福建永泰第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)期中

福建省永泰縣第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 完卷時(shí)間：120 分鐘 滿分：150 分第卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1. 已知命題，使得，則為（ ） A. ，總有 B. ，總有C. ,使得 D.，使得 2.已知中心在原點(diǎn)的等軸雙曲線，右頂點(diǎn)為，則雙曲線的焦距等于（ ）A B C D3不等式的一個(gè)必要不充分條件是（ ）A B C D4下列命題中正確的是()A.命題“若，則”的否命題為“若，則”； B.命題“若平面向量共線，則方向相同”的逆否命題為假命題；C.命題“若或，則”是真命題；D.命題“若，則中至少有一個(gè)大等于”的逆命題是真命題.5已知橢圓的中心在原點(diǎn)，長軸長為，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A B或C D或6.如圖所示，在平行六面體中， ，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)， 且 .用表示向量的結(jié)果是（ ）第6題圖A B. C. D. 高二數(shù)學(xué)試卷 第 1 頁 共4頁 高二數(shù)學(xué)試卷 第 2 頁 共4頁7空間四邊形中若則（ ）A B C D8已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為， 則的最小值是( ) A B C D 9. 如圖所示,在正方體中, 分別側(cè)棱的中點(diǎn),為線段上一動(dòng)點(diǎn),記為異面直線與所成的角,則的集合是（ ）A B第9題圖C D10. 已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，點(diǎn) 是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且垂直軸，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D11已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)，則的面積為（ ）A B C D12已知橢圓的內(nèi)接的頂點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，右焦點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，且,則橢圓離心率的取值范圍為（ ）A B C D第卷二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填在答題卡相應(yīng)位置）13命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_. 14雙曲線的一條弦恰被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是_. 15. 已知是過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，則的值為_. 16. 如圖所示，在直四棱柱中，底面為 菱形，且，為側(cè)棱的中點(diǎn)， 分別是線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，且滿足， 當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中正確的序號(hào)是_.在內(nèi)總存在與平面平行的線段；第16題圖平面平面；三棱錐的體積為定值；可能為直角三角形.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17（本小題滿分10分）若命題實(shí)數(shù)滿足，命題實(shí)數(shù)滿足.（）當(dāng)且為真命題時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18（本小題滿分12分）（）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且漸近線方程為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）在圓上任取一點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足，當(dāng)點(diǎn) 在該圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.高二數(shù)學(xué)試卷 第 3 頁 共4頁 高二數(shù)學(xué)試卷 第 4 頁 共4頁19.（本小題滿分12分）如圖所示,已知正方形和矩形所在的平面互相 垂直，,，是線段的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求二面角的大小.第19題圖20.（本小題滿分12分）已知拋物線的方程為，上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.（）求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（）過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，設(shè) , ,求證: 是定值.21（本小題滿分12分）如圖所示，等腰梯形中, ， 為中點(diǎn)， 與交于點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（平面）（）證明：平面平面；（）若，試判斷線段上是否存在一點(diǎn) (不含端點(diǎn)),使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值;若不存在，說明理由第21題圖22.（本小題滿分12分）已知橢圓 的離心率為，橢圓截直線所得線段的長度為.過橢圓上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線分別交軸于兩點(diǎn)（）求橢圓的方程；（）求線段長度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)參考答案一、選擇題（每小題5分，共60分）題號(hào)123456789101112答案BCABDDBBACCA二、填空題（每小題5分，共20分）13、 14、 15、 16、三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟）17. （本題滿分10分=5分+5分）解：（）由，得 1分當(dāng)時(shí)，由 ， 得 2分為真命題，真且真 4分實(shí)數(shù)的取值范圍為 5分（）因?yàn)?，?得7分設(shè)是的必要不充分條件， 8分 9分又 10分實(shí)數(shù)的取值范圍為 .18. （本小題滿分12分=6分+6分）解：（）依題可知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則設(shè)其方程為：，且 2分雙曲線的漸近線方程為即3分又，由5分得雙曲線方程為：6分（）設(shè)軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則依題意可知點(diǎn)坐標(biāo)為8分的中點(diǎn)為， 10分點(diǎn) 在圓上運(yùn)動(dòng)，11分經(jīng)檢驗(yàn)所求方程符合題意,點(diǎn)的軌跡方程為（軌跡方程是不扣分）12分19(本小題滿分12分=4分+8分)（）證法一：設(shè)，連接，分別是的中點(diǎn)， 是矩形四邊形是平行四邊形.2分, 又, ,.4分證法二：正方形和矩形所在的平面互相垂直，且,，兩兩垂直建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系1分設(shè)，連接，依題意得, , , , , ,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)， 2分 .，且直線與不共線3分,又，,.4分（）解：正方形和矩形所在的平面互相垂直, 且 ,，兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系6分設(shè)，連接，依題意得, , , , , 7分設(shè)為平面的一個(gè)法向量 ,則,得令得 即 8分另,又且,是平面的一個(gè)法向量（求出平面的法向量亦可）9分= 11分設(shè)二面角的大小為(由圖可知為銳角)，故所求二面角的大小為 12分20（本小題滿分12分=5分+7分）解：（）依題意得拋物線的準(zhǔn)線為，1分拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，由拋物線的定義可得， ，2分拋物線的方程為，3分拋物線的方程，5分（只有一個(gè)扣1分）（）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不符合題意，故直線的斜率必存在且不為.6分直線過點(diǎn),設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，7分設(shè)由得，整理得，9分，,，即同理可得11分即是定值. 12分21（本小題滿分12分=5分+7分）解：（）證明：連接,在等腰梯形ABCD中， 為中點(diǎn)，四邊形為菱形，AE，2分，即,且平面 平面，AE平面POB4分又AE平面ABCE， 平面POB平面ABCE5分（）由（）可知四邊形為菱形，在等腰梯形ABCD中正三角形同理,OPOB，6分由（）可知，以O(shè)為原點(diǎn)，分別為x軸， y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，7分由題意得，各點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè) 8分設(shè)平面的一個(gè)法向量為(x，y，z)則，即 取x0，y1，得，所以(0，1，) 9分設(shè)直線與平面所成角為，則，即化簡得：，解得 11分存在點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，使直線與平面所成角的正弦值為12分22.（本小題滿分12分）解：（I）橢圓的離心率為，1分當(dāng)時(shí)，3分橢圓的方程是4分（II）解法一：設(shè)，由得，5分直線的方程:，化簡得 又圓心到直線的距離為1， ，6分，化簡得，同理有 7分 ，8分9分是橢圓上的點(diǎn)， ，10分 在上單調(diào)遞減，在內(nèi)也是