常微分方程的基本概念

1.微分方程的基本概念,2.一階常微分方程3.二階線性微分方程,十七世紀(jì)末，力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)提出大量需要尋求函數(shù)關(guān)系的問(wèn)題。在這些問(wèn)題中，函數(shù)關(guān)系不能直接寫(xiě)出來(lái)，而要根據(jù)具體問(wèn)題的條件和某些物理定律，首先得到一個(gè)或幾個(gè)含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即微分方程，然后由微分方程和某些已知條件把未知函數(shù)求出來(lái)。,學(xué)科背景,解,A.求曲線方程,問(wèn)題的提出：,一質(zhì)點(diǎn)在重力作用下自由下落（不計(jì)空氣阻力），試求質(zhì)點(diǎn)下落距離S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。解：將質(zhì)點(diǎn)的初始位置取為原點(diǎn)，沿質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向取正向。已知自由落體的加速度為g,即：,B.質(zhì)點(diǎn)自由下落,定義1:含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程.,未知函數(shù)是一元函數(shù),含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為常微分方程.,未知函數(shù)是多元函數(shù),含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.,例如,5.1微分方程的基本概念,例如,定義2:(微分方程的階)未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階.,二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程.,定義3:(微分方程的解),稱為微分方程的通解.通解中各任意常數(shù)取特定值時(shí)所得到的解稱為特解.,微分方程的通解：,定義5:(積分曲線與積分曲線族),積分曲線族,1.微分方程的通解和特解有何區(qū)別和聯(lián)系?,2.判斷下列函數(shù)是否是微分方程,的解，是通解還是特解?,(1),(2),(3),(4),.,5.2一階常微分方程,1.變量可分離型,3.一階線性方程,2.可化為可分離變量,主要類型,.,5.2.1可分離變量的微分方程,如果一階微分方程,這類方程的解法，通常是先將變量分離，再兩邊積分即可.,.,兩邊積分,通解,分離變量,這兩個(gè)方程的共同特點(diǎn)是變量可分離型,.,(1)解,兩邊積分,分離變量,即,于是得到方程,通解,.,(2)解,分離變量,兩端積分,得,通解,奇異解,.,成正比,求,解:根據(jù)牛頓第二定律列方程,初始條件為,對(duì)方程分離變量,然后積分:,得,利用初始條件,得,代入上式后化簡(jiǎn),得特解,并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度,降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.,t足夠大時(shí),.,5.2.2可化為可分離變量的方程,解齊次方程時(shí),通常用變量替換法,即,將齊次方程化為可變量分離的方程.,.,這兩個(gè)方程的共同特點(diǎn)是什麼?,可化為,齊次型方程,求解方法,這是什麼方程？,可分離變量方程！,.,分離變量,兩端積分,由此又得到,通解,.,得,通解,.,.,例3,解,.,.,可得OMA=OAM=,例在制造探照燈反射鏡面時(shí),解:設(shè)光源在坐標(biāo)原點(diǎn),則反射鏡面由曲線,繞x軸旋轉(zhuǎn)而成.,過(guò)曲線上任意點(diǎn)M(x,y)作切線MT,由光的反射定律:,入射角=反射角,取x軸平行于光線反射方向,從而AO=OM,要求點(diǎn)光源的光線反,射出去有良好的方向性,試求反射鏡面的形狀.,而AO,于是得微分方程:,.,利用曲線的對(duì)稱性,不妨設(shè)y0,積分得,故有,得,(拋物線),故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面.,于是方程化為,(齊次方程),.,頂?shù)降椎木嚯x為h,說(shuō)明:,則將,這時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面方程為,若已知反射鏡面的底面直徑為d,代入通解表達(dá)式得,.,.,(1)如何解齊次方程？,標(biāo)準(zhǔn)形式：,5.3一階線性微分方程,分離變量,齊次通解,解得,非齊次,齊次,.,(2)用常數(shù)變易法解非齊次方程,假定(1)的解具有形式,將這個(gè)解代入(1),經(jīng)計(jì)算得到,.,化簡(jiǎn)得到,即,積分,從而得到非齊次方程(1)的通解,非齊次通解,.,非齊次通解,齊次通解,.,例1求的通解。,原方程化為,其中,解,.,例2.解方程,解：,