1993全國高考理科數(shù)學(xué)試題

1993年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分第卷1至3頁，第卷4至9頁，共150分考試時間120分鐘第卷(選擇題共68分)注意事項：1答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上3考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回一、選擇題：本大題共17小題；每小題4分，共68分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的(1)函數(shù)f (x)=sinx+cosx的最小正周期是( )(A) 2(B) (C) (D) (2)如果雙曲線的焦距為6，兩條準(zhǔn)線間的距離為4，那么該雙曲線的離心率為( )(A) (B) (C) (D) 2(3)和直線3x4y+5=0關(guān)于x軸對稱的直線的方程為( )(A) 3x+4y5=0(B) 3x+4y+5=0(C) 3x+4y5=0(D) 3x+4y+5=0(4)極坐標(biāo)方程所表示的曲線是( )(A) 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為的橢圓(B) 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為的雙曲線右支(C) 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為的橢圓(D) 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為的雙曲線右支(5)在1，1上是( )(A) 增函數(shù)且是奇函數(shù)(B) 增函數(shù)且是偶函數(shù)(C) 減函數(shù)且是奇函數(shù)(D) 減函數(shù)且是偶函數(shù)(6)的值為( )(A) (B) (C) (D) (7) 集合，則( )(A) M=N(B) (C) (D) (8)sin20cos70+sin10sin50的值是( )(A) (B) (C) (D) (9)參數(shù)方程 表示( )(A) 雙曲線的一支，這支過點(diǎn)(B) 拋物線的一部分，這部分過(C) 雙曲線的一支，這支過點(diǎn)(D) 拋物線的一部分，這部分過(10)若a、b是任意實(shí)數(shù)，且ab，則( )(A) a2b2(B) (C) lg(ab)0(D) (11)一動圓與兩圓x2+y2=1和x2+y28x+12=0都外切，則動圓圓心軌跡為( )(A) 圓(B) 橢圓(C) 雙曲線的一支(D) 拋物線(12)圓柱軸截面的周長l為定值，那么圓柱體積的最大值是( )(A) (B) (C) (D) (13)(+1)4(x1)5展開式中x4的系數(shù)為( )(A) 40(B) 10(C) 40(D) 45(14)直角梯形的一個內(nèi)角為45，下底長為上底長的，這個梯形繞下底所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的全面積為(5+)，則旋轉(zhuǎn)體的體積為( )(A) 2(B) (C) (D) (15)已知a1，a2，a8為各項都大于零的等比數(shù)列，公式q1，則( )(A) a1+ a8 a4+ a5(B) a1+ a80，a1)()求f (x)的定義域；()判斷f (x)的奇偶性并予以證明；()求使f (x)0的x取值范圍(25)(本小題滿分12分)已知數(shù)列Sn為其前n項和計算得 觀察上述結(jié)果，推測出計算Sn的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明(26)(本小題滿分12分)已知：平面平面=直線a，同垂直于平面，又同平行于直線b求證：()a；()b(27)(本小題滿分12分)在面積為1的PMN中，tgPMN=，tgMNP=2建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M，N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方程(28)(本小題滿分12分)設(shè)復(fù)數(shù)，并且，求1993年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類)參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評分細(xì)則2對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算每小題4分，滿分68分(1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)D (14)D (15)A (16)C (17)B 二、填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算每小題4分，滿分24分(18) (19)k|k| (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30三、解答題(24)本小題考查函數(shù)的奇偶性、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)和解法等基本知識及運(yùn)算能力滿分12分解 ()由對數(shù)函數(shù)的定義知 1分如果，則1x1，loga等價于， 而從()知1x0，故等價于1+x1x，又等價于x0故對a1，當(dāng)x(0，1)時有f(x)0 9分()對0a1，loga等價于00，故等價于1x0故對0a0 12分(25)本小題考查觀察、分析、歸納的能力和數(shù)學(xué)歸納法滿分10分解 4分證明如下：()當(dāng)n=1時，等式成立 6分()設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即 7分則 由此可知，當(dāng)n=k+1時等式也成立 9分根據(jù)()()可知，等式對任何nN都成立 10分(26)本小題考查直線與平面的平行、垂直和兩平面垂直的基礎(chǔ)知識，及空間想象能力和邏輯思維能力滿分12分證法一()設(shè)=AB，=AC在內(nèi)任取一點(diǎn)P并于內(nèi)作直線PMAB，PNAC 1分 ， PM而 a， PMa同理PNa 4分又 PM，PN， a 6分()于a上任取點(diǎn)Q，過b與Q作一平面交于直線a1，交于直線a2 7分 b， ba1同理ba2 8分 a1，a2同過Q且平行于b， a1，a2重合又 a1，a2， a1，a2都是、的交線，即都重合于a 10分 ba1， ba而a， b 12分注：在第部分未證明ba而直接斷定b的，該部分不給分證法二()在a上任取一點(diǎn)P，過P作直線a 1分 ，P， a同理a 3分可見a是，的交線因而a重合于a 5分又 a， a 6分()于內(nèi)任取不在a上的一點(diǎn)，過b和該點(diǎn)作平面與交于直線c同法過b作平面與交于直線d 7分 b，b bc，bd 8分又 c，d，可見c與d不重合因而cd于是c 9分 c，c，=a， ca 10分 bc，ac，b與a不重合(b，a)， ba 11分而 a， b 12分注：在第部分未證明ba而直接斷定b的，該部分不給分(27)本小題主要考查坐標(biāo)系、橢圓的概念和性質(zhì)、直線方程以及綜合應(yīng)用能力滿分12分解法一如圖，以MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)以M，N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方程為，焦點(diǎn)為M (c，0)，N (c，0) 1分由tgM=，tg=tg(MNP)=2，得直線PM和直線PN的方程分別為y=(x+c)和y=2(xc)將此二方程聯(lián)立，解得x=c，y=c，即P點(diǎn)坐標(biāo)為(c，c) 5分在MNP中，|MN|=2c，MN上的高為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，故由題設(shè)條件SMNP=1， c=，即P點(diǎn)坐標(biāo)為 7分由兩點(diǎn)間的距離公式， 得 10分又 b2=a2c2=，故所求橢圓方程為 12分解法二同解法一得，P點(diǎn)的坐標(biāo)為 7分 點(diǎn)P在橢圓上，且a2=b2+c2 化簡得3b48b23=0解得b2=3，或b2= (舍去) 10分又 a2=b2+c2=3+故所求橢圓方程為 12分解法三同解法一建立坐標(biāo)系 1分 P=PMN， P為銳角 sinP=，cosP=而 SMNP=|PM|PN|sinP=1， |PM|PN|= 4分 |PM|+|PN|=2a，|MN|=2c，由余弦定理，(2c)2=|PM|2+|PN|22|PM|PN|cosP=(|PM|+|PN|)22|PM|PN|(1+cosP)=(2a)222， c2=a23，即b2=3 7分又 sinM=，sinN=，由正弦定理， 即 ， a=c 10分 a2=b2+c2=3+ a2=故所求橢圓方程為 12分(28)本小題考查復(fù)數(shù)