第3章 離散時間信號的傅里葉變換及DFTppt課件

第3章離散時間信號的傅里葉變換及DFT,要求：,1.掌握連續(xù)時間傅里葉變換FT2.掌握離散時間傅里葉變換DTFT及性質(zhì)3.掌握離散傅里葉變換DFT及應(yīng)用,3.1連續(xù)時間信號的傅里葉,設(shè)x(t)為一連續(xù)信號，若x(t)屬于L1空間，即滿足：,那么，x(t)的傅里葉變換存在，并定義為：,反變換為：,X(j)是的連續(xù)函數(shù)，稱為x(t)的頻譜密度函數(shù)或頻譜。,時域連續(xù)的非周期信號其傅里葉變換FT在頻域上是連續(xù)的、非周期的。,（1）非周期時間信號傅里葉變換,歐拉公式：,3.1連續(xù)時間信號的傅里葉,任何周期信號在滿足狄義赫利條件下，可以展開為完備正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)。如果正交函數(shù)集是三角函數(shù)集，則此時展成的級數(shù)稱為傅里葉級數(shù)三角形式，如果正交函數(shù)集是復(fù)指數(shù)函數(shù)集，則稱為傅里葉級數(shù)復(fù)指數(shù)形式。,3.1連續(xù)時間信號的傅里葉,信號與系統(tǒng)，徐守時：176頁,設(shè)x(t)為一連續(xù)時間周期信號，周期為T，即x(t)=x(t+nT)，該信號不屬于L1空間。但如果x(t)滿足狄義赫利條件，可以將其展開為傅里葉級數(shù)，即：,k0為第k次諧波頻率。因為X(k0)僅在0的整數(shù)倍取值，即在頻率軸取值是離散的，稱為x(t)在k次諧波的傅里葉系數(shù)。X(k0)表示為：,那么，周期信號x(t)的傅里葉變換為：,3.1連續(xù)時間信號的傅里葉,（2）周期時間信號傅里葉變換,函數(shù)定義及性質(zhì)：,函數(shù)傅里葉變換性質(zhì)：,3.1連續(xù)時間信號的傅里葉（補充）,3.1連續(xù)時間信號的傅里葉（補充）,求x(t)=1的FT。,因為：,3.1連續(xù)時間信號的傅里葉（補充）,求周期函數(shù)cos(0t)和sin(0t)的傅里葉變換。,3.1連續(xù)時間信號的傅里葉（補充）,該式表明，一個周期信號的傅里葉變換是：由在頻率軸上間距為0的沖擊序列所組成線譜。,不具備傅里葉變換條件的周期信號，在引入沖激信號后可以作傅里葉變換。時域連續(xù)周期信號傅里葉變換在頻率上是離散的、非周期的。,3.1連續(xù)時間信號的傅里葉,由上述函數(shù)傅里葉變換性質(zhì)，周期信號的傅里葉變換FS為：,計算周期信號的傅里葉變換。,3.1連續(xù)時間信號的傅里葉,信號與系統(tǒng)，徐守時：199頁,3.1連續(xù)時間信號的傅里葉,（1）周期矩形信號頻譜是離散的，譜線間隔是0=2/T；,（2）當(dāng)=2k/時，譜線的包絡(luò)線過零點。,3.2.1DTFT的定義,對序列傅里葉變換兩邊乘以ejm并在-內(nèi)對積分,此式即為離散時間序列的傅里葉變換DTFT。X(ej)是的連續(xù)函數(shù)，且是周期的，周期為2。,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,設(shè)x(n)為一序列，該序列傅里葉變換為：,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,DTFT的反變換為,信號與系統(tǒng)，徐守時：187頁,N=50;3n=0:1:N;w=-3*pi:pi/1000:4*pi;a=0.8;xn=a.n;X=1./(1-a*exp(-j*w);Xmax=max(abs(X);subplot(311);stem(n,xn);grid;ylabel(x(n);xlabel(n);subplot(312);plot(w/pi,abs(X);ylabel(|X(j)|);xlabel();grid;text(0.1,5,leftarrow|X(j)|=,num2str(Xmax),fontsize,10);subplot(313);plot(w/pi,angle(X);ylabel();xlabel();grid;,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,常用DTFT的變換,信號與系統(tǒng)，徐守時：196頁,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,信號與系統(tǒng)，徐守時：188頁,4,matlab應(yīng)用Web和MATLAB的信號與系統(tǒng)基礎(chǔ)：246Matlab信號處理與應(yīng)用_懂長虹：68,1.線性,令x1(n)，x2(n)的DTFT分別為X1(ej)和X2(ej)，并令x(n)=ax1(n)+bx2(n)，則X(ej)=aX1(ej)+bX2(ej)。,3.2.2DTFT的性質(zhì),3.2離散時間信號的的傅里葉變換,2.時移,這說明，如果序列在時域的平移，將不導(dǎo)致傅里葉變換的模改變，只造成其相位附加一個線性相移-n0。,求x(n)=(n-n0)的傅里葉變換。,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,序列的時延n0，導(dǎo)致其傅里葉變換乘以一個時移因子。從頻域的模和相位來看,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,3.頻移,如果x(n)在時域被(-1)n加權(quán)，即原序列交替改變符號，等效于在頻域頻移。在低頻部分經(jīng)頻移到最高頻率(=)。,時間序列在時域被頻率為0的復(fù)正弦加權(quán)，等于頻域中分別將其傅里葉變換沿頻率軸右移0。,按頻移性質(zhì)有：,設(shè)X(ej)=2(-0)，()是以2為周期的單位沖激函數(shù)，計算IDTFTX(ej)。,頻移性質(zhì)的頻譜搬移技術(shù)在通信和信號處理中得到廣泛應(yīng)用，如載波幅度調(diào)制、同步解調(diào)、變頻或混頻等技術(shù)。,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,由于離散時間信號的傅里葉變換是以2為周期的，因此，頻域沖擊應(yīng)該是周期的，即,求周期函數(shù)cos(0n)和sin(0n)的傅里葉變換。,利用歐拉公式，分別有,信號與系統(tǒng)，徐守時：245頁,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,4.奇、偶、虛、實對稱性,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,如果x(n)是實信號，即xI(n)=0，則X(ej)的實部XR(ej)可表示為：,結(jié)論1：實信號x(n)傅里葉變換X(ej)的實部XR(ej)是的偶函數(shù)。,結(jié)論2：實信號x(n)傅里葉變換X(ej)的虛部XI(ej)是的奇函數(shù)。,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,實信號x(n)傅里葉變換的虛部XI(ej)可表示為：,結(jié)論3：X(ej)的幅頻響應(yīng)是的偶函數(shù)。,結(jié)論4：相頻響應(yīng)是的奇函數(shù)。,求實信號x(n)=0.8n的DTFT。,n=0:20;k=-200:200;4-1w=(pi/100)*k;x=(0.8).n;X=x*(exp(-j*pi/100).(n*k);subplot(411);stem(n,x);grid;title(x(n);subplot(323);plot(w/pi,real(X);grid;title(real);subplot(324);plot(w/pi,imag(X);grid;title(imag);subplot(325);plot(w/pi,abs(X);grid;title(|DTFTx(n)|);subplot(326);plot(w/pi,angle(X);grid;title(arctanx(n);,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,數(shù)字信號處理使用MATLAB_維納.K.恩格爾:40,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,對于實信號，由結(jié)論1、2得：,對于復(fù)信號有：,5.時域卷積定理,信號與系統(tǒng)，徐守時：255頁,時域兩個序列卷積，對應(yīng)著在頻域中，它們的傅里葉變換相乘。,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,6.頻域卷積定理,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,時域兩個序列相乘，對應(yīng)著在頻域中，它們的傅里葉變換卷積再乘以1/2。,7.尺度變換,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,x(n)在時域上擴展m倍，導(dǎo)致其頻域壓縮m倍。X(ej)周期變?yōu)?/m，在x(n)之間插零，加快了信號的變化速度，改變了信號的頻域分布。,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,5,時域使得x(n)在時域上壓縮m倍，導(dǎo)致其頻域擴展m倍。頻域擴展產(chǎn)生了混頻，甚至與原來頻域分布不一樣。,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,8.時域相關(guān)定理,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,如果y(n)是x(n)和h(n)的相關(guān)函數(shù)，即,能量信號x(n)的自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于信號傅里葉變換的幅值平方。|X(ej)|2稱為信號的能量密度譜或能譜密度、能量譜。,兩個能量信號互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，等于其中一個信號的傅里葉變換乘以另一個傅里葉變換的共軛，通常把能量互相關(guān)的傅里葉變換稱為互譜密度。,9.巴塞伐定理（帕什瓦爾定理）,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,一個能量信號在時域的總能量，等于其頻域的總能量。,能量譜由信號傅里葉變換的模確定，與相位無關(guān)。具有相同幅度的譜而相位不同的信號，都具有相同的能量譜。,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,10.維納-辛欽定理,稱Px(ej)為功率信號x(n)的功率密度譜或功率譜密度、功率譜。功率信號x(n)的自相關(guān)函數(shù)和其功率譜是一對傅里葉變換。,若x(n)是功率信號，其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換為,3.2.3DTFT的應(yīng)用,取一復(fù)序列x(n)=(0.8)nejn/3，0n8求它的DTFT并探討其對稱性與周期性。,按上式計算，a=0.8*ej/3。,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,k=-200:200;w=(pi/100)*k;6a=0.8*exp(j*pi/3);n=0:0.1:10;x=a.n;subplot(221);stem(n,real(x);grid;title(實部);subplot(222);stem(n,imag(x);grid;title(虛部);X=1./(1-(a*exp(-j*w);subplot(223);plot(w/pi,abs(X);grid;title(幅度);subplot(224);plot(w/pi,angle(X);grid;title(相角);,如果頻率向量表示為=1,2k=kd，則DTFT可表示為：X(ej)=x*exp(-j*dw*n*k),3.2離散時間信號的的傅里葉變換,DTFT計算表達式常用表達方法,數(shù)字信號處理教程MATLAB釋義與實現(xiàn)_陳懷琛:54,n=0:10;7x=(0.8*exp(j*pi/3).n;k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*n*w);%(0.8)nejn/3傅里葉變換x1=(0.8).n;X1=x1*(exp(-j*n*w);%(0.8)n傅里葉變換subplot(421);stem(real(x);grid;title(復(fù)序列);ylabel(實部);subplot(423);stem(imag(x);grid;ylabel(虛部);subplot(425);plot(w/pi,abs(X);grid;ylabel(幅度);subplot(427);plot(w/pi,angle(X);grid;ylabel(相角);subplot(422);stem(real(x1);grid;title(實序列);subplot(424);stem(imag(x1);grid;subplot(426);plot(w/pi,abs(X1);grid;subplot(428);plot(w/pi,angle(X1);grid;,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,按公式：X(ej)=x*exp(-j*dw*n*k)編程為：,討論：（1）復(fù)序列的DTFT的幅頻特性和相頻特性是的周期函數(shù)，但不是對稱的，既不是偶對稱，也不是奇對稱；,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,（2）去掉復(fù)數(shù)因子ej/3后x(n)就為實序列，實序列的幅頻特性和相頻特性是的周期函數(shù)，幅值偶對稱，相位奇對稱；,（3）把復(fù)序列變?yōu)閷嵭蛄校喈?dāng)于讓時間序列乘以e-j/3后，它引起DTFT特性頻移。,求有限長序列x(n)=1，3，5，3，1的DTFT，畫出在=-8+8rad/s范圍內(nèi)的頻率特性，討論其對稱性，再把序列左右移動，討論對DTFT的影響。,x=1,3,5,3,1;nx=-1:3;8w=linspace(-8,8,1000);%將=-88分成1000份X=x*exp(-j*nx*w);subplot(3,1,1);stem(nx,x);axis(-2,6,-1,6);grid;title(原序列);ylabel(x(n);subplot(3,2,3);plot(w/pi,abs(X);grid;ylabel(幅度);subplot(3,2,4),plot(w/pi,angle(X);grid;ylabel(相角);subplot(3,2,5);plot(w/pi,real(X);grid;ylabel(實部);subplot(3,2,6);plot(w/pi,imag(X);grid;ylabel(虛部);,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,數(shù)字信號處理教程MATLAB釋義與實現(xiàn)_陳懷琛:55,x=1,3,5,3,1;nx=-1:3;9w=linspace(-8,8,1000);X=x*exp(-j*nx*w);subplot(5,3,1);stem(nx,x);axis(-2,6,-1,6);grid;title(原序列);ylabel(x(n);subplot(5,3,4);plot(w/pi,abs(X);grid;ylabel(幅度);subplot(5,3,7),plot(w/pi,angle(X);grid;ylabel(相角);subplot(5,3,10);plot(w/pi,real(X);grid;ylabel(實部);subplot(5,3,13);plot(w/pi,imag(X);grid;ylabel(虛部);%右移2位nx1=nx+2;X=x*exp(-j*nx1*w);subplot(5,3,2);stem(nx1,x);axis(-2,6,-1,6);grid;title(右移2位);subplot(5,3,5);plot(w/pi,abs(X);grid;subplot(5,3,8),plot(w/pi,angle(X);grid;subplot(5,3,11);plot(w/pi,real(X);grid;subplot(5,3,14);plot(w/pi,imag(X);grid;nx2=nx-1;X=x*exp(-j*nx2*w);subplot(5,3,3);stem(nx2,x);axis(-2,6,-1,6);grid;title(左移1位);subplot(5,3,6);plot(w/pi,abs(X);grid;subplot(5,3,9),plot(w/pi,angle(X);grid;subplot(5,3,12);plot(w/pi,real(X);grid;subplot(5,3,15);plot(w/pi,imag(X);grid;,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,（1）序列的DTFT是連續(xù)的；,（2）序列的DTFT是周期函數(shù)，周期為2，因此，只要知道它在-+內(nèi)的值，就可以知道在全部范圍內(nèi)的值；,（3）實序列的DTFT具有對稱性，其幅頻特性和實頻特性是偶對稱的，相頻特性和虛頻特性是奇對稱的；,（4）信號在時間軸的平移不影響DTFT的幅頻特性，只影響相頻特性；,（5）時域?qū)ΨQ序列，具有相位隨頻率線性變換的特點。對稱中心的位置決定相頻特性的斜率大小。當(dāng)對稱中心位于n=0處時，相位恒為0。,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,令x(n)=(n-m)，求X(ej)并討論其幅頻和相頻響應(yīng)。,m=-200:200;w=(pi/100);10X=exp(-j*w*m);subplot(211);plot(w*m/pi,abs(X);grid;title(幅度);axis(-22-0.52);subplot(212);plot(w*m/pi,angle(X);grid;title(相角);axis(-22-44);,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,一個有限長信號xN(n)，n=0，1，N-1可以看作無限長信號x(n)，n=-，乘上一個矩形窗,作自然截斷的結(jié)果，試研究d(n)對原信號頻譜的影響。,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,對窗函數(shù)d(n)進行傅里葉變換：,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,Dg第一個過零點的部分稱為主瓣，主瓣寬度B=4/N，主瓣以外的部分稱為邊瓣，主瓣寬度B隨N的增大而減小。對于N=20，主瓣對應(yīng)寬帶：B1=4/20=0.2。,d(n)和Dg圖形為：,11,L=5;N=100;12n=1:N;xn=ones(1,L),zeros(1,N-L);w=1:1000*2*pi/1000;a=length(w);d=(sin(L.*w/2)./sin(w/2).*exp(-j.*w*(L-1)/2);f=abs(d(a/2+1:a)d(1:a/2+1);k=-a/2:a/2;subplot(221);stem(xn);grid;axis(03002);title(序列);subplot(222);plot(k,f);grid;axis(-60060006);title(幅度);L=10;N=100;n=1:N;xn=ones(1,L),zeros(1,N-L);w=1:1000*2*pi/1000;a=length(w);d=(sin(L.*w/2)./sin(w/2).*exp(-j.*w*(L-1)/2);f=abs(d(a/2+1:a)d(1:a/2+1);k=-a/2:a/2;subplot(223);stem(xn);grid;axis(03002);subplot(224);plot(k,abs(f);grid;axis(-600600012);,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,D(ej)的MATLAB程序為：,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,d(n)和D(ej)圖形為：,有限長序列是無限長序列與一窗函數(shù)乘積的結(jié)果，即時域xN(n)=x(n)d(n)對應(yīng)頻域卷積，由XN(ej)=X(ej)*D(ej)卷積結(jié)果是D(ej)主瓣對X(ej)起到了“平滑”作用，降低了X(ej)中譜峰的分辨能力。,3.2離散時間信號的的傅里葉變換,N=input(N=);13T=0.1;n=1:N;D=2*pi/(N*T);xa=sin(5*n*T)+sin(6*n*T);Xa=T*fftshift(fft(xa);xa(1)k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2);%floor(x)把x向下負無窮去整，保證-/Ts區(qū)域有較多的高頻分量，表現(xiàn)在時域上，就是恢復(fù)出的模擬信號是臺階形的。因此需要在DAC之后加平滑低通濾波器，濾除多余的高頻分量，對時間波形起平滑作用（在模擬信號數(shù)字處理框中加平滑濾波）。,3.3連續(xù)時間信號的抽樣,對h(t)進行傅里葉變換，得到頻譜為：,由圖看到，零階保持器是一個低通濾波器，能夠起到將時域離散信號恢復(fù)成模擬信號的作用。圖中虛線表示理想低通濾波器的幅度特性。,雖然零階保持器恢復(fù)的模擬信號有些失真，但簡單、易實現(xiàn)，是經(jīng)常使用的方法。,3.4離散時間周期信號的傅里葉變換,設(shè)是周期信號的抽樣，的周期為T，每個周期內(nèi)抽N個點，即T=NTs。這樣，也是周期的，周期為NTs或N。周期信號可用傅里葉級數(shù)展開為,是的傅里葉系數(shù)，它是離散、非周期的，對抽樣得：,由于離散信號的頻譜是周期的，周期為s，所以將上式的X(k0)改寫為。,3.4.1周期序列傅里葉變換的引入,取抽樣信號的一個周期（每個周期內(nèi)抽N個點）的傅里葉系數(shù)，并用X(k)表示，則周期信號可表示為：,3.4.2周期序列傅里葉變換的表達式,上式表明將周期序列分解成N次諧波，第k個諧波頻率為k=(2/N)k，k=0,1,2N-1，幅度為X(k)。一個周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。,3.4離散時間周期信號的傅里葉變換,當(dāng)在n=0,1,.,N-1求和與在n=N,.,2N-1求和所得的結(jié)果是一致的，也就是該式只能計算出N個抽樣值，并表示為序列x(n)，n=0，1，N-1。,3.4離散時間周期信號的傅里葉變換,所以，對應(yīng)離散周期信號，可得：,通常將定標(biāo)因子1/N移到反變換表示式中，這樣通常表示的離散時間信號的傅里葉變換表達式為：,3.4離散時間周期信號的傅里葉變換,3.4.3周期序列傅里葉變換的習(xí)慣表示方法,3.4離散時間周期信號的傅里葉變換,離散時間信號傅里葉變換通常用符號WN=e-j2/N代入，則：,連續(xù)非周期,離散非周期,連續(xù)周期,離散周期,前面討論的三種傅里葉變換對，都不適用在計算機上運算，因為至少在一個域(時域或頻域)中，函數(shù)是連續(xù)的。因為從數(shù)字計算角度，我們感興趣的是時域及頻域都是離散的情況，只有離散變換才能夠在計算機上使用。,從前面的幾種變換知：周期性時間信號產(chǎn)生頻譜是離散的；離散時間信號可以產(chǎn)生頻譜是周期性的。,周期性離散時間信號其頻譜為周期性離散的。也即我們所希望的?？傊?，一個域的離散必然造成另一個域的周期延拓。,3.5.1DFS傅里葉變換的意義,3.5離散傅里葉變換,我們先從周期性序列的離散傅里葉變換(DFS)開始討論，然后再討論可作為周期函數(shù)一個周期的有限長序列的離散傅里葉變換(DFT)。,周期序列實際上只有有限個序列值才有意義，因而它的離散傅里葉變換表示式也適用于有限長序列。,這樣，我們只要把DFS的定義式兩邊取主值區(qū)間，就得到關(guān)于有限長序列的時頻域的對應(yīng)變換對。這就是離散傅里葉變換(DFT)。,對于有限長序列x(n)，求其DFT時，不管x(n)本身是否是周期序列，都應(yīng)把它看作某一個周期序列的一個周期。,3.5離散傅里葉變換,在時域，周期序列可看作是有限長序列x(n)的周期延拓；,在頻域，周期序列看作是有限長序列X(k)的周期延拓。,周期序列是有限長序列x(n)的周期延拓。,周期序列是有限長序列X(k)的周期延拓。,（2）周期序列和有限長序列X(k)的關(guān)系,（1）有限長序列x(n)和周期序列的關(guān)系,3.5.2DFT是對FT的近似,3.5離散傅里葉變換,由DFS及DFT導(dǎo)出過程可知，X(k)是x(n)的傅里葉變換的近似。因此，做DFT得到XN(k)是對Xa(j)的近似，再由XN(k)作IDFT得到的xN(n)都是對xa(t)的近似。,但如果Ts選得足夠小，可以減輕頻域的混疊；如果N選得足夠大，也會減小時域混疊，這樣xN(n)和XN(k)都是xa(t)和Xa(j)很好的近似，DFT能夠在計算機上方便實現(xiàn)，所以它成為譜分析的工具。,3.5.3DFT與DTFT關(guān)系,若x(n)是N點有限長序列，其DTFT及DFT分別為,3.5離散傅里葉變換,連續(xù)譜X(ej)可由離散譜X(k)插值得到。,MATLAB表示：正變換：fft(x)或fft(x,N)x-輸入序列；N-采用N點DFT（如果NL，程序自動補個零，NL，程序自動補個零，N2fc。,3.5離散傅里葉變換,（1）時域和頻域混疊,實際信號持續(xù)時間都是有限的，因而其頻譜是無限的，無論取多大的采樣頻率，也不能滿足采樣定理。但超過一定范圍的高頻分量對信號沒有多大的影響，因而先要對信號濾波，限制高于fc的頻率分量出現(xiàn)。,應(yīng)用中為了避免頻移混疊，一般fs取更高一些，但也不宜過高，過高fs意味著采樣點數(shù)多，內(nèi)存消耗大，運算時間長，通常取fs(410)fc為宜。,另一方面，DFT得到的頻率函數(shù)也是離散的，其頻域抽樣間隔為F0，為了對全部信號采樣，必須使抽樣點數(shù)N滿足條件：N2fc/F0,在實際中，序列x(n)長度是有限的，即使無限長，用DFT對其進行頻譜分析時，必須截斷長度為N的有限長序列，將所觀測的信號x(n)限制在一定的時間間隔內(nèi)，也就是說，在時域?qū)π盘栠M行截斷操作，或稱作加時間窗，亦即用時間窗函數(shù)乘以信號，即,根據(jù)卷積定理有,窗函數(shù)的|2/N部分為主瓣，其余部分為旁瓣。序列截斷后的頻譜Y(ej)與原序列頻譜X(ej)有明顯的差別，這種差別帶來兩方面影響。,3.5離散傅里葉變換,（2）截斷效應(yīng),頻譜泄漏,截斷使主譜線兩邊形成過多的旁瓣，引起不同分量間的干擾，這不僅影響頻譜分辨率，嚴重時強信號的旁瓣可能湮滅弱信號的主譜線，或?qū)娦盘柕呐园暾`認為是另一個信號的譜線，從而形成假信號，使譜分析產(chǎn)生較大的偏差。,數(shù)字信號處理及MATLAB實現(xiàn)余成波：70頁,3.5離散傅里葉變換,原序列x(n)的頻譜是離散的，經(jīng)截斷后每個譜線帶有拖尾現(xiàn)象，稱之為頻譜泄漏。頻譜泄露使頻譜變得模糊，分辨率降低。,譜間干擾,截斷效應(yīng)無法完全消除，只能要求折中選擇幾個參量，首先可以取更長的數(shù)據(jù)，即窗加寬，這樣導(dǎo)致內(nèi)存和運算量增加；其次是不要突然截斷，不用矩形窗，而是緩慢截斷（如上角窗、漢寧窗等），使旁瓣能量更小，卷積后造成的泄露量減小。,3.5離散傅里葉變換,（3）柵欄效應(yīng),用DFT計算頻譜時，xN(n)的DFTXN(k)是各次諧波頻率處的頻譜。,如果xa(t)是周期信號，那么它的頻譜本身是離散的，由DFT求出的XN(k)是離散頻譜，一般不影響實際的頻譜分析。,3.5離散傅里葉變換,XN(0)為直流譜線，XN(1)為基頻譜線，XN(2)為二次諧波的譜線，所以DFT可以看做是xN(n)通過N個窄帶濾波器的輸出，第k個窄帶濾波器的中心頻率在kfs/N處，帶寬小于fs/N。,由于XN(k)是對Xa(j)的近似。即DFT只是知道頻率為f=1/Ts的整數(shù)倍處的頻譜。在兩個譜線之間的情況就不知道，這相當(dāng)通過一個柵欄觀察景象一樣，故稱作柵欄效應(yīng)。,我們知道，f=fs/N，即最小頻率間隔f反比于數(shù)據(jù)的長度N（數(shù)據(jù)的有效長度）。,補零并沒有增加序列有效長度，所以并不能提高分辨率。但補零對原X(k)起到插值作用，一方面克服“欄柵”效應(yīng)；,（4）DFT的分辨率,3.5離散傅里葉變換,如果在x(n)中有兩個頻率分別為f1和f2，對x(n)用矩形窗截斷時，要分辨出這兩個頻率，N必須滿足：,另一方面，由于數(shù)據(jù)截斷時引起的頻譜泄露，有可能在頻譜中出現(xiàn)一些難以確認的譜峰，補零后有可能消除這種現(xiàn)象。,設(shè)x(n)為兩點序列x(n)=x(0)，x(1)，求其X2(k)，然后補兩個零，使成為四點序列x(n)=x(0)，x(1)，0，0，再求其X4(k)。,3.5離散傅里葉變換,設(shè)一序列含有兩種成分，f1=2Hz，f2=2.05Hz，采樣頻率fs=10Hz，即x(n)=sin(2f1n/fs)+sin(2f2n/fs)（1）取x(n)，0n128時，計算x(n)的DFTX(k);,3.5離散傅里葉變換,N=128;fs=10;n=0:N-1;16f1=2;f2=2.05;xn=sin(2*pi*f1*n/fs)+sin(2*pi*f2*n/fs);xk=fft(xn);mxk=abs(xk(1:N/2);subplot(231);plot(n,xn);xlabel(n);title(x(n)0=n128);axis(0128-22);grid;k=(0:N/2-1)*fs/N;subplot(234);plot(k,mxk);xlabel(Hz);title(x(k);grid;,（2）將x(n)以補零方式使其加長到0n512，計算x(n)的DFTX(k);,（3）取x(n)，0n512時，計算x(n)的DFTX(k);,M=512;xn=xnzeros(1,M-N);xk=fft(xn);mxk=abs(xk(1:M/2);n=0:M-1;subplot(232);plot(n,xn);xlabel(n);title(x(n)0=n512);axis(0512-22);grid;k=(0:M/2-1)*fs/M;subplot(235);plot(k,mxk);xlabel(Hz);title(x(k);grid;,3.5離散傅里葉變換,n=0:M-1;xn=sin(2*pi*f1*n/fs)+sin(2*pi*f2*n/fs);xk=fft(xn);mxk=abs(xk(1:M/2);subplot(233);plot(n,xn);xlabel(n);title(x(n)0=n512);axis(0512-22);grid;k=(0:M/2-1)*fs/M;subplot(236);plot(k,mxk);xlabel(Hz);title(x(k);grid;,由圖可以看出，如果序列x(n)和其DFT由于取樣點數(shù)不滿足最小有效數(shù)據(jù)長度的要求，無法區(qū)分出兩種頻率成分；將序列補零到512點后，對DFT的分辨率沒有影響，只起到平滑作用，但采樣點為512點時，滿足最小有效數(shù)據(jù)長度的要求，能夠區(qū)分出兩個頻率。,3.5離散傅里葉變換,譜峰平滑,DFT主要應(yīng)用是對未知的周期信號進行頻譜估計或信號識別。,直接法,3.5離散傅里葉變換,3.5.4DFT的應(yīng)用,頻譜估計有直接法和間接法。,（1）頻譜估計,直接法又稱周期圖法，它是把序列的N個觀測數(shù)據(jù)視為一能量有限的序列，直接計算x(n)的離散傅里葉變換，得X(k)，然后在取幅值的平方，作為序列的真實功率譜的估計，即,Fs=1000;17n=0:1/Fs:1;xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n);nfft=1024;xk=fft(xn,nfft);Pxx=abs(xk).2/length(n);t=0:round(nfft/2-1);k=t*Fs/nfft;P=10*log10(Pxx(t+1);plot(k,P);grid;,3.5離散傅里葉變換,設(shè)一含噪聲序列為x(n)=4cos(80n)+3cos(200n)+v(n)，其中v(n)為白噪聲，求其功率譜。,用直接法的功率譜估計，當(dāng)數(shù)據(jù)長度N太大時，譜線起伏加劇，若N太小，譜的分辨率又不好。,間接法,Fs=1000;18n=0:1/Fs:1;xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n);nfft=1024;cxn=xcorr(xn,unbiased);Cxk=fft(cxn,nfft);Pxx=abs(Cxk);t=0:round(nfft/2-1);k=t*Fs/nfft;P=10*log10(Pxx(t+1);plot(k,P);grid;,先由序列x(n)估計出自相關(guān)函數(shù)rx(m)，然后在對rx(m)求傅里葉變換，便等到x(n)的功率譜估計，即,3.5離散傅里葉變換,已知時域信號x(t)=2sin(4t)+5cos(8t)，以t=0.01n進行抽樣(n=0:N-1)，N=64，用圖形表示：（1）N點DFT的幅值譜；,N=64;n=0:N-1;t=0.01*n;q=n*2*pi/N;19x=2*sin(4*pi*t)+5*cos(8*pi*t);y=fft(x,N);x1=x+2.5*randn(1,N);y1=fft(x1,N);subplot(221);plot(x);grid;title(x);subplot(222);plot(x1);grid;title(x1);subplot(223);plot(q,abs(y);grid;title(FFT(x);subplot(224);plot(q,abs(y1);grid;title(FFT(x1);,3.5離散傅里葉變換,（2）信號識別,（2）信號加入噪聲，即x(t)=2sin(4t)+5cos(8t)+2.5w(t)，其中w(t)是正態(tài)噪聲，求其N點DFT。,從運行結(jié)果可以看出，在強烈噪聲中，從時域無法提取出淹沒在噪聲中的信號，而在頻域這種噪聲不影響信號的檢測。,3.5離散傅里葉變換,一被噪聲污染信號x(t)=sin(100t)+sin(240t)+v(t)，數(shù)據(jù)采樣頻率1000Hz，由DFT研究其頻率成分。,3.5離散傅里葉變換,t=0:0.001:0.6;20 x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);y=x+randn(1,length(t);Y=fft(y,512);subplot(211);plot(y);title(x);grid;n=0:511;f=1000*n/512;subplot(212);plot(f,abs(Y);title(DFT);grid;,用DFT分析語音信號的頻譜。,3.5離散傅里葉變換,loadmtlb;21subplot(221);plot(mtlb);title(原始語音信號);grid;y=fft(mtlb);subplot(222);plot(abs(y);title(FFT);grid;y(abs(y)1)=0;x=ifft(y);x=ifft(y);subplot(223);plot(abs(y);title(去掉小于1的DFT);grid;subplot(224);plot(real(x);title(重構(gòu)語音信號);grid;,一個采樣信號由信號源和加性噪聲組成，用傅里葉變換將噪聲消除。,3.5離散傅里葉變換,（3）信號消噪,Xs=fft(s);d=fftshift(abs(Xs),3.5離散傅里葉變換,放大頻譜,3.5離散傅里葉變換,濾除高于50Hz的頻譜,濾除低于3870Hz的頻譜,loadleleccum;22s=leleccum(1:3920);ls=length(s);subplot(221);plot(s);title(x(n);grid;xlabel(n);ylabel(s);Xs=fft(s);absXs=abs(Xs);subplot(222);plot(absXs);title(FFT);grid;xlabel(n);ylabel(|X(k)|)indd2=50:3870;%低通濾波Xs(indd2)=zeros(size(indd2);xd1=ifft(Xs);s1=real(xd1);subplot(223);plot(s1);title(s1);grid;xlabel(n);ylabel(s1