線性規(guī)劃及其基本理論ppt課件

.,1,運(yùn)籌學(xué)OperationsResearch,陳志松Mob..,2,線性規(guī)劃及其基本理論,線性規(guī)劃概述線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型一般模型標(biāo)準(zhǔn)模型線性規(guī)劃解的概念可行解、最優(yōu)解基陣、基解、基可行解線性規(guī)劃的基本性質(zhì),.,3,線性規(guī)劃概述,線性規(guī)劃（LinearProgramming，簡記為LP）是運(yùn)籌學(xué)中的一個(gè)最重要、應(yīng)用最廣泛的分支。線性規(guī)劃及其通用解法-單純形法一般認(rèn)為是美國學(xué)者丹捷格（G.Dantzig）在1947年研究美國空軍軍事規(guī)劃時(shí)提出的。蘇聯(lián)學(xué)者康托洛維奇在1939年解決工業(yè)生產(chǎn)組織與計(jì)劃問題時(shí)就提出類似線性規(guī)劃的模型及解法；康托洛維奇的工作當(dāng)時(shí)沒有被重視，但直到1960年康托洛維奇再次發(fā)表最佳資源利用的經(jīng)濟(jì)計(jì)算一書后，才受到重視。一些常見的帶有Spreadsheet的軟件，如：Excel、Lotus1-2-3等，均有內(nèi)置的線性規(guī)劃求解功能。最優(yōu)化問題求解軟件，如：Lindo、Lingo、Matlab等。,.,4,線性規(guī)劃問題提出,在生產(chǎn)管理和經(jīng)營活動中經(jīng)常會提出這樣一類問題：如何利用有限的人力、物力、財(cái)力等資源，取得最好的效果。例如：配載問題一交通工具，運(yùn)輸幾種不同體積、重量的物資，如何裝配，所運(yùn)的物資最多？下料問題用圓鋼制造長度不等的機(jī)軸，如何下料，所剩的余料最少？生產(chǎn)計(jì)劃問題企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種電器產(chǎn)品，兩種產(chǎn)品的市場需求狀況可以確定，按當(dāng)前的定價(jià)可確保所有產(chǎn)品均能銷售出去。企業(yè)可提供的兩種原材料和勞動時(shí)間的數(shù)量是有限的。產(chǎn)品A與產(chǎn)品B各應(yīng)生產(chǎn)多少，可使企業(yè)總利潤最大?,.,5,線性規(guī)劃問題提出,上述這些問題有如下共同特點(diǎn)：問題解決要滿足一定條件，稱為約束條件；問題有多個(gè)滿足條件的解決方案；問題解決有明確的目標(biāo)要求，對應(yīng)不同方案有不同目標(biāo)值，可表示成目標(biāo)函數(shù)。,.,6,何謂線性規(guī)劃問題,最優(yōu)化問題我們稱如下一般問題：“在一定約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值”為最優(yōu)化問題，用數(shù)學(xué)模型描述的最優(yōu)化問題，稱為數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。線性規(guī)劃問題在最優(yōu)化問題中，如果約束條件與目標(biāo)函數(shù)均是線性的，我們就稱之為線性規(guī)劃問題。,.,7,線性規(guī)劃問題的三個(gè)要素,決策變量決策問題待定的量值稱為決策變量。決策變量的取值有時(shí)要求非負(fù)。約束條件任何問題都是限定在一定的條件下求解，把各種限制條件表示為一組等式或不等式，稱之為約束條件。約束條件是決策方案可行的保障。LP的約束條件，都是決策變量的線性函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)衡量決策方案優(yōu)劣的準(zhǔn)則，如時(shí)間最省、利潤最大、成本最低。目標(biāo)函數(shù)是決策變量的線性函數(shù)。有的目標(biāo)要實(shí)現(xiàn)極大，有的則要求極小。,.,8,線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型,例生產(chǎn)計(jì)劃問題某廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，各自的零部件分別在A、B車間生產(chǎn)，最后都需在C車間裝配，相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：問如何安排甲、乙兩產(chǎn)品的產(chǎn)量，使利潤為最大。,35,單位產(chǎn)品獲利,81236,123234,ABC,生產(chǎn)能力,工時(shí)單耗甲乙,產(chǎn)品車間,.,9,線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型,建立數(shù)學(xué)模型的步驟：Step1分析實(shí)際問題；Step2確定決策變量；Step3找出約束條件；Step4確定目標(biāo)函數(shù)；Step5整理、寫出數(shù)學(xué)模型。,.,10,【例1.1】某市今年要興建大量住宅,已知有三種住宅體系可以大量興建，各體系資源用量及今年供應(yīng)量見下表：要求在充分利用各種資源條件下使建造住宅的總面積為最大(即求安排各住宅多少m2)，求建造方案。,線性規(guī)劃問題舉例,.,11,【例1.2】最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃問題。某企業(yè)在計(jì)劃期內(nèi)計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品。這些產(chǎn)品分別需要要在設(shè)備A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工藝資料規(guī)定，單件產(chǎn)品在不同設(shè)備上加工及所需要的資源如表1.1所示。已知在計(jì)劃期內(nèi)設(shè)備的加工能力各為200臺時(shí)，可供材料分別為360、300公斤；每生產(chǎn)一件甲、乙、丙三種產(chǎn)品，企業(yè)可獲得利潤分別為40、30、50元，假定市場需求無限制。企業(yè)決策者應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使企業(yè)在計(jì)劃期內(nèi)總的利潤收入最大？,線性規(guī)劃問題舉例,產(chǎn)品資源消耗表,.,12,【例1.3】某商場決定：營業(yè)員每周連續(xù)工作5天后連續(xù)休息2天，輪流休息。根據(jù)統(tǒng)計(jì)，商場每天需要的營業(yè)員如表1.2所示。,表1.2營業(yè)員需要量統(tǒng)計(jì)表,商場人力資源部應(yīng)如何安排每天的上班人數(shù)，使商場總的營業(yè)員最少。,線性規(guī)劃問題舉例,.,13,【例1.4】合理用料問題。某汽車需要用甲、乙、丙三種規(guī)格的軸各一根，這些軸的規(guī)格分別是1.5，1，0.7（m），這些軸需要用同一種圓鋼來做，圓鋼長度為4m?，F(xiàn)在要制造1000輛汽車，最少要用多少圓鋼來生產(chǎn)這些軸？,線性規(guī)劃問題舉例,.,14,【解】這是一個(gè)條材下料問題，設(shè)切口寬度為零。設(shè)一根圓鋼切割成甲、乙、丙三種軸的根數(shù)分別為y1，y2，y3,則切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y34表示，求這個(gè)不等式關(guān)于y1，y2，y3的非負(fù)整數(shù)解。象這樣的非負(fù)整數(shù)解共有10組，也就是有10種下料方式，如表1.3所示。,表13下料方案,.,15,設(shè)xj(j=1,2,10)為第j種下料方案所用圓鋼的根數(shù)。則用料最少數(shù)學(xué)模型為:,注意：（）求下料方案時(shí)應(yīng)注意，余料不能超過最短毛坯的長度；（）最好將毛坯長度按降的次序排列，即先切割長度最長的毛坯，再切割次長的，最后切割最短的，不能遺漏了方案。（）如果方案較多，用計(jì)算機(jī)編程排方案，去掉余料較長的方案，進(jìn)行初選。,.,16,【例1.5】配料問題。某鋼鐵公司生產(chǎn)一種合金，要求的成分規(guī)格是：錫不少于28%，鋅不多于15%，鉛恰好10%，鎳要界于35%55%之間，不允許有其他成分。鋼鐵公司擬從五種不同級別的礦石中進(jìn)行冶煉，每種礦物的成分含量和價(jià)格如表1.4所示。礦石雜質(zhì)在治煉過程中廢棄，現(xiàn)要求每噸合金成本最低的礦物數(shù)量。假設(shè)礦石在冶煉過程中，合金含量沒有發(fā)生變化。,表1.4礦石的金屬含量,線性規(guī)劃問題舉例,.,17,解:設(shè)xj（j=1,2，5）是第j種礦石數(shù)量，得到下列線性規(guī)劃模型,注意，礦石在實(shí)際冶煉時(shí)金屬含量會發(fā)生變化，建模時(shí)應(yīng)將這種變化考慮進(jìn)去，有可能是非線性關(guān)系。配料問題也稱配方問題、營養(yǎng)問題或混合問題，在許多行業(yè)生產(chǎn)中都能遇到。,.,18,【例1.6】投資問題。某投資公司在第一年有200萬元資金，每年都有如下的投資方案可供考慮采納：“假使第一年投入一筆資金，第二年又繼續(xù)投入此資金的50%，那么到第三年就可回收第一年投入資金的一倍金額”。投資公司決定最優(yōu)的投資策略使第六年所掌握的資金最多。,線性規(guī)劃問題舉例,.,19,【例1.7】均衡配套生產(chǎn)問題。某產(chǎn)品由2件甲、3件乙零件組裝而成。兩種零件必須經(jīng)過設(shè)備A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工時(shí)間分別為5分鐘和9分鐘，每件乙零件在A、B上的加工時(shí)間分別為4分鐘和10分鐘?，F(xiàn)有2臺設(shè)備A和3臺設(shè)備B，每天可供加工時(shí)間為8小時(shí)。為了保持兩種設(shè)備均衡負(fù)荷生產(chǎn)，要求一種設(shè)備每天的加工總時(shí)間不超過另一種設(shè)備總時(shí)間1小時(shí)。怎樣安排設(shè)備的加工時(shí)間使每天產(chǎn)品的產(chǎn)量最大。,線性規(guī)劃問題舉例,.,20,線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型一般形式,假定線性規(guī)劃問題有n個(gè)決策變量，m個(gè)約束條件。一般地，線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型中可表示成如下形式：,.,21,線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)形式,線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型有各種不同的形式，如目標(biāo)函數(shù)有極大化和極小化；約束條件有“”、“”和“”三種情況；決策變量一般有非負(fù)性要求，有的則沒有。為了求解方便，特規(guī)定一種線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式，非標(biāo)準(zhǔn)型可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型。標(biāo)準(zhǔn)形式為：目標(biāo)函數(shù)極大化，約束條件為等式，右端常數(shù)項(xiàng)bi0，決策變量非負(fù)。,.,22,線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)形式,.,23,線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)形式,.,24,線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)形式,.,25,線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)形式,.,26,如何化線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式,.,27,如何化線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式,例1.8minz=x1+2x2-3x3x1+2x2-x352x1+3x2-x36-x1-x2+x3-2x10,x30,.,28,【例1.9】將下列線性規(guī)劃化為標(biāo)準(zhǔn)型,如何化線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式,.,29,如何化線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式,.,30,當(dāng)某個(gè)變量xj0時(shí),令x/j=xj。當(dāng)某個(gè)約束是絕對值不等式時(shí)，將絕對值不等式化為兩個(gè)不等式，再化為等式，例如約束,將其化為兩個(gè)不等式,再加入松馳變量化為等式。,如何化線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式,.,31,線性規(guī)劃解的概念,可行解與可行域滿足約束條件（AX=b,X0）的X稱為線性規(guī)劃問題的可行解所有可行解的集合稱為可行域，記D=X|AX=b,X0。最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)值達(dá)最大的可行解稱為線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。若X*是最優(yōu)解，則對任意的XD，恒有CX*CX。,.,32,線性規(guī)劃解的概念,基（基陣、基礎(chǔ)矩陣）,為mn維系數(shù)矩陣，秩為m。,稱系數(shù)矩陣A中m個(gè)線性獨(dú)立的列向量構(gòu)成的矩陣B為線性規(guī)劃問題的一個(gè)基。矩陣B非奇異，|B|0，存在逆陣。,|B|0,B為非奇異子矩陣；,當(dāng)m=n時(shí)，基矩陣唯一，當(dāng)mn時(shí)，基矩陣就可能有多個(gè)，但數(shù)目不超過A中最多有,.,33,【例1.11】線性規(guī)劃,求所有基矩陣。,.,34,線性規(guī)劃基解的概念,基向量與非基向量系數(shù)矩陣A中構(gòu)成基B的列向量稱為基向量。系數(shù)矩陣A中除基向量之外的列向量稱為基向量。A=(B,N)基變量與非基變量與基向量對應(yīng)的變量稱為基變量。與非基向量對應(yīng)的變量稱為非基變量。,.,35,在上例中B2的基向量是A中的第一列和第四列，其余列向量是非基向量，x1、x4是基變量，x2、x3、x5是非基變量?；兞俊⒎腔兞渴轻槍δ骋淮_定基而言的，不同的基對應(yīng)的基變量和非基變量也不同。,線性規(guī)劃基解的概念,.,36,線性規(guī)劃基解的概念,基(礎(chǔ))解基(礎(chǔ))可行解滿足變量非負(fù)約束條件的基解，稱為線性規(guī)劃問題的基可行解?？尚谢c基可行解對應(yīng)的基稱為可行基。,.,37,線性規(guī)劃解的關(guān)系,.,38,線性規(guī)劃的退化與非退化,一個(gè)基可行解，若其中所有基變量都取正值，則稱它是非退化的。一個(gè)基可行解，若其中有某一個(gè)基變量取零值，則稱它是退化的。一個(gè)線性規(guī)劃問題，若它的所有基可行解都是非退化的，則稱這個(gè)線性規(guī)劃問題是非退化的。,.,39,線性規(guī)劃基解求取,基解與基可行解是線性規(guī)劃的重要概念，求線性規(guī)劃的基解與基可行解是各類運(yùn)籌學(xué)考試中的?？碱}。求線性規(guī)劃的基解與基可行解時(shí)，首先要先化標(biāo)準(zhǔn)形，然后根據(jù)概念求解。例選擇不同基，求如下LP的基解和基可行解：maxz=x1+4x2x1+x2+x3=4-x1+x2+x4=2x1，x2，x3，x40,.,40,凸集、凸組合、頂點(diǎn)（極點(diǎn)）,凸集凸組合,.,41,頂點(diǎn)(極點(diǎn))設(shè)K是凸集，若X不能用K中兩個(gè)不同的點(diǎn)的凸組合表示為,則稱X是K的一個(gè)頂點(diǎn)或極點(diǎn)。,X是凸集K的極點(diǎn)即X不可能是K中某一線段的內(nèi)點(diǎn)，只能是K中某一線段的端點(diǎn)。,O,凸集、凸組合、頂點(diǎn)（極點(diǎn)）,.,42,線性規(guī)劃的基本性質(zhì),定理1若線性規(guī)劃問題存在可行域，則其可行域一定是凸集。引理線性規(guī)劃問題的可行解X=(x1,x2,xn)T為基可行解的充要條件是X的正分量對應(yīng)的系數(shù)列向量