第21屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽題.doc

題號一二三四五六七總分得分閱卷人第21屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽題試卷K3K2P1 V1 CCP0 V0EFGIHK1本卷共七題，滿分140分.一、(20分)薄膜材料氣密性能的優(yōu)劣常用其透氣系數(shù)來加以評判對于均勻薄膜材料，在一定溫度下，某種氣體通過薄膜滲透過的氣體分子數(shù)，其中t為滲透持續(xù)時間，S為薄膜的面積，d為薄膜的厚度，為薄膜兩側(cè)氣體的壓強差k稱為該薄膜材料在該溫度下對該氣體的透氣系數(shù)透氣系數(shù)愈小，材料的氣密性能愈好圖為測定薄膜材料對空氣的透氣系數(shù)的一種實驗裝置示意圖EFGI為滲透室，U形管左管上端與滲透室相通，右管上端封閉；U形管內(nèi)橫截面積A0.150cm2實驗中，首先測得薄膜的厚度d =0.66mm，再將薄膜固定于圖中處，從而把滲透室分為上下兩部分，上面部分的容積，下面部分連同U形管左管水面以上部分的總?cè)莘e為V1，薄膜能夠透氣的面積S =1.00cm2打開開關(guān)K1、K2與大氣相通，大氣的壓強P11.00atm，此時U形管右管中氣柱長度，關(guān)閉K1、K2后，打開開關(guān)K3，對滲透室上部分迅速充氣至氣體壓強，關(guān)閉K3并開始計時兩小時后， U形管左管中的水面高度下降了實驗過程中，始終保持溫度為求該薄膜材料在時對空氣的透氣系數(shù)（本實驗中由于薄膜兩側(cè)的壓強差在實驗過程中不能保持恒定，在壓強差變化不太大的情況下，可用計時開始時的壓強差和計時結(jié)束時的壓強差的平均值來代替公式中的普適氣體常量R = 8.31Jmol-1K-1，1.00atm = 1.013105Pa）二、(20分) 兩顆人造衛(wèi)星繞地球沿同一橢圓軌道同向運動，它們通過軌道上同一點的時間相差半個周期已知軌道近地點離地心的距離是地球半徑R的2倍，衛(wèi)星通過近地點時的速度，式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量衛(wèi)星上裝有同樣的角度測量儀，可測出衛(wèi)星與任意兩點的兩條連線之間的夾角試設(shè)計一種測量方案，利用這兩個測量儀測定太空中某星體與地心在某時刻的距離（最后結(jié)果要求用測得量和地球半徑R表示）三、(15分)m子在相對自身靜止的慣性參考系中的平均壽命宇宙射線與大氣在高空某處發(fā)生核反應(yīng)產(chǎn)生一批m子，以v = 0.99c的速度（c為真空中的光速）向下運動并衰變根據(jù)放射性衰變定律，相對給定慣性參考系，若t = 0時刻的粒子數(shù)為N(0), t時刻剩余的粒子數(shù)為N(t)，則有，式中t為相對該慣性系粒子的平均壽命若能到達(dá)地面的m子數(shù)為原來的5，試估算m子產(chǎn)生處相對于地面的高度h不考慮重力和地磁場對m子運動的影響四、(20分)目前，大功率半導(dǎo)體激光器的主要結(jié)構(gòu)形式是由許多發(fā)光區(qū)等距離地排列在一條直線上的長條狀，通常稱為激光二極管條但這樣的半導(dǎo)體激光器發(fā)出的是很多束發(fā)散光束，光能分布很不集中，不利于傳輸和應(yīng)用為了解決這個問題，需要根據(jù)具體應(yīng)用的要求，對光束進(jìn)行必需的變換（或稱整形）如果能把一個半導(dǎo)體激光二極管條發(fā)出的光變換成一束很細(xì)的平行光束，對半導(dǎo)體激光的傳輸和應(yīng)用將是非常有意義的為此，有人提出了先把多束發(fā)散光會聚到一點，再變換為平行光的方案，其基本原理可通過如下所述的簡化了的情況來說明zLS1S3PaaS2ahh如圖，S1、S2、S3 是等距離（h）地排列在一直線上的三個點光源，各自向垂直于它們的連線的同一方向發(fā)出半頂角為a =arctan的圓錐形光束請使用三個完全相同的、焦距為f = 1.50h、半徑為r =0.75 h的圓形薄凸透鏡，經(jīng)加工、組裝成一個三者在同一平面內(nèi)的組合透鏡，使三束光都能全部投射到這個組合透鏡上，且經(jīng)透鏡折射后的光線能全部會聚于z軸（以S2為起點，垂直于三個點光源連線，與光束中心線方向相同的射線）上距離S2為 L = 12.0 h處的P點（加工時可對透鏡進(jìn)行外形的改變，但不能改變透鏡焦距）1求出組合透鏡中每個透鏡光心的位置2說明對三個透鏡應(yīng)如何加工和組裝，并求出有關(guān)數(shù)據(jù)rP2P1qRAOaa五、(20分)如圖所示，接地的空心導(dǎo)體球殼內(nèi)半徑為R，在空腔內(nèi)一直徑上的P1和P2處，放置電量分別為q1和q2的點電荷，q1q2q，兩點電荷到球心的距離均為a由靜電感應(yīng)與靜電屏蔽可知：導(dǎo)體空腔內(nèi)表面將出現(xiàn)感應(yīng)電荷分布，感應(yīng)電荷電量等于2q空腔內(nèi)部的電場是由q1、q2和兩者在空腔內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的由于我們尚不知道這些感應(yīng)電荷是怎樣分布的，所以很難用場強疊加原理直接求得腔內(nèi)的電勢或場強但理論上可以證明，感應(yīng)電荷對腔內(nèi)電場的貢獻(xiàn)，可用假想的位于腔外的（等效）點電荷來代替（在本題中假想(等效)點電荷應(yīng)為兩個），只要假想的（等效）點電荷的位置和電量能滿足這樣的條件，即：設(shè)想將整個導(dǎo)體殼去掉，由q1在原空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷的假想（等效）點電荷與q1共同產(chǎn)生的電場在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點的電勢皆為0；由q2在原空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷的假想（等效）點電荷與q2共同產(chǎn)生的電場在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點的電勢皆為0這樣確定的假想電荷叫做感應(yīng)電荷的等效電荷，而且這樣確定的等效電荷是唯一的等效電荷取代感應(yīng)電荷后，可用等效電荷、和q1、q2來計算原來導(dǎo)體存在時空腔內(nèi)部任意點的電勢或場強1試根據(jù)上述條件，確定假想等效電荷、的位置及電量2求空腔內(nèi)部任意點A的電勢UA已知A點到球心O的距離為r，與的夾角為q ABCp-aDE六、(20分)如圖所示，三個質(zhì)量都是m的剛性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（圖中紙面），A、B之間，B、C之間分別用剛性輕桿相連，桿與A、B、C的各連接處皆為“鉸鏈?zhǔn)健钡模ú荒軐π∏虍a(chǎn)生垂直于桿方向的作用力）已知桿AB與BC的夾角為p-a ，a p/2DE為固定在桌面上一塊擋板，它與AB連線方向垂直現(xiàn)令A(yù)、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB連線方向向DE運動，已知在C與擋板碰撞過程中C與擋板之間無摩擦力作用，求碰撞時當(dāng)C沿垂直于DE方向的速度由v變?yōu)?這一極短時間內(nèi)擋板對C的沖量的大小xO yv0cabyd七、（25分）如圖所示，有二平行金屬導(dǎo)軌，相距l(xiāng)，位于同一水平面內(nèi)（圖中紙面），處在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，磁場方向豎直向下（垂直紙面向里）質(zhì)量均為m的兩金屬桿ab和cd放在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直初始時刻， 金屬桿ab和cd分別位于x = x0和x = 0處假設(shè)導(dǎo)軌及金屬桿的電阻都為零，由兩金屬桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù)為L今對金屬桿ab施以沿導(dǎo)軌向右的瞬時沖量，使它獲得初速設(shè)導(dǎo)軌足夠長，也足夠大，在運動過程中，兩金屬桿之間距離的變化遠(yuǎn)小于兩金屬桿的初始間距，因而可以認(rèn)為在桿運動過程中由兩金屬桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù)L是恒定不變的桿與導(dǎo)軌之間摩擦可不計求任意時刻兩桿的位置xab和xcd以及由兩桿和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路中的電流i三者各自隨時間t的變化關(guān)系第21屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽題參考解答一、開始時U形管右管中空氣的體積和壓強分別為 V2 = HA （1）p2= p1 經(jīng)過2小時，U形管右管中空氣的體積和壓強分別為 （2） （3）滲透室下部連同U形管左管水面以上部分氣體的總體積和壓強分別為（4）（5）式中r 為水的密度，g為重力加速度由理想氣體狀態(tài)方程可知，經(jīng)過2小時，薄膜下部增加的空氣的摩爾數(shù)（6）在2個小時內(nèi)，通過薄膜滲透過去的分子數(shù) （7）式中NA為阿伏伽德羅常量滲透室上部空氣的摩爾數(shù)減少，壓強下降下降了Dp（8）經(jīng)過2小時滲透室上部分中空氣的壓強為（9）測試過程的平均壓強差 （10）根據(jù)定義，由以上各式和有關(guān)數(shù)據(jù)，可求得該薄膜材料在0時對空氣的透氣系數(shù)（11）評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分二、如圖，衛(wèi)星繞地球運動的軌道為一橢圓，地心位于軌道橢圓的一個焦點O處，設(shè)待測量星體位于C處根據(jù)題意，當(dāng)一個衛(wèi)星運動到軌道的近地點A時，另一個衛(wèi)星恰好到達(dá)遠(yuǎn)地點B處，只要位于A點的衛(wèi)星用角度測量儀測出AO和AC的夾角a1，位于B點的衛(wèi)星用角度測量儀測出BO和BC的夾角a2，就可以計算出此時星體C與地心的距離OC因衛(wèi)星橢圓軌道長軸的長度 (1)式中r近、與r遠(yuǎn)分別表示軌道近地點和遠(yuǎn)地點到地心的距離由角動量守恒ABOa1 (2)式中m為衛(wèi)星的質(zhì)量由機械能守恒 (3)已知C， 得(4)所以(5)在ABC中用正弦定理(6)所以(7)地心與星體之間的距離為，在BOC中用余弦定理(8)由式(4)、(5)、(7)得(9)評分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分三、因m子在相對自身靜止的慣性系中的平均壽命根據(jù)時間膨脹效應(yīng)，在地球上觀測到的m子平均壽命為t，(1)代入數(shù)據(jù)得t = 1.4105s(2)相對地面，若m子到達(dá)地面所需時間為t，則在t時刻剩余的m子數(shù)為(3)根據(jù)題意有(4)對上式等號兩邊取e為底的對數(shù)得(5)代入數(shù)據(jù)得(6)根據(jù)題意，可以把m子的運動看作勻速直線運動，有(7)代入數(shù)據(jù)得(8) 評分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分 (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分 zaLS1PaS2ahhS3O1O2(S2)O3圖1MMu四、1考慮到使3個點光源的3束光分別通過3個透鏡都成實像于P點的要求，組合透鏡所在的平面應(yīng)垂直于z軸，三個光心O1、O2、O3的連線平行于3個光源的連線，O2位于z軸上，如圖1所示圖中表示組合透鏡的平面，、為三個光束中心光線與該平面的交點 u就是物距根據(jù)透鏡成像公式 (1)可解得 因為要保證經(jīng)透鏡折射后的光線都能全部會聚于P點，來自各光源的光線在投射到透鏡之前不能交叉，必須有2utana h即u2h在上式中取“”號，代入f 和L的值，算得 1.757h (2)此解滿足上面的條件 分別作3個點光源與P點的連線為使3個點光源都能同時成像于P點，3個透鏡的光心O1、O2、O3應(yīng)分別位于這3條連線上（如圖1）由幾何關(guān)系知，有 (3) 即光心O1的位置應(yīng)在之下與的距離為(4)同理，O3的位置應(yīng)在之上與的距離為0.146h處由(3)式可知組合透鏡中相鄰薄透鏡中心之間距離必須等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P點2現(xiàn)在討論如何把三個透鏡L1、L2、L3加工組裝成組合透鏡因為三個透鏡的半徑r = 0.75h，將它們的光心分別放置到O1、O2、O3處時，由于0.854h0時，ab桿位于其初始位置的右側(cè)；當(dāng)X0時，ab桿位于其初始位置的左側(cè)代入(14)式，得(16) 這時作用于ab桿的安培力(17)ab桿在初始位置右側(cè)時，安培力的方向指向左側(cè)；ab桿在初始位置左側(cè)時，安培力的方向指向右側(cè)，可知該安培力具有彈性力的性質(zhì)金屬桿ab的運動是簡諧振動，振動的周期(18) 在任意時刻t， ab桿離開其初始位置的位移(19) A為簡諧振動的振幅，j 為初相位，都是待定的常量通過參考圓可求得ab桿的振動速度 (20) (19)、(20)式分別表示任意時刻ab桿離開初始位置的位移和運動速度現(xiàn)已知在t0時刻，ab桿位于初始位置，即 X = 0速度 故有 解這兩式，并注意到(18)式得 (21) (22) 由此得ab桿的位移（23）由 (15) 式可求得ab桿在系中的位置(24) 因相對質(zhì)心，任意時刻ab桿和cd桿都在質(zhì)心兩側(cè)，到質(zhì)心的距離相等，故在系中，cd桿的位置 (25) 相對地面參考系S，質(zhì)心以的速度向右運動，并注意到（18）式，得ab桿在地面參考系中的位置(26)cd桿在S系中的位置（27） 回路中的電流由 (16) 式得(28)解法：當(dāng)金屬桿在磁場中運動時，因切割磁力線而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，回路中出現(xiàn)電流時，兩金屬桿都要受到安培力的作用，安培力使ab桿的速度改變，使cd桿運動設(shè)任意時刻t，兩桿的速度分別為v1和v2（相對地面參考系S），若規(guī)定逆時針方向為回路電動勢和電流的正方向，則由兩金屬桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路中，因桿在磁場中運動而出現(xiàn)的感應(yīng)電動勢為(1)令u表示ab桿相對于cd桿的速度，有(2)當(dāng)回路中的電流i變化時，回路中有自感電動勢EL，其大小與電流的變化率成正比，即有(3)根據(jù)歐姆定律，注意到回路沒有電阻，有由式(2)、(3)兩式得(4)設(shè)在t時刻，金屬桿ab相對于cd桿的距離為，在tDt時刻，ab相對于cd桿的距離為，則由速度的定義，有(5)代入 () 式得(6)若將視為i的函數(shù)，由(6)式可知，為常量，所以與i的關(guān)系可以用一直線方程表示，即 (7)式中b為常數(shù)，其值待定現(xiàn)已知在t0時刻，金屬桿ab相對于cd桿的距離為，這時i = 0，故得(8)或(9)表示t0時刻金屬桿ab相對于cd桿的位置表示在任意時刻t時ab桿相對于cd桿的位置，故就是桿ab在t時刻相對于cd桿的相對位置相對于它們在t0時刻的相對位置的位移，即從t0到tt時間內(nèi)ab桿相對于cd桿的位移(10)于是有(11)任意時刻t，ab桿和cd桿因受安培力作用而分別有加速度aab和acd，由牛頓定律有(12)(13)兩式相減并注意到()式得(14)式中為金屬桿ab相對于cd桿的加速度，而X是ab桿相對cd桿相對位置的位移是常數(shù)，表明這個相對運動是簡諧振動，它的振動的周期(15)在任意時刻t，ab桿相對cd桿相對位置相對它們初始位置的位移(16)A為簡諧振動的振幅，j 為初相位，都是待定的常量通過參考圓可求得X隨時間的變化率即速度 (17)現(xiàn)已知在t0時刻，桿位于初始位置，即X = 0，速度故有 解這兩式，并注意到(15) 式得 由此得(18)因t = 0時刻，cd桿位于x = 0 處，ab桿位于x = x0 處，兩者的相對位置由x0表示；設(shè)t時刻，cd桿位于x = xcd 處，ab桿位于x = xab處，兩者的