黑龍江省哈爾濱市師范大學(xué)附中2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）

黑龍江省哈爾濱市師范大學(xué)附中2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)題意先求出集合n，然后根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解：，又，所以.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的運(yùn)算，指數(shù)不等式求解，屬于基礎(chǔ)題.2.對(duì)于，下列說法中，正確的是（ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則d. 若，則【答案】b【解析】【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0，所以a不成立；平方相等，m、n不一定相等，所以c不成立；當(dāng)時(shí)，沒有意義，所以d不對(duì)；指數(shù)函數(shù)單調(diào)且定義域?yàn)閞，則b成立，從而得出結(jié)果.【詳解】解：a：當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)無意義，故a不正確；b：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)單調(diào)且定義域?yàn)閞，所以若，則成立，故b正確；c：比如當(dāng) 時(shí)，有，但；故c不正確；d：當(dāng)時(shí)，沒有意義，故d不正確.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查指對(duì)函數(shù)的定義域和運(yùn)算性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握指對(duì)函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.3.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是 （ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)可排除a、b，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可排除c，從而得出結(jié)果.【詳解】解：a：在r上單調(diào)遞減，故a不正確；b：定義域?yàn)榍覇握{(diào)遞減，故b不正確；c：對(duì)稱軸為，且開口向下，在上單調(diào)遞減，故c不正確；d：在上單調(diào)遞增，故d正確.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，解題的關(guān)鍵是牢記基本初等函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.4.若函數(shù) 的圖象恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為 （ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)，所以函數(shù)可以看成由函數(shù)向右平移一個(gè)單位得到，故而得到答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖像恒過定點(diǎn)，所以函數(shù)可以看成由函數(shù)向右平移一個(gè)單位得到，所以函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn).故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及函數(shù)圖像間的平移變換，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，則的大小關(guān)系為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】容易得出，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)將b化為與c同底的對(duì)數(shù)，即可比較出大小.【詳解】解：，所以.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)與對(duì)數(shù)大小的比較，考查對(duì)數(shù)換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.6.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】首先考慮對(duì)數(shù)的真數(shù)取值大于；其次將函數(shù)拆成外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)，根據(jù)求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則：同増異減，判斷出單調(diào)增區(qū)間；最后即可求得的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】由可得或在單調(diào)遞增，而是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的同增異減的法則可得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選d.【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：同増異減.（同：內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)，整個(gè)函數(shù)為增函數(shù)；異：內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性不同時(shí)，整個(gè)函數(shù)為減函數(shù)）.7.已知函數(shù)g(x)12x，fg(x)(x0)，則f()等于()a. 1b. 3c. 15d. 30【答案】c【解析】令12x，得x，f()15，故選c.8.已知函數(shù)、分別是定義在上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】函數(shù)、分別是定義在上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足，可得，即，與聯(lián)立求解即可解出.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)、分別是定義在上奇函數(shù)、偶函數(shù)，所以，即： ，解得： .故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，考查了學(xué)生的推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.9.若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則的解集為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，又在上是減函數(shù)可得在上是增函數(shù)，因?yàn)?，所以，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知的解為；的解為，等價(jià)于或，結(jié)合分析可得出結(jié)果.【詳解】解：函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，又在上是減函數(shù)，則在上是增函數(shù)，且，所以有，所以的解為；的解為.等價(jià)于，等價(jià)于或所以不等式的解集為：.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性分析出函數(shù)的符號(hào)，屬于中檔題.10.函數(shù)的圖象是()a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的定義域，再很據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)性，問題得以解決【詳解】因?yàn)閤0，解得x1或1x0，所以函數(shù)f（x）=ln（x）的定義域?yàn)椋海?，0）（1，+）所以選項(xiàng)a、d不正確當(dāng)x（1，0）時(shí)，g（x）=x是增函數(shù)，因?yàn)閥=lnx是增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）=ln（x+）是增函數(shù)故選：b【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.11.函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】函數(shù)的定義域?yàn)?，等價(jià)于恒成立.該函數(shù)為二次型的函數(shù)，考慮和兩種情況，分情況求解即可求出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋院愠闪?令，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意.當(dāng)時(shí)，即解得：.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域?yàn)閞的問題，考查分類討論的思想和二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12.已知函數(shù),則方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（ ）a. 2b. 3c. 4d. 5【答案】d【解析】【分析】函數(shù),則方程等價(jià)于，或.再根據(jù)分析函數(shù)的單調(diào)性和值域，分析每一段上的解的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù),當(dāng)時(shí)，即不符合，舍去；當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，解得：或，又在上單調(diào)遞減，且；在上單調(diào)遞增，且.若，則無解，有兩個(gè)解；若，則有一解，有兩解，所以共有5解.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的分析與計(jì)算求解能力，解題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)分段討論求解，屬于中檔題.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若不等式的解集為則 _【答案】【解析】【分析】對(duì)不等式移項(xiàng)、通分、化簡、得到，求解不等式然后對(duì)解集求補(bǔ)集即可得到答案.【詳解】解：等價(jià)于，即，解得：或，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式求解集，以及補(bǔ)集的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是對(duì)不等式進(jìn)行正確的變形，屬于基礎(chǔ)題.14.若，則 【答案】【解析】【詳解】，.考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的計(jì)算15.冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可知，又函數(shù)在上為減函數(shù)，可知，對(duì)求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得：或.又在上為減函數(shù)，所以，即，所以.故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟記冪函數(shù)的定義和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的值為_【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)二次函數(shù)和分式的單調(diào)性可求得在上的最小值和最大值及在上的最大值；分別討論最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三種情況，得到每種情況下的最大值，從而得到不等式，解不等式求得結(jié)果.【詳解】不等式恒成立可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，解得：（舍）若，即時(shí)，又，當(dāng)，即時(shí)，解得：（舍）當(dāng)，即時(shí)，解得： 若，即時(shí)，解得：（舍）綜上所述：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查恒成立和能成立綜合應(yīng)用的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)⒉坏仁睫D(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)最值之間的大小關(guān)系，從而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值，通過最值的比較構(gòu)造不等式求得結(jié)果.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知集合. （）求實(shí)數(shù)的值；（）求滿足的集合的個(gè)數(shù)【答案】（）；（）16個(gè).【解析】【分析】（），逐個(gè)分析集合b中的元素求解，然后代入檢驗(yàn)即可. （）因?yàn)椋约蟤中必有-3，只需考慮剩余4個(gè)元素即可得到答案.【詳解】（）顯然,若則，不符合題意,若則，滿足題意,所以 .（），因?yàn)?，所以集合m中必有-3，剩余4個(gè)元素：-4,0,1,2都有在與不在兩種情況，所以個(gè)數(shù)為16個(gè).【點(diǎn)睛】本題考查了交集、并集的定義和運(yùn)算，元素與集合的關(guān)系，考查了子集的定義，子集個(gè)數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.18.計(jì)算：（）；（）.【答案】（）；（） .【解析】【分析】（）根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律化簡計(jì)算即可.（）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律化簡即可得出結(jié)果.【詳解】解：（）= = = .（）.= = = =【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19.已知函數(shù) .（）求滿足的實(shí)數(shù)的值；（）求時(shí)函數(shù)的值域【答案】（）；（） .【解析】【分析】（）將看成一個(gè)整體，對(duì)進(jìn)行化簡得到先求解的值，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算解x即可.（），可知，化簡可得，然后配方即可求出在的最大最小值，進(jìn)而求得值域.【詳解】（）,，,或（舍）, .（）令，.則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,所以的值域?yàn)?.【點(diǎn)睛】本題考查二次型函數(shù)已知值求自變量，以及二次函數(shù)已知自變量的范圍求值域，考查了換元法的應(yīng)用以及二次函數(shù)配方法求值域，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20.已知，函數(shù).（1）求的定義域；（2）若在上的最小值為，求的值.【答案】（1） ； （2） .【解析】【分析】（1）由題意，函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組，即可求解函數(shù)的定義域；（2）由題意，化簡得，設(shè)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，分類討論得到函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)最值的表達(dá)式，即可求解?！驹斀狻浚?）由題意，函數(shù)，滿足 ，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?。?）由，設(shè)，則表示開口向下，對(duì)稱軸的方程為，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得因?yàn)?，函?shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，在單調(diào)遞減，所以，解得；故實(shí)數(shù)的值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及與對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)的最值問題，其中解答中熟記對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理分類討論求解是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題。21.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有 成立，且當(dāng)時(shí)，（）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（）證明在上為減函數(shù)； （）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（）奇函數(shù)，證明見解析；（）證明見解析；（） .【解析】【分析】（）根據(jù)題意，令，求出，令，代入化簡即可得到從而判斷函數(shù)的奇偶性. （）根據(jù)單調(diào)性的定義，任取且，做差，根據(jù)題意化簡判斷即可. （）由（）、（）問的結(jié)論可知，為奇且減，所以將所求變形可得，進(jìn)而得到，求解即可得到的范圍.【詳解】（）令，則,令，則 且，且定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù). （）任取且，,上為減函數(shù). （）由（）、（）問的結(jié)論可知，為奇且減， ，上為減函數(shù), ,實(shí)數(shù)的取值范圍為 .【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的證明，考查抽象函數(shù)根據(jù)奇偶性和單調(diào)性求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握奇偶性和單調(diào)性的定義，屬于中檔題.22.已知定義在上的奇函數(shù).（） 求的值；（） 若存在，使不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）已知函數(shù)滿足，且規(guī)定，若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（）；（）；（）6.【解析】【分析】（）定義在上的奇函數(shù)，所以利用特殊值求解，然后檢驗(yàn)即可. （）首先根據(jù)定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞減，然后再根據(jù)單調(diào)性將等價(jià)轉(zhuǎn)化為有解，即，求二次函數(shù)的最小值，即可解出實(shí)數(shù)的取值范圍. （）首先根據(jù)，解出，代入得到解析式，令，（），則，利