實(shí)函.PPT課件

4 3可測(cè)函數(shù)結(jié)構(gòu) 第四章可測(cè)函數(shù) 目的 通過(guò)本講的學(xué)習(xí) 使學(xué)生了解Lusin定理的科學(xué)意義 懂得如何從熟悉的理論或現(xiàn)象中尋找新的東西 發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律 學(xué)會(huì)從分析中尋求所要的證明 重點(diǎn)與難點(diǎn) 從熟悉的理論出發(fā)發(fā)現(xiàn)Lusin定理 尋求Lusin定理的證明 Rn上可測(cè)函數(shù)與我們熟悉的連續(xù)函數(shù)有密切的聯(lián)系 一方面 可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)定為可測(cè)函數(shù) 另一方面 本節(jié)將證明的Lusin定理表明 可測(cè)函數(shù)可以用連續(xù)函數(shù)在某種意義下逼近 由于連續(xù)函數(shù)具有較好的性質(zhì) 比較容易處理 因此這個(gè)結(jié)果在有些情況下是很有用的 4 例1 5 6 故對(duì)任意x O x F 有 f x f x 0 故f連續(xù) 證明 任取則存在i0 使得x Fi0 f x ci0 又Fi為兩兩不交閉集 從而x在開(kāi)集中 所以存在 0 使得 魯津定理第一形式 下稱定理1 實(shí)變函數(shù)的三條原理 J E Littlewood 1 任一可測(cè)集差不多就是開(kāi)集 至多可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間的并 設(shè)f x 為E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù) 則使得m E F 且f x 在F上連續(xù) 去掉一小測(cè)度集 在留下的集合上成為連續(xù)函數(shù) 即 可測(cè)函數(shù) 基本上 是連續(xù)函數(shù) 3 任一點(diǎn)點(diǎn)收斂的可測(cè)函數(shù)列集差不多就是一致收斂列 2 任一可測(cè)函數(shù)差不多就是連續(xù)函數(shù) 魯津定理的證明 證明 由于mE f 0 故不妨令f x 為有限函數(shù) 1 當(dāng)f x 為簡(jiǎn)單函數(shù)時(shí) 當(dāng)x Ei時(shí) f x ci 所以f x 在Fi上連續(xù) 而Fi為兩兩不交閉集 故f x 在上連續(xù)顯然F為閉集 且有 對(duì)f x 在F連續(xù)的說(shuō)明 說(shuō)明 取閉集的原因在于閉集的余集為開(kāi)集 開(kāi)集中的點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn) 從而可取x Fi足夠小的鄰域不含其他Fi中的點(diǎn) 函數(shù)在每一塊上為常值 故在每一塊上都連續(xù) 但函數(shù)在R上處處不連續(xù) 條件Fi為兩兩不交閉集必不可少 如 魯津定理的證明 2 當(dāng)f x 為有界可測(cè)函數(shù)時(shí) 存在簡(jiǎn)單函數(shù)列 n x 在E上一致收斂于f x 由 n x 在F連續(xù)及一致收斂于f x 易知f x 在閉集F上連續(xù) 利用 1 的結(jié)果知 魯津定理的證明 則g x 為有界可測(cè)函數(shù) 應(yīng)用 2 即得我們的結(jié)果 連續(xù)函數(shù)類關(guān)于四則運(yùn)算封閉 3 當(dāng)f x 為一般可測(cè)函數(shù)時(shí) 作變換 注 1 魯津定理推論 魯津定理 限制定義域 即 去掉某個(gè)小測(cè)度集 在留下的集合上連續(xù) 在某個(gè)小測(cè)度集上改變?nèi)≈挡⒀a(bǔ)充定義變成連續(xù)函數(shù) 若f x 為上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù) 使得在F上g x f x 且m E F 對(duì)n維空間也成立 則及R上的連續(xù)函數(shù)g x 開(kāi)集的余集是閉集閉集的余集是開(kāi)集 直線上的開(kāi)集構(gòu)造直線上的任一非空開(kāi)集都可唯一地表示成有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間的并 魯津定理推論證明的說(shuō)明 魯津定理 設(shè)f x 為E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù) 則使得m E F 且f x 在F上連續(xù) 例對(duì)E R1上的a e 有限的可測(cè)函數(shù)f x 一定存在E上的連續(xù)函數(shù)列 fi x 使fi x f x a e 于E 從而 令 即得我們所要的結(jié)果 證明 由魯津定理的推論知 再由Riesz定理 存在 gn x 的子列 gni x 使gni x f x a e 于E 對(duì)上例的說(shuō)明 只能作到幾乎處處收斂 說(shuō)明 若fn f于R fn連續(xù) 則f的連續(xù)點(diǎn)集是R的稠密集 參見(jiàn) 實(shí)變函數(shù) 周民強(qiáng) p 43 魯津定理的結(jié)論m E F 不能加強(qiáng)到m E F 0 參見(jiàn) 實(shí)變函數(shù) 周民強(qiáng) p 116 雖然我們有但不存在R上的連續(xù)函數(shù)列fn使得fn f于E 設(shè)f x 是E上a e 有限的實(shí)函數(shù) 對(duì) 0 存在閉集 使且f x 在上連續(xù) 則f x 是E上的可測(cè)函數(shù) 注 此結(jié)論即為魯津定理的逆定理 從而f x 在上可測(cè) 進(jìn)一步f x 在上可測(cè) 證明 由條件知 存在閉集使且f x 在En連續(xù) 當(dāng)然f x 在En上可測(cè) 17 18 19 20 21 值得注意的是這個(gè)定理也可推廣到n維空間 22 魯津定理揭示了可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)之間的聯(lián)系 即可測(cè)函數(shù)可以用連續(xù)函數(shù)來(lái)逼近 也就是說(shuō) 將可測(cè)函數(shù)的定義域去掉一