與球有關(guān)的切、接問題(有答案).doc

與球有關(guān)的切、接問題 1球的表面積公式：S4R2；球的體積公式VR32與球有關(guān)的切、接問題中常見的組合：(1)正四面體與球：如圖，設(shè)正四面體的棱長為a，內(nèi)切球的半徑為r，外接球的半徑為R，取AB的中點(diǎn)為D，連接CD，SE為正四面體的高，在截面三角形SDC內(nèi)作一個(gè)與邊SD和DC相切，圓心在高SE上的圓因?yàn)檎拿骟w本身的對(duì)稱性，內(nèi)切球和外接球的球心同為O.此時(shí)，COOSR，OEr，SE a，CEa，則有Rr a，R2r2|CE|2，解得Ra，ra.(2)正方體與球：正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，如圖所示設(shè)正方體的棱長為a，則|OJ|r(r為內(nèi)切球半徑)與正方體各棱相切的球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，則|GO|Ra.正方體的外接球：截面圖為正方形ACC1A1的外接圓，則|A1O|Ra.(3)三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐的外接球：如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)正方體，正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心即三棱錐A1AB1D1的外接球的球心和正方體ABCDA1B1C1D1的外接球的球心重合如圖，設(shè)AA1a，則Ra.如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直但不相等，則可以補(bǔ)形為一個(gè)長方體，長方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心R2(l為長方體的體對(duì)角線長)角度一：正四面體的內(nèi)切球1(2015長春模擬)若一個(gè)正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則_.解析：設(shè)正四面體棱長為a，則正四面體表面積為S14a2a2，其內(nèi)切球半徑為正四面體高的，即raa，因此內(nèi)切球表面積為S24r2，則.角度二：直三棱柱的外接球2(2015唐山統(tǒng)考)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上，ABAC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1A1的面積為()A2 B1 C. D.解析：選C由題意知，球心在側(cè)面BCC1B1的中心O上，BC為截面圓的直徑，BAC90，ABC的外接圓圓心N是BC的中點(diǎn)，同理A1B1C1的外心M是B1C1的中心設(shè)正方形BCC1B1的邊長為x，RtOMC1中，OM，MC1，OC1R1(R為球的半徑)，221，即x，則ABAC1，S矩形ABB1A11.角度三：正方體的外接球3一個(gè)正方體削去一個(gè)角所得到的幾何體的三視圖如圖所示(圖中三個(gè)四邊形都是邊長為2的正方形)，則該幾何體外接球的體積為_解析：依題意可知，新的幾何體的外接球也就是原正方體的外接球，要求的直徑就是正方體的體對(duì)角線；2R2(R為球的半徑)，R，球的體積VR34.答案：4角度四：四棱錐的外接球4(2014大綱卷)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為()A. B16 C9 D.解析：選A如圖所示，設(shè)球半徑為R，底面中心為O且球心為O，正四棱錐PABCD中AB2，AO.PO4，在RtAOO中，AO2AO2OO2，R2()2(4R)2，解得R，該球的表面積為4R242，故選A.類題通法“切”“接”問題的處理規(guī)律1“切”的處理解決與球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對(duì)角面來作2“接”的處理把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問題解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑牛刀小試1(2015云南一檢)如果一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是半徑等于5的圓，那么這個(gè)空間幾何體的表面積等于()A100 B. C25 D.解析：選A易知該幾何體為球，其半徑為5，則表面積為S4R2100.2(2014陜西高考)已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為()A. B4 C2 D.解析：選D因?yàn)樵撜睦庵耐饨忧虻陌霃绞撬睦庵w對(duì)角線的一半，所以半徑r1，所以V球13.故選D.3已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，當(dāng)正六棱柱的底面邊長為時(shí)，其高的值為()A3 B. C2 D2解析：選D設(shè)正六棱柱的高為h，則可得()232，解得h2.4(2015山西四校聯(lián)考)將長、寬分別為4和3的長方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到四面體ABCD，則四面體ABCD的外接球的體積為_解析：設(shè)AC與BD相交于O，折起來后仍然有OAOBOCOD，外接球的半徑r，從而體積V3.5一個(gè)圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點(diǎn)和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為_解析：設(shè)等邊三角形的邊長為2a，則V圓錐a2aa3；又R2a2(aR)2，所以Ra，故 V球3a3，則其體積比為.高考全國課標(biāo)卷真題追蹤1（15課標(biāo)1理）已知是球的球面上兩點(diǎn)，,為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（ C ）(A) (B) (C) (D)2.（13課標(biāo)1理）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如不計(jì)容器的厚度,則球的體積為( A ) （A） （B） （C） （D） 3.（12課標(biāo)理）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,是邊長為的正三角形,為球的直徑,且,則此棱錐的體積為（ A ）(A) (B) (C) （D）4.（12課標(biāo)文）平面截球的球面所得圓的半徑為1,球心到平面的距離為,則此球的體積為 （ B ）（A） （B）4 （C）4 （D）65.（10新課標(biāo)理）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱長都為,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為( B )(A) (B) (C) (D) 6.（10新課標(biāo)文）設(shè)長方體的長、寬、高分別為,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為( B ) （A） （B） （C） （D） 7（07新課標(biāo)文）已知三棱錐的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為的球面上,球心在上,底面,則球的體積與三棱錐體積之比是（）. . . .8.（13新課標(biāo)2文）已知正四棱錐的體積為,底面邊長為,則以為球心,為半徑的球的表面積為。9.（13新課標(biāo)1文）已知是球的直徑上一點(diǎn),平面,為垂足,截球所得截面的面積為,則球的表面積為_。10.（11新課標(biāo)理）已知矩形的頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上,且,則棱錐的體積為.11.（11新課標(biāo)文）已知兩個(gè)圓錐有公共底面,且兩圓錐