高中必修五數學數列講義

第二章 數列第一節(jié)：數列及其通項公式一數列的概念1數列的定義： ；2表示法： ；3數列的分類： ；4通項公式： ；5遞推公式的概念： ；注意：數列與集合有本質的區(qū)別；項與項數的區(qū)別；與的區(qū)別；不是每一個數列都有通項公式；是n的函數。二數列通項公式的求法1根據數列的有限項，寫出數列的通項公式。練習1已知數列an 的前幾項，寫出數列的一個通項公式（1）1，4，9，16，；an = ;（2）；an = ;（3） an = ;（4）9，99，999，9999，；an = ;（5）7，77，777，7777，；an = ;（6）7，-77，777，-7777，；an = ;（7）0.5,0.55,0.555,0.5555, ；an = ;（8）1-1，1，-1，；an = ;（9）1，0，1，0，；an = ;（10）11，101，1001，10001，；an = ;（11）；an = ;（12）；an = ;（13），；an = ;2數列1，3，2，6，5，15，14，x,y,z，122，中x,y,z的值依次是（ ） A 42，41，123 B 13，39，123 C 24，23，123 D 28，27，1233數列1，1，2，3，5，8，；的第7項是 。4數列中，則的前5項是 。5.已知函數，設(1)求證：；（2）an 是遞增數列還是遞減數列？為什么？2已知數列的前n項和求數列的通項公式（1） 已知數列an 的前n項和為，求數列an 的通項公式；（2） 已知數列an 的前n項和為，求數列an 的通項公式。注意：1.用數列的前n項和求通項的公式是： ；2.什么時候運用an=Sn-Sn-1求出的公式具有通用性： 。練習：(3) 已知數列an 的前n項和為,則通項an = ;（4）已知數列an 的前n項和為,則通項an = ;（5）已知數列an 的前n項和為,則通項an = ;（6）已知數列an 的前n項和為,則通項an = ;注意：（1）公式表示的是數列的前n項和與通項之間的關系。 （2）要注意不要忽視n=1的情形，這是大家易出錯的地方。3用遞推公式求數列的通項公式（1）數列中，），則它的前5 項是 。（2）數列中，則 。（3）數列中，滿足，求數列an 的通項公式；（4）數列中，滿足，求數列an 的通項公式；（5）數列中，滿足，求數列an 的通項公式；（6）數列中，滿足，求數列an 的通項公式；第二節(jié)：等差數列一.1.定義：如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列；這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。2.通項公式：或3.等差中項：成等差數列，A叫a,b的等差中項（注：任意兩個數都有等差中項）4.證明一個數列是等差數列的方法：一般用（常數），而不用其它等價形式，若確實無法證明，有時也可采用證明來完成。5.等差數列的性質：（1），單增；，單減；，是常數列。（2）等差數列中任意連續(xù)的三項也成等差數列，反之亦然。（3）一個數列是等差數列，則通項公式可寫成（，反之亦然。一個數列是等差數列，則其前n項和可寫成（，反之亦然。（4）數列是等差數列，若m+n=p+q，則（5）數列是等差數列，項數m,p,n成等差數列，那么也成等差數列。（6）數列是等差數列，則仍成等差數列。二.等差數列的前n項和：或練習與應用：通項公式、前n項和公式的基本運算1 在等差數列an中，a5=10,a12=31,求首項a1與公差d.2.在等差數列an中，a2=-5,a6=a4+6,那么a1= .3.在等差數列an中，a15=8,a20=20,則a25= .4. 在等差數列an中，a2+a5+a8=9,a3a5a7= -21,求通項an.5.在等差數列an中，a15=8,a60=20,則a75= .仍成等差數列6. 在等差數列an中，S10=310，S20=1220，求Sn與通項an. 若m+n=p+q，則6在等差數列an中， a3+a4+a5+a6+a7=450,則a2+a8= .7.a3,a15是方程x2-6x-1=0的兩個根，求a7+a8+a9+a10+a11= .8在等差數列中，則該數列的前5項和為（ ） （A） 10 （B） 16 （C） 20 （D） 329.在等差數列中，表示前項和，且，則的值為 （ ）（A） 18 （B） 60 （C） 54 （D） 2710.等差數列an，則項數n為（ ）11在等差數列an中， 前4項的和為21，后4項的和為67，前n項的和為286，則項數n= . 12.在等差數列中，表示前項和，且，當取得最大值時的值為（ ） （A） 6 （B） 7 （C） 12 （D） 不能確定13. 若是等差數列，首項，則使前項和成立的最大自然數是 （ ） （A） 48 （B） 47 （C） 46 （D） 4514（04年重慶卷.文理9）若數列是等差數列，首項，則使前n項和成立的最大自然數n是：（ ）A 4005 B 4006 C 4007 D 400815.等差數列an，bn的前n項和為Sn，Tn，且,求.16.設Sn是等差數列an的前n項和，若，則的值為（ ） A： B：2 C：1 D：-117在等差數列an中，am=n,an=m,且mn, 則 am+n= .18.已知等差數列，是其前n項和，對于不相等的正整數m,n，有，則的值為 . 其奇數項和、偶數項和1、若等差數列共有偶數項項（奇數項、偶數項各項）：即 則 ， （中間一對）2、若等差數列共有奇數項項（奇數項比偶數項多項）：即 則 （為中間項）， （項數之比）19. .等差數列an共有2n-1項，所有奇數項的和為132，所有偶數項的和為120，則n= .20. 如果等差數列an共有10項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差為 。21如果等差數列an的項數是奇數，an的奇數項的和是175，偶數項的和是150，求這個等差數列的公差d。 的最值問題22. 等差數列an中，an=2n-10,則的最小值時n= .23. 等差數列an中，an=2n-11,則的最小值時n= .24在等差數列an中, 則前n項和的最小值為（ ） A：-80 B：-76 C：-75 D：-74 25.已知等差數列，是其前n項和，且，則下列結論錯誤的是（ ）（A） d 0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5=( ) A:5 B:10 C:15 D:207。等比數列an, （ ） A：-4 B：4 C：-2 D：28。等比數列an，公比q為整數，則 。9.等比數列an中，則（ ） A：90 B：120 C：15 D：8010。等比數列an中，則（ ） A： B： C： D：11。 an是各項為正數的等比數列，則=（ ） A：12 B：10 C：8 D：12 已知數列an是各項都為正數的等比數列，設，求證數列bn是等差數列。13。已知等比數列的，且，求的通項公式.14。各項均為正數的等比數列中，若，則 ；15為等比數列， （1），求（2）前項的和為前項之和，求二。等比數列的前n項和。1等比數列an中，求q和n。2等比數列an中，求和q。3等比數列an中，則= 。4等比數列an中，求q。5求數列的前n項和。6求的前n項和7求，求前2k項的和。8求的前n項和。9等比數列an,前n項和為48,前2n項和為60,前3n項的和為( ) A:183 B:108 C:75 D:6310an成等差數列，成等比數列，則該等比數列的公比為（ ） A： B：2 C： D：11 an成等差數列，bn成等比數列，若，則（ ） A： B： C： D：或12成等差數列，成等比數列，則的取值范圍是（ ）A： B：（0，4） C： D：13一個項數是偶數的等比數列，它的偶數項的和是奇數項和的2倍，又它的首項為1，且中間兩項的和為24，則此等比數列的項數為 （ ） A12 B10 C8 D6第四節(jié) 數列的綜合應用一、數列求和（一）公式法1 求1，4，7，10，（3n-2）,的前n項和。2 求數列，求前2k項的和.3 求（二）分項求和1求和（1+2）+（3+4）+（2n-1+2n）2 (x-2)+(x2-2)+（xn-2）3. 4.求和5.6.（三）裂項求和1.求和2.3.數列an成等比數列,各項都為正數，且q1,求證4.5.67.8.9求（四）錯位相減、其它12.3. 4求和51+23+37+n(2n-1) 6.已知數列an+1是等比數列，求放縮及其他12數列，的前10項和為（ ）。 （A） （B）11 （C）11 （D）113.求和4. 求5. 求值設，求:6.求證： 7.8 二、用已知數列的前n項和求數列的通項公式（前文已有）三、用遞推公式求通項1已知數列an ，滿足，a1=2,an+1=an+2,求an 的通項公式。2。已知數列an ，滿足，a1=2,an+1=an+2n,求an 的通項公式。3。已知數列an ，滿足，a1=2,an+1=an+2n,求an 的通項公式。4 已知數列an ，滿足，a1=2, an+1=an+，求an 的通項公式。點擊：凡是具有an+1=an+形式都可運用此法，其中表示可求和的數列。5已知數列an ，滿足，a1=2,an=3an-1,（n2）求an 的通項公式。6 已知數列an ，滿足，a1=1,求an 的通項公式。7已知數列an 滿足，求an 的通項公式。規(guī)律： 。8已知數列an ，滿足，a1=2,an+1=2an+1,求an 的通項公式。9已知數列an ，滿足，a1=1,an+1=3an+1,求an 的通項公式。點擊：型通項公式可用此法。10*，求an 的通項公式。11*. 已知數列an ，求an 的通項公式。12*.已知數列an ，求an 的通項公式。13*.，求an 的通項公式。點擊：型通項公式可用此法。遞推公式的變形1已知數列an ，滿足，a1=,，求an 的通項公式。2已知數列an ，滿足，a1=1,求an 的通項公式。3項為1的正項數列，求數列的通項公式。四與的相互轉化1已知數列an滿足，（1）問數列是否為等差數列。（2）求Sn和an.2已知數列an滿足，求數列an的通項公式。3已知數列an，滿足，求通項an.4已知數列an滿足，當時，,求Sn和an.5正數數列an，求數列an的通項公式。6（05，山東）已知數列an，前n項和為，且，（1）求數列an的通項公式。（2）求幾個必須熟練掌握的綜合題目1. 已知數列是等差數列，前項和為且； 求數列的通項公式. （2）設數列滿足，求數列的前和.2.（05濟南2模）已知數列an的前n項和Sn是n的二次函數，且an.求Sn和an.3. 已知數列an滿足，求數列an的通項公式。4.數列數列an，滿足 ，當時，求數列an的通項公式。5. 設函數，數列中，時，前n項和滿足（1） 求數列的通項公式；（2）設，求bn的前n項和。6.已知點列在直線上，且軸的交點，數列是公差為1的等差數列.（1）求數列,的通項公式；（2）若求7.在等比數列中，公比q0，設，且（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前n項和。8.已知數列an是等差數列，Sn是前n項和，且，（1）求數列an的通項公式。（2）令，求數列bn的前n項和。9.（07天津文）在數列中，（）證明數列是等比數列；（）求數列的前項和；（）證明不等式，對任意皆成立10數列的前項和為，（）求數列的通項；（）求數列的前項和11設數列滿足，（）求數列的通項；（）設，求數列的前項