例析二次函數(shù)圖象性質的運用 人教版（通用）

例析二次函數(shù)圖象性質的運用徐加生與二次函數(shù)相關的題目是高考的熱點題型，充分利用二次函數(shù)圖象的性質，從形象直觀到理性思考，能找到較為簡捷的解題思路。下面從不同側面入手，介紹幾種常見類型的解題思路。一、圖象的位置根據(jù)題意考察結合條件的二次函數(shù)圖象的位置，以形助數(shù)列出不等式易求解。例1. 若二次函數(shù)在區(qū)間內至少存在一點c，使，求實數(shù)p的取值范圍。分析1：依題意有或即或解得或所以分析2：（補集法）問題的反面即拋物線在內位于x軸下方（含與x軸的交點）。令且，得且求得或求其補集得符合題意的解是二、圖象的對稱軸二次函數(shù)圖象的對稱軸是二次函數(shù)的重要幾何特征，除軸對稱的關系外，還有圖象頂點的橫坐標這一幾何量。靈活運用這些知識來解題，效果甚好。例2. 已知a0，函數(shù)（I）當b0時，若對任意，都有，證明。（II）當b1時，證明對任意，的充要條件是；（III）當時，討論對任意的充要條件。解：（I）因為對恒成立，且所以又f(x)圖象過原點且對稱軸，故時，恒成立的充要條件為或（II）當時，因，故的解集為空集，而的解等價于（III）當時，由得，因，且，由得，故時，的充要條件是。三、與x軸的交點當二次函數(shù)的圖象與x軸相交時，利用交點所在位置，根據(jù)范圍列式，可獲簡解。例3. 關于x的實系數(shù)二次方程的兩實根為，證明：（1）如果，那么且；（2）如果且，那么。分析：所證兩個小題，即證且的充要條件是且。若令，則問題轉化為求證拋物線與x軸的兩個交點落在區(qū)間內的充要條件是且，故。由，從而，且四、在x軸上截得的弦二次函數(shù)的圖象拋物線截x軸所得的弦長為運用此公式是解決有關弦長問題的重要手段。例4. 已知二次函數(shù)，其中且。（1）求證此函數(shù)的圖象與x軸交于相異兩點；（2）設函數(shù)圖象截x軸所得的線段的長為L，求L的取值范圍。略解：（1）因為且，則，所以，故，即函數(shù)圖象與x軸交于相異兩點。（2）設函數(shù)圖象與x軸兩交點為，則又且故，則有而在上是單調減函數(shù)，則故五、函數(shù)圖象的頂點位置二次函數(shù)圖象的頂點即二次函數(shù)的最大值或最小值點，而在閉區(qū)間上的最值問題必須根據(jù)頂點的位置變化來討論解決。例5. 已知函數(shù)，當時，恒成立，求a的取值范圍。分析：若恒成立，即有f(x)在上的最小值。收于下面按對稱軸與定義域的位置關系分類求解。（1）當，即時，解得，則。（2）當即時，得，則。（3）當，即時，得，與矛盾，舍去。綜上所述，得。六、函數(shù)單調性二次函數(shù)的單調性是比較簡單的，根據(jù)其單調區(qū)間的判定，可獲得函數(shù)取最值的情況，從而可列式來判斷參數(shù)的取值。例6. 已知且（1）設，求的表達式；（2）設，試問：是否存在實數(shù)，使在上是減函數(shù)并且在上是增函數(shù)。分析：（1）由得即則若設，則要使在上是減函