動態(tài)優(yōu)化模型(完整版)PPT課件

動態(tài)優(yōu)化模型（完整版）,連續(xù)動態(tài)過程的優(yōu)化歸結為求泛函的極值.,求泛函極值的常用方法:變分法、最優(yōu)控制論.,離散動態(tài)過程的優(yōu)化動態(tài)規(guī)劃模型.,靜態(tài)優(yōu)化問題,優(yōu)化目標是數值,最優(yōu)策略是數值,函數對應的數值稱為泛函(函數的函數).,動態(tài)優(yōu)化問題,優(yōu)化目標是數值,最優(yōu)策略是函數,1速降線與短程線,通過兩個古典問題介紹變分法的基本概念,給出主要結果.,速降線問題,給定豎直平面內不在一條垂直線上的兩個點A,B,求連接A,B的光滑曲線，使質點在重力作用下沿該曲線以最短時間從A滑到B(摩擦力不計).,.A,.B,若沿陡峭曲線下滑,雖路徑加長，但速度增長很快.,速降線問題,.A,.B,建立坐標系xOy,曲線弧長,能量守恒,質點在曲線y(x)上的速度ds/dt,質點沿曲線y(x)從A到B的時間,求y(x)使J(y(x)達到最小.,m質點質量，g重力加速度,A(0,0),B(x1,y1),曲線ABy=y(x),滿足條件,短程線問題,給定曲面上的兩個點A,B,求曲面上連接A,B的最短曲線.,建立坐標系,A(x0,y0,z0),B(x1,y1,z1),曲線的弧長,曲線的長度,求y=y(x),z=z(x)使J(y(x),z(x)達到最小.,滿足條件,泛函、泛函的變分和極值,自變量t，函數x(t),y(t),函數、函數的微分和極值,泛函、泛函的變分和極值,1.對于t在某域的任一個值,有y的一個值與之對應,稱y是t的函數，記作y=f(t),1.對于某函數集合的每一個函數x(t),有J的一個值與之對應,稱J是x(t)的泛函,記作J(x(t),2.t在t0的增量記作t=t-t0,微分dt=t,2.x(t)在x0(t)的增量記作x(t)=x(t)-x0(t)，x(t)稱x(t)的變分,3.y在t0的增量記作f=f(t0+t)-f(t0)，f的線性主部是函數的微分,記作dy，dy=f(t0)dt,3.泛函J(x(t)在x0(t)的增量記作J=J(x0(t)+x(t)-J(x0(t),J的線性主部稱泛函的變分,記作J(x0(t),泛函、泛函的變分和極值,函數、函數的微分和極值,泛函、泛函的變分和極值,4.若函數y在域內t點達到極值，則在t點的微分dy(t)=0,4.若泛函J(x(t)在函數集合內的x(t)達到極值,則在x(t)的變分J(x(t)=0,5.y在t的微分的另一表達式,5.泛函J(x(t)在x(t)的變分可以表為,泛函J(x(t)在x(t)達到極值的必要條件,歐拉方程(最簡泛函極值的必要條件),最簡泛函,F具有二階連續(xù)偏導數，x(t)為二階可微函數,固定端點條件下的泛函,J(x(t)在x(t)達到極值的必要條件:,x(t)滿足二階微分方程,兩個任意常數由確定,歐拉方程,用歐拉方程解速降線問題,求y(x)使達到最小,且,歐拉方程,圓滾線方程,c2=0,c1由y(x1)=y1確定.,橫截條件(變動端點問題),容許函數x(t)的一個端點固定:x(t1)=x1，另一個端點在給定曲線x=(t)上變動:x(t2)=(t2)(t2可變).,歐拉方程在變動端點的定解條件,x=(t)垂直于橫軸(t2固定),x=(t)平行于橫軸,包含多個未知函數泛函的歐拉方程,歐拉方程,泛函的條件極值,最優(yōu)控制問題:u(t)控制函數,x(t)狀態(tài)函數(軌線).,泛函的條件極值,用拉格朗日乘子化為無條件極值,歐拉方程,由方程組和端點條件解出最優(yōu)控制u(t)和最優(yōu)軌線x(t).,Hamilton函數,2生產計劃的制訂,問題,生產任務是在一定時間內提供一定數量的產品.,生產費用隨著生產率(單位時間的產量)的增加而變大.,貯存費用隨著已經生產出來的產量的增加而變大.,生產計劃用每一時刻的累積產量表示.,建模目的,尋求最優(yōu)生產計劃,使完成生產任務所需的總費用(生產費用與貯存費用之和)最小.,分析與假設,生產任務:t=0開始生產,t=T提供數量為Q的產品.,生產計劃(累積產量):x(t),生產率(單位時間產量):,生產費用,貯存費用,總費用,生產率提高一個單位的生產費用與生產率成正比,貯存費用與貯存量成正比,模型與求解,求x(t)(0,0tT)使C(x(t)最小.,歐拉方程,考察x(t)0(0tT)的條件,只有當生產任務Q足夠大時才需要從t=0開始生產.,若怎么辦?,模型解釋,最優(yōu)生產計劃,滿足方程,邊際成本,生產費用,貯存費用,邊際貯存,最優(yōu)生產計劃在邊際成本的變化率等于邊際貯存時達到.,生產計劃的制訂,最優(yōu)生產計劃的目標函數只考慮生產費用與貯存費用,并對這兩種費用作了最簡單的假設.,對于泛函極值問題用古典變分法求解,得到最優(yōu)生產計劃x(t)(累積產量)為二次函數.,實際條件x(t)0導致對已知參數的要求:,對函數施加的閉約束,如對生產率的限制可能導致古典變分法的失敗.,若參數不滿足該要求怎樣處理?,3國民收入的增長,背景和問題,國民經濟收入的來源:擴大再生產的積累資金,滿足人民生活需要的消費資金.,如何安排積累資金和消費資金的比例，使國民經濟收入得到最快的增長.,從最優(yōu)控制的角度討論十分簡化的模型.,一般模型,國民經濟收入x(t)，其中用于積累資金的部分y(t),求最優(yōu)積累率使國民收入x(t)在時間T內增長最快.,積累率u(t)=y(t)/x(t),國民收入增長率,對偶等價,泛函條件極值,哈密頓函數,求解最優(yōu)控制函數u(t)和最優(yōu)狀態(tài)x(t).,簡化模型,假設,討論函數f的具體、簡化形式,描述以上假設的最簡模型,國民收入相對增長率,積累率u較小時隨u的增加而增加積累資金擴大再生產的促進作用.,隨著u的變大的增加變慢.,u增加到一定程度后反而減小消費資金太少對國民收入的制約作用.,模型求解,對于最簡模型不必解泛函極值問題,可以直接得到u=a/2b時最大.,使國民收入x(t)增長最快的最優(yōu)積累率是常數u=a/2b,結果解釋,4漁船出海,背景和問題,繼續(xù)討論開發(fā)漁業(yè)資源的最大經濟效益模型.,用出海漁船數量表示捕撈強度,作為控制函數.,當漁場魚量增長到一定數量后才出海捕撈.,用特殊形式的控制函數將動態(tài)優(yōu)化問題化為普通的函數極值.,模型假設,x(t)的自然增長服從Logistic規(guī)律,單位時間捕撈量與u(t),x(t)成正比.,當t時才派漁船出海,且u(t)=U(常數).,魚的出售單價為p,每只漁船單位時間費用為c,折扣因子(通貨膨脹率)為.,漁場魚量x(t),漁船數量u(t),x(0)=N/K(K很大),t時x(t)保持穩(wěn)定.,建模與求解,泛函極值問題,目標函數:捕魚業(yè)的長期效益,函數極值問題,建模與求解,目標函數:捕魚業(yè)的長期效益,b(1)費用-價格比的下界,模型解釋,最優(yōu)解應在邊際收益等于邊際損失時達到,單位時間利潤,短期利潤的增加:,長期收益的減少:,漁船出海,以漁船數量u(t)為控制函數的最大效益模型泛函極值.,假定u(t)的特殊形式,化為函數極值.,u(t)假定的合理性:泛函極值問題的解正是取這種形式.,最優(yōu)解在邊際收益等于邊際損失時達到,是短期利益與長期利益取得折中的結果.,5賽跑的速度,背景和問題,將賽程分成若干階段,根據賽跑運動員的生理條件對各階段的速度作最恰當的安排,以期獲得最好的成績.,Keller提出一個簡單模型(1974),根據4個生理參數從最優(yōu)控制的角度確定各階段的速度函數,并可以預測比賽成績.,尋求速度安排的最佳策略是復雜的生理力學問題.,問題分析,運動員在賽跑中要克服體內外的阻力以達到和保持一定速度,需要發(fā)揮向前的沖力.,這些能量怎樣分配到賽跑的各個階段,并在到達終點前將其全部用完.,為沖力作功提供能量的來源:賽跑前貯存在體內的能量,賽跑中通過氧的代謝作用產生的能量.,模型要確定的3個關系:,沖力與速度,沖力作功與能量來源,速度與比賽成績,將最佳成績歸結成以距離為目標,與速度、沖力、能量等函數有關的極值問題.,模型假設,賽跑中體內外的阻力與速度成正比,比例系數-1,賽跑中在氧的代謝下單位時間產生的能量是常數,賽跑前貯存在體內供賽跑的能量是常數E0,運動員能發(fā)揮的最大沖力是F,運動員具有單位質量，初速為零.,比賽成績：“一定距離下時間最短”等價為“一定時間內距離最大”.,一般模型,以速度v(t)在時間T內跑完賽程D,阻力與速度成正比,比例系數-1,單位質量運動員，初速為零,運動員的最大沖力是F,單位時間產生的能量是,賽跑前貯存的能量是E0,運動員賽跑速度v(t),體內能量E(t),D固定,求v(t)使T最小,以D(v(t)為目標的泛函條件極值(,F,E0為已知參數),短跑模型,用最大沖力F跑全程,可取得最好成績,最長的短跑賽程以體內能量E(t)不小于零為標準,v小E增加,v大E減少,最遠距離(最長的短跑賽程)為,短跑模型,Keller根據當時的世界記錄得到F,的估計值:,后來根據1987年約翰遜的百米成績(9.83s)修正參數:,估計用最大沖力跑全程時最長的短跑賽程,中長跑模型,當賽程超過Dc時不能用最大沖力跑全程,將賽程分為3個階段:,初始階段(0tt1)用最大沖力跑,在短時間獲得高速度.,中間階段(t1tt2)保持勻速.,最后階段(t2tT)把體內能量用完,靠慣性沖刺.,問題:確定t1,t2及3個階段的速度v1(t),v2(t),v3(t),中長跑模型,初始階段用最大沖力跑,與短跑模型相同,t1待定,最后階段把體內能量用完,E(t)=0,中間階段保持勻速,t2,v2待定,中長跑模型,中間階段,在條件E(t2)=0下求v(t)使D(v(t)最大,t1,t2,v2待定,中長跑模型,引入乘子化為無條件極值,泛函極值必要條件,確定t1,t2,v2,模型解釋,中長跑模型3段速度示意圖,賽跑的最佳策略是最后把體內能量全部用完,靠慣性沖刺,這必然導致速度的短暫下降,單從賽跑的時間看(不考慮比賽的策略),這樣做是最優(yōu)的.,Keller對一般模型提出分段解法,不能證明是最優(yōu)的,但它是合理的簡化,在將動力學與生理學相結合,用建模方法探討體育問題上提供了范例.,最后一段(通常一兩秒鐘)速度有所下降,6多階段最優(yōu)生產計劃,離散動態(tài)優(yōu)化問題,動態(tài)規(guī)劃模型是有效方法,問題,考察T個時段某產品的生產計劃,生產準備費c0,單件生產成本k,單件每時段存貯費h0,每時段最大生產能力Xm,每時段最大存貯量Im,第1時段初有庫存量i1,制訂產品生產計劃(每時段產量)使T個時段的總費用最小,已知需求量dt(t=1,2,T),例T=3,d1=2,d2=1,d3=2,Xm=4,c0=3,k=2,h0=1,Im=3,i1=1,確定需求問題,分析與求解,生產費用,時段t初的存貯量it,時段t+1初的存貯量it+1=it+xt-dt,時段t的存貯費h(it)=h0(it+xt-dt)=it+xt-dt,時段t的產量xt(t=1,2,3),xtXm=4，itIm=3,需求量dt,準備費c0=3,成本k=2,存貯費h0=1,最大生產能力Xm=4,最大存貯量Im=3,將多時段生產計劃問題簡化為多個單時段問題,由后向前分解,時段3初的存貯量i3,產量x3(i3),最小費用f3(i3),1.最后時段(時段3),需求量d3=2,f3(0)=c(2)=3+22=7,為使3個時段的總費用最小，時段3末的存貯量應為0,i3=0,f3(1)=c(1)=3+21=5,f3(2)=c(0)=0,x3(0)=2,i3=1,x3(1)=1,i3=2,x3(2)=0,分析與求解,2.時段2,需求量d2=1,時段2初存貯量i2,產量x2(i2),時段2,3最小費用之和,時段2的費用:c(x2)+h(i2),i3=i2+x2-1,1i2+x23,3.時段1,時段1初存貯量i1=1,產量x1(i1),需求量d1=2,時段13最小費用之和,時段1的費用:c(x1)+h(i1),i2=i2+x2-2,2i2+x25,f1(1)=15,x1(1)=2,i2=i1+x1-2=1+2-2=1,i3=i2+x2-1=1+0-1=0,最優(yōu)生產計劃：3個時段的產量為x1=2，x2=0，x3=2,x2(i2)=x2(1)=0,x3(0)=2,最短路問題,多階段生產計劃,尋找最短路,2,各路段站點:i1=1,i2=0,1,2,3,i3=0,1,2,i4=0,兩站點距離:本時段生產費與存貯費之和,路段3各站點到終點的最短距離:f3(i3),路段2各站點到終點的最短距離:f2(i2),路段1站點1到終點的最短距離:f1(1),最短路:i1=1,x1(1)=2i2=1,x2(1)=0i3=0,x3(0)=2i4=0,它的子路徑如i2=1i3=0i4=0也是最短路,確定需求下多時段(T時段)生產計劃的一般模型,最大生產能力Xm,最大存貯量Im,第1時段初庫存量i1,需求量dt,產量xt,存貯量it,生產費c(xt),存貯費h(it),1.根據對時段T末存貯量的要求，確定fT+1(iT+1),2.時段從后向前地計算最小費用，遞推公式：,f1(i1)為總費用最小值,3.時段從前向后地確定最優(yōu)生產計劃:由i1,xt(it)及it+1=it+xt(it)-dt得到xt,動態(tài)規(guī)劃模型,隨機需求下的多階段生產計劃,需求量隨機,存貯量隨機,存貯費及總費用隨機,優(yōu)化目標是總費用的期望最小,隨機動態(tài)規(guī)劃模型,隨機需求:P(dt=1)=1/3,P(dt=2)=2/3(t=1,2,3),存貯費的期望值Eh(it)=h0E(it+xt-dt)=(it+xt-1)P(dt=1)+(it+xt-2)P(dt=2)=(it+xt-1)/3+2(it+xt-2)/3=it+xt-5/3,對于存貯量i3,計劃結束時出售剩余量得到的回報為s(i3),期望值Es(i3)=1.5(i3+x3-1)/3+2(i3+x3-2)/3=1.5(i3+x3)-2.5,計劃結束時存貯量隨機,假定剩余存貯量以1.5的價格出售,隨機需求下的多階段生產計劃,1.最后時段(時段3),時段3初的存貯量i3,產量x3(i3),期望費用最小值f3(i3),Es(i3)=1.5(i3+x3)-2.5,P(dt=1)=1/3,P(dt=2)=2/3,f3(0)=c(2)-Es(0)=7-1/2=13/2,x3(0)=2,f3(1)=c(1)-Es(1)=5-1/2=9/2,x3(1)=1,f3(2)=c(0)-Es(2)=0-1/2=-1/2,x3(2)=0,f3(3)=c(0)-Es(3)=0-2=-2,x3(3)=0,計算,2.時段2,時段2,3期望費用最小值,2i2+x24,x2Xm,i2Im,3.時段1,時段1初存貯量i1=1,2i1+x14,時段13期望費用最小值,x2(i2)=0,d1=1,i2=1+3-1=3,d1=2,i2=1+3-2=2,x2(i2)=0,x3(i3)=0,d2=1,i3=3+0-1=2,d2=2,i3=3+0-2=1,x3(i3)=1,x3(i3)=1,d2=1,i3=2+0-1=1,d2=2,i3=2+0-2=0,x3(i3)=2,隨機需求下多階段生產計劃,確定性需求下的最優(yōu)生產計劃在開始時已完全確定:x