由“素樸的直觀”構(gòu)建“精致的直觀”。在上述教學過程中，但確確實實通過觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等思維活動，在探索中學習數(shù)學化。我們曾在課中親歷這樣的場景：教學“1平方千米等于幾公頃？”這一內(nèi)容，教師從概念入手，引導學生依據(jù)概念進行推理，這樣想：邊長1000米的正方形面積是1平方千米。也就是10001000=1000000平方米邊長100米的正方形面積是1公頃。也就是100100=10000平方米1000000平方米是10000平方米的100倍。所以，1平方千米等于100公頃。本教學著力點有所不同：傳統(tǒng)的教學側(cè)重于學生對概念的接受和結(jié)果的掌握，而此教學側(cè)重于概念的產(chǎn)生、構(gòu)建、形成，側(cè)重于學生對過程的探究及在此過程中所形成的一般數(shù)學能力。這冗長的推理結(jié)束了，環(huán)顧教室，一個學生正低頭玩得帶勁，教師想將他一軍：小苑，你還有其他的方法來說明1平方千米等于100公頃嗎？出乎意料，他思索片刻，給出下面的思考過程：把面積是1平方千米的正方形邊長縮小10倍，面積就縮小了100倍，正好是1公頃。反過來，把面積是1公頃的正方形邊長畫長些，擴大到原來的10倍，面積就擴大了100倍，正好是1平方千米。所以，1平方千米等于100公頃。這一思考過程化靜為動，對原來的圖形進行了縮放，用形象、動感的思考替代了枯燥的數(shù)字推理，包含了相當多的智慧元素。此時，靜態(tài)、冰冷的平方千米與公頃之間的進率概念在這一刻綻放了絢麗的光芒?？梢韵胍?，這些看似不太規(guī)范表達形式背后，折射出了學生多少生動、活潑的數(shù)學思考，而這恰恰正是數(shù)學的“文化力量”。 可見，教師真要有面對學生課堂上各種外在的行為反應都要有豐富的應對機智，以激勵學生展示自己的思考過程，提升數(shù)學的文化價值。（2）數(shù)學思想，感悟掌握數(shù)學教學不僅要使學生學會概念、法則、性質(zhì)等具體的數(shù)學知識，還要讓學生領悟并逐步掌握蘊涵其中的數(shù)學思想方法。數(shù)學思想方法是人們對數(shù)學本質(zhì)的理性認識。數(shù)學家笛卡兒指出：“只有采用數(shù)學的方法，即公理化方法，我們才能獲得真正可靠的知識?！毙W階段的重要思想方法有：分類思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、一一對應思想、函數(shù)思想、符號化思想、方程思想、集合思想、類比法、不完全歸納法等。這些思想方法如何在教學中落實？如何將學生置身于數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展、形成的生動過程，引導他們親歷觀察、猜想、驗證、建模、應用等數(shù)學活動，進而獲得一種更有力度、充滿張力的數(shù)學思考以及觸及心靈的精神愉悅，這是我們在課堂教學中一直關注并努力實踐的問題。以特級教師錢坤南教學的六年級解決問題的策略替換一課為例：錢老師由愛迪生巧測梨形燈泡體積的故事引入課題，讓學生看到復雜的問題可以在大科學家的手中如此簡單，以此激發(fā)學生探索的興趣。同時讓學生思考愛迪生用了什么策略測出梨形燈泡體積的。學生很自然地用到了“換”這個詞語，而錢老師也很巧妙地把學生的說法引到了課題上替換。同時簡要說明“替換”是一種重要的數(shù)學思想方法，能解決生活中的一些實際問題。錢老師在教學例題時先缺少一個表示大杯與小杯關系的條件，讓學生知道需要補充“小杯是大杯的幾分之幾”或“大杯比小杯多多少”這樣的條件，并結(jié)合課件演示讓學生先猜一猜兩種杯子之間的關系，隨后抓住“小杯的容量是大杯的三分之一” 、“大杯比小杯多160毫升”這兩句話，啟發(fā)學生對題目的數(shù)量關系進行分析，借助課件演示，引導學生理解表示把“大杯”替換成“小杯”或把“小杯”替換成大杯的過程，讓學生進行比較，得出兩個數(shù)量間“倍數(shù)關系”和“相差關系”，一個總量不變，一個總量變了，抓住了替換的關鍵，從而實現(xiàn)將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的意圖，體驗替換策略能使復雜問題得到簡化的思維價值，也使學生體會到了辯證統(tǒng)一的數(shù)學思想。學生感受到了策略的靈活性、多樣性，從而加深對替換策略本身的認識，掌握了替換策略的使用方式。錢老師還設計了一道選擇條件的練習題，進一步讓學生體會替換的依據(jù)，使學生進一步認識什么樣的實際問題可以應用替換的策略，感受到替換策略在解決實際問題中的重要作用。最后，錢老師讓學生欣賞了“曹沖稱象”與“達能餅干廣告”學生再一次感受到從古到今“替換策略”的應用價值?；蛟S正是有了這樣的適度挖掘，學生的視野開闊了，尤其是，數(shù)學發(fā)展過程的多元化，數(shù)學思考的多樣性，數(shù)學發(fā)展過程中所展現(xiàn)出的無窮智慧等，漸漸沉積為學生的內(nèi)在涵養(yǎng)，成為一種文化積淀。數(shù)學思想?yún)s常常以更為內(nèi)斂、潛在的方式沉積于學生內(nèi)心深處，成為他們進行數(shù)學思考的重要支撐。這是數(shù)學文化價值集中體現(xiàn)的又一重要方面。較之于知識、技能而言，她更為內(nèi)隱，常潛伏于許多看似普通的數(shù)學知識、數(shù)學技能的學習過程中，需要教師敏銳地予以捕捉、判斷、放大、外化，并在課堂中予以傳遞。（3）數(shù)學思維，整合運用數(shù)學思維方式有抽象思維和具體形象思維，兩者并不矛盾。小學階段的許多抽象的數(shù)學知識都是從我們能觸摸到、感覺到、想象到的現(xiàn)實世界中抽取出來的。所以在教學時，教師要積極地整合抽象思維與具體形象思維，把高度的抽象與具體可感的形象相結(jié)合，把嚴謹?shù)倪壿嬎季S與大膽的直覺思維相結(jié)合，這樣才能使學生在數(shù)學學習的進程中不斷感受到什么才是數(shù)學的思維方式，發(fā)展數(shù)學思考，體驗智慧力量，提升數(shù)學文化價值。如在除法中，余數(shù)要比除數(shù)小，是個抽象的數(shù)學規(guī)定。從如何提升數(shù)學文化價值的目標出發(fā)，我們應該怎樣來展開教學呢？出示例題：四年級一班有36人，共借書252本，四年級一班平均每人借書多少本？25236，試商6后余36本，為什么要改商7呢？結(jié)合教材提供的情境可以這樣想：每人借6本，還余下36本，這余下的36本又可以每人再分1本，說明商太小，要改商7。二次思考：再看著豎式說說，為什么要改商7？結(jié)合數(shù)的分解，可以這樣想：252里去掉了6個36，還余下1個36，252里最多有7個36，所以商的個位應該商7。（當然還有其它的思考方法）這樣學生就不僅僅是在用形象的方式去理解“余數(shù)要比除數(shù)小”，同時運用了抽象的邏輯推理，以不同的思維方式完成了對有余數(shù)除法規(guī)則的思考。數(shù)學，之所以具有文化的力量，正在于它能整合各種不同的思維方式，使人的思考不斷走向秩序和高效。我們期望：通過思維方式的整合，思考問題條理分明卻易墨守成規(guī)的學生也能大膽類比，作出猜想了；頭腦靈活卻往往淺嘗則止的學生也會沉下心來，對自己的想法作進一步的分析和優(yōu)化了；思維方式的整合最終能提升學生的數(shù)學思考能力，豐富數(shù)學文化的內(nèi)涵。（4）數(shù)學精神，追求提升數(shù)學的理性精神與數(shù)學的探究精神是學生學習數(shù)學、研究世界的最原始、最永恒、最有效的動力。數(shù)學學習需要激情，但更需要理智，需要數(shù)學地思維，因而其對于人類理性精神的養(yǎng)成與發(fā)展具有特別重要的意義。數(shù)學學習同樣具有獨特的“教化”功能：比如探索過程中的執(zhí)著與堅韌；比如論證過程中的務實與謹嚴；比如數(shù)學規(guī)則推導過程中的理智與自律；比如數(shù)學創(chuàng)造過程中的開拓與超越，甚至于耐心、責任感、敬業(yè)品質(zhì)、民主精神等。正是這些，見證著數(shù)學更為深沉的文化力量，使數(shù)學可以超越知識本身，找尋到更為樸素、更為豐富，也更為動人的內(nèi)涵。這是在教學統(tǒng)計與可能性時，教師引導學生驗證拋硬幣的等可能性的片斷：師：按照大家的說法，如果拋10次硬幣，會有幾次正面幾次反面呢？生1：我猜是5次正面，5次反面。生2：我也猜是一樣多的。師：是這樣的嗎？讓我們自己來驗證一下好嗎？同桌兩人分工合作，一人拋硬幣，一人做記錄。學生分組活動。生1：我們是3次正面，7次反面。生2：我們組是8次正面，2次反面。師：同學們拋的正反面次數(shù)都不相同啊，這是為什么呢？難道我們猜錯了嗎？生1：我想可能是拋的次數(shù)太少了吧。生2：如果繼續(xù)拋下去，說不定就會拋到正面和反面次數(shù)一樣的時候。師：對啊，拋的次數(shù)少，偶然性就大，因此我們會發(fā)現(xiàn)正反面出現(xiàn)的次數(shù)并不一定相同。那如果我們拋40次，會出現(xiàn)怎樣的結(jié)果呢？這次我們四人小組合作，三人拋硬幣，一人做記錄。學生再次分組活動，匯報統(tǒng)計結(jié)果。師：和前一次活動所得的數(shù)據(jù)比較一下，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 生：拋硬幣次數(shù)在增加，拋到正反面的次數(shù)也在漸漸接近。師：說得太好了，你知道嗎？科學家們?yōu)榱诉M一步研究，他們不辭辛苦地拋了成千上萬次，請看：實驗者投擲次數(shù)正面出現(xiàn)次數(shù)正面出現(xiàn)頻率蒲豐404040400.5069德.摩根409220480.5005費勒10 00049790.4979皮而遜12 00060190.5016皮而遜24 00012 0120.5005羅曼諾夫斯基80 640396990.4923師：看了科學家們的研究成果，你想說什么？生1：我發(fā)現(xiàn)了實驗中出現(xiàn)正面和反面的次數(shù)相等，也就是可能性相等，都是1/2。生2：和科學家們相比，我們剛才實驗的次數(shù)太少了。生3：要想得到科學的結(jié)果，需要無數(shù)次的實驗的驗證。生4：我也要像那些數(shù)學家一樣，不怕辛苦，一絲不茍地對待學習。師：是啊，同學們，數(shù)學家是在做了幾千幾萬次實驗后才得出這樣一個結(jié)論：拋硬幣時出現(xiàn)正反面的可能性是相等的，并且實驗次數(shù)越多，實驗結(jié)果將會越接近1/2。其實，科學家對于可能性的探索興趣是永無止境的，我們也要像數(shù)學家那樣，不懈地追求數(shù)學真理。很好！正確的方法和結(jié)論不是隨便能找到的，要憑借一定的依據(jù)去猜想探索，而且常常需要經(jīng)過反復猜想、試探、驗證才能求得正確的結(jié)論。同學們得有韌性??！在引領孩子驗證等可能性的過程中，教師引導學生將拋10次硬幣和拋40次硬幣的實驗結(jié)果進行比較，發(fā)現(xiàn)了“拋硬幣次數(shù)在增加，拋到正反面的次數(shù)也在漸漸接近”，與此同時，學生更領悟到在數(shù)學科學研究中，需要反復實驗才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律。接著，在欣賞科學家的研究成果中，實驗次數(shù)之多，凸顯了數(shù)學家求索之路的艱辛，這無疑是對數(shù)學精神的引領。老師告訴孩子，古往今來，一代又一代的科學家，正是憑借著堅韌不拔的毅力和勇于獻身的精神，才有了那么多的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，而吸引科學家不斷追求真理的動力，不就是因為數(shù)學的魅力嗎！可以想象，豐富的數(shù)學猜想，嚴格的驗證過程，使孩子們發(fā)自內(nèi)心地體會到了數(shù)學的應用價值和神奇力量，在對實驗結(jié)果的驚嘆中，在為科學家的智慧興奮不已時，愛科學、愛數(shù)學的種子已悄然萌發(fā)，這不正是數(shù)學的力量嗎？如今在我們的課堂中，數(shù)學不再只是數(shù)字、符號、公式、規(guī)則、程序的簡單組合，透過它們，我們可以感受數(shù)學豐富的方法、深邃的思想，領略數(shù)學發(fā)展進程中的五彩斑斕、多姿多彩，分享數(shù)學前行足跡中的創(chuàng)造、超越及其背后折射出的人類的智慧和人性光芒。數(shù)學課堂使其外化為一種現(xiàn)實的數(shù)學影響，努力彰顯數(shù)學的文化品性。 （三）共建文化課程，收獲了數(shù)學學習成果數(shù)學不只是知識和方法的簡單匯集，它應該是一個開放的文化體系，是人類智慧和創(chuàng)造的結(jié)晶。它在給予我們知識與方法的同時，更以一種文化的姿態(tài)改變?nèi)祟惖乃伎计焚|(zhì)，豐富人類的精神世界，使數(shù)學學習成為學生獲得知識、形成方法、感悟價值、提升精神的生命歷程，給予人全面和諧的發(fā)展。四年來，課題實驗區(qū)教師為了豐富學生的學習內(nèi)容，努力構(gòu)建文化課程。例如彩香實驗小學組織數(shù)學骨干教師分低、中、高三個年級段立足于不同的目標，修訂、編寫了校本教材小博士數(shù)學，大大豐富了數(shù)學文化的教學內(nèi)容。力求讓學生了解數(shù)學知名人士的簡歷、時代背景、學習環(huán)境、重大成就及劃時代意義，從中領悟數(shù)學家自強不息的奮斗精神、求真務實的工作作風、開拓創(chuàng)新的人生追求及獻身事業(yè)的高尚情操等。通過分析、探究數(shù)學大家深邃、睿智的思維過程及數(shù)學結(jié)論推導過程的展示來突破學生思維的瓶頸。盛澤鎮(zhèn)中心小學開展豐富多彩的數(shù)學活動，滲透數(shù)學文化。學校根據(jù)學生的年齡特點，結(jié)合數(shù)學文化的某些內(nèi)容，開展一些游戲或競賽，加深或拓寬學生的數(shù)學知識，有利于訓練和發(fā)展學生的思維，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力，并利用新數(shù)學成長冊記錄學生的數(shù)學學習成長過程。1、自制“數(shù)學報”展示，體會數(shù)學的多彩在我們學生身邊有好多的報刊雜志，學生愛不釋手。小學生數(shù)學報便是我們學生喜愛的一份報紙