選修2-2階段復(fù)習(xí)課第一章

1、階段復(fù)習(xí)課 第一章,【答案速填】 _ _ _ _ _ _ _ _ _,導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的運算,曲線的切線斜率,導(dǎo)數(shù)的四則運算法則,函數(shù)的單調(diào)性研究,曲線的切線,最優(yōu)化問題,曲邊梯形的面積,微積分基本定理的應(yīng)用,類型 一 導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義 導(dǎo)數(shù)的概念與導(dǎo)數(shù)的幾何意義 (1)導(dǎo)數(shù)的概念：導(dǎo)數(shù)刻畫的是函數(shù)值的增量相對于自變量的增量的比率的極限值，描述的是函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時變化率.,(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，是曲線 y=f(x)在點(x0,f(x0)處的切線的斜率. 綜上所述，k切線=f(x0)=,【典例1】(1)(2013佛山高二檢測)已知點P在曲線 上

2、移動，在點P處的切線傾斜角為,則的取值 范圍是( ) A.0, B. ,) C.0, ) ,)D.0, ) ,),(2)如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A,B,C的坐標(biāo)分 別為(0,4),(2,0)，(6,4),則f(f(0)=_; =_. (用數(shù)字作答),(3)已知函數(shù)y=x3-x，求函數(shù)圖象 在點(1,0)處的切線方程. 過點(1,0)的切線方程.,【解析】(1)選C.由 得曲線在點P處的切線斜率 即 又由于0, )( ,),得曲線在點P處的切線傾斜角 的取值范圍是0, ) ,).,(2)由圖可知，f(x)= 所以f(f(0)=f(4)=2, 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義，得 答案

3、：2 2,(3)函數(shù)y=x3-x的圖象在點(1,0)處的切線斜率為k=y|x=1=(3x2-1)|x=1=2, 所以函數(shù)的圖象在點(1,0)處的切線方程為y=2x-2.,設(shè)函數(shù)y=x3-x圖象上切點的坐標(biāo)為P(x0,x03-x0)， 則切線斜率為 切線方程為y-(x03-x0)=(3x02-1)(x-x0)， 由于切線經(jīng)過點(1,0)， 所以0-(x03-x0)=(3x02-1)(1-x0)，,整理，得2x03-3x02+1=0，即2(x03-1)-3(x02-1)=0， 所以2(x0-1)(x02+x0+1)-3(x0+1)(x0-1)=0, 所以(x0-1)2(2x0+1)=0, 解得x0

4、=1或x0=- . 所以P(1,0)或 所以切線方程為y=2x-2或,類型 二 由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法步驟 (1)確定函數(shù)f(x)的定義域. (2)計算函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x). (3)解不等式f(x)0，得到函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間；解不等式f (x)0，得到函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間.,【典例2】若a1，求函數(shù)f(x)=ax(a+1)ln(x+1)的單調(diào) 區(qū)間. 【解析】由已知得函數(shù)f(x)的定義域為(-1,+)，且 (1)當(dāng)-1a0時，f(x)0,函數(shù)f(x)在(-1,+)上單調(diào)遞 減；,(2)當(dāng)a0時，由f(x)=0,解得 f(x),f(x)隨x的變化情況如下表

5、從上表可知，當(dāng) 時，f(x)0,函數(shù)f(x)在(-1, ) 上單調(diào)遞減;,當(dāng)x 時，f(x)0,函數(shù)f(x)在 上單調(diào)遞增. 綜上所述，當(dāng)-1a0時，函數(shù)f(x)在(-1,+)上單調(diào)遞減. 當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在 上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在 上單調(diào)遞增.,類型 三 由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值 求函數(shù)的極值的方法步驟 (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x). (2)求方程f(x)=0的根.,(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如

6、果左右不改變符號即都為正或都為負(fù)，則f(x)在這個根處無極值.,【典例3】求 的極值. 【解析】 所以 令f(x)=0，得x1=-1,x2=1，,當(dāng)x變化時，f(x),f(x)的變化情況為 所以當(dāng)x=-1時，f(x)極小值=3；當(dāng)x=1時，f(x)極大值=1.,類型 四 由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值 求函數(shù)的最值的方法步驟 (1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值. (2)將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較得出函數(shù)f(x)在a,b上的最值.,【典例4】設(shè)aR，函數(shù)f(x)=ax3-3x2. (1)若x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點，求a的值. (2)若函數(shù)g(x)=f(x)+f(x),x0,2在x=

7、0處取得最大值，求a的取值范圍.,【解析】(1)f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2). 因為x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點， 所以f(2)=0，即6(2a-2)=0，因此a=1. 經(jīng)驗證，當(dāng)a=1時，x=2是函數(shù)y=f(x)的極小值點.,(2)由題設(shè)，g(x)=ax3+3(a-1)x2-6x，g(0)=0. 當(dāng)g(x)在區(qū)間0,2上的最大值為g(0)時， ax3+3(a-1)x2-6x0對一切x(0,2都成立，,方法一：即 對一切x(0,2都成立. 令(x)= ，x(0,2，則a(x)min. 由(x)= 可知(x)= 在x(0,2上單調(diào)遞減， 所以(x)min=(2)= 故a的取值范

8、圍是,方法二:ax3+3(a-1)x2-6x0對一切x(0,2都成立，也即 ax2+3(a-1)x-60對一切x(0,2都成立， (1)當(dāng)a=0時，3x60在(0,2上成立. (2)當(dāng)a0時，拋物線h(x)=ax2+3(a-1)x-6的對稱軸為,當(dāng)a0時,因為h(0)=60,所以要使h(x)0在x(0,2上恒 成立,只需h(2)0成立即可,解得 綜上所述，a的取值范圍為,類型 五 導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用 解決優(yōu)化問題的步驟 (1)首先要分析問題中各個數(shù)量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并確定函數(shù)的定義域. (2)其次要通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值與最值，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，

9、在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具. (3)最后驗證數(shù)學(xué)問題的解是否滿足實際意義.,【典例5】某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷 售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式 其中3x6,a為常數(shù).已知銷售價格為 5元/千克時,每日可售出該商品11千克. (1)求a的值. (2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商 場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.,【解析】(1)因為x=5時,y=11,所以 +10=11,a=2. (2)由(1)可知,該商品每日的銷售量 所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤 f(x)= =2+10(x-3)(x-6)2(3x6).

10、從而,f(x)=10(x-6)2+2(x-3)(x-6) =30(x-4)(x-6).,于是,當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如表: 由上表可得,x=4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點,也是最大值點. 所以,當(dāng)x=4時,函數(shù)f(x)取得最大值,且最大值等于42. 答:當(dāng)銷售價格為4元/千克時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.,類型 六 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 解決恒成立問題的方法 (1)若關(guān)于x的不等式f(x)m在區(qū)間D上恒成立，則轉(zhuǎn)化為f(x)maxm. (2)若關(guān)于x的不等式f(x)m在區(qū)間D上恒成立，則轉(zhuǎn)化為f(x)minm. (3)導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)f(x)的最大值或最小值問

11、題的有力工具.,【典例6】(2013泰安高二檢測)已知函數(shù)f(x)=x2- mln x,h(x)=x2-x+a， (1)當(dāng)a=0時，f(x)h(x)在(1,+)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍. (2)當(dāng)m=2時，若函數(shù)k(x)=f(x)-h(x)在區(qū)間1,3上恰有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍.,【解析】(1)由f(x)h(x)在(1,+)上恒成立， 得 在(1,+)上恒成立， 令g(x)= ,則 故g(e)=0, 當(dāng)x(1,e)時，g(x)0， 故g(x)在(1,e)上單調(diào)遞減，在(e,+)上單調(diào)遞增， 故當(dāng)x=e時，g(x)的最小值為g(e)=e. 所以me.,(2)由已知可知k(x)=x

12、-2ln x-a， 函數(shù)k(x)在1，3上恰有兩個不同零點，相當(dāng)于函數(shù) (x)=x-2ln x與直線y=a有兩個不同的交點, (x)= 故(2)=0， 所以當(dāng)x1,2)時,(x)0,所以(x)單調(diào)遞增.,所以(1)=1,(3)=3-2ln 3,(2)=2-2ln 2, 且(1)(3)(2)0, 所以2-2ln 2a3-2ln 3. 所以實數(shù)a的取值范圍(2-2ln 2,3-2ln 3.,類型 七 導(dǎo)數(shù)與微積分基本定理的應(yīng)用 由定積分求曲邊梯形面積的方法步驟 (1)畫出函數(shù)的圖象，明確平面圖形的形狀. (2)通過解方程組，求出曲線交點的坐標(biāo). (3)確定積分區(qū)間與被積函數(shù)，轉(zhuǎn)化為定積分計算. (

13、4)對于復(fù)雜的平面圖形，常常通過“割補(bǔ)法”求各部分的面積之和.,【典例7】設(shè)y=f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)=0有兩個相等的實根，且f(x)=2x+2. (1)求y=f(x)的表達(dá)式. (2)若直線x=-t(0t1)把y=f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值.,【解析】(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0), 則f(x)=2ax+b, 又已知f(x)=2x+2,所以a=1,b=2, 所以f(x)=x2+2x+c. 又方程f(x)=0有兩個相等實根. 所以判別式=4-4c=0,即c=1. 故f(x)=x2+2x+1.,(2)依題意有 = 所以 即 所以2t3-6t2+

14、6t-1=0, 所以2(t-1)3=-1,所以,【跟蹤訓(xùn)練】 1.(2013西安高二檢測)若曲線 有一切線與直線 2x-y+1=0垂直，則切點可以為( ) A.( , )B.(- , ) C.( ,- )D.(- , ),【解析】選A.方法一:由于切點必在曲線 上，故選A. 方法二:設(shè)曲線 上的切點為 則曲線斜率為 由題意，得 所以x= ，即切點為 ( , )或(- ,- )，故選A.,2.定義n!=n(n-1)(n-2)321(nN*)，已知函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-2)(x-2 014)，則f(2 014)=( ) A.0B.2 013! C.2 014!D.2 015!,【解析】選

15、C.由導(dǎo)數(shù)的意義，得 f(x)=f(x+x)-f(x) =(x+x)(x+x-1)(x+x-2)(x+x-2 014)- x(x-1)(x-2)(x-2 014)， 所以f(2 014)=f(2 014+x)-f(2 014) =(2 014+x)(2 013+x)(2 012+x)(1+x)x，,所以f(2 014)= = (2 014+x)(2 013+x)(2 012+x)(1+x) =2 0142 0132 012321=2 014!.,3.若定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，且滿足 f(x)f(x)，則 與1的關(guān)系為( ) A.a1B.a0，故f(x)f(x)，則 故,4.(

16、2013太原高二檢測)對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2 +cx+d(a0)，定義f(x)是y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若方程f(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0)為函數(shù)y=f(x)的“拐點”. 有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何三次函數(shù)都有拐點；任何三次函數(shù)都有對稱中心；且對稱中心就是拐點”.請根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)判斷下列命題:,(1)任意三次函數(shù)都關(guān)于點 對稱. (2)存在三次函數(shù)，f(x)=0有實數(shù)解x0,(x0,f(x0)點為函數(shù) y=f(x)的對稱中心. (3)存在三次函數(shù)有兩個及兩個以上的對稱中心.,(4)若函數(shù) 則 其中正確命題的序號為( ) A.(1)(2)(4)B.(1)

17、(2)(3)(4) C.(1)(2)(3)D.(2)(3),【解析】選A.由題意，f(x)=(ax3+bx2+cx+d)=3ax2+2bx+c, f(x)=(3ax2+2bx+c)=6ax+2b. 由于f(x)=0 x=- 故(- ,f(- )為三次函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)圖象的對稱中心，(1)正確.存在三 次函數(shù)f(x)=x3,f(x)=3x2=0有實數(shù)解x=0,且(0,0)為y=x3的 對稱中心，(2)正確.,由于f(x)=6ax+2b(a0)有唯一零點x=- 故三次函數(shù)圖 象有唯一的對稱中心，(3)不正確. 對于(4), 故函數(shù)g(x)圖象的對稱中心為P0,從而點

18、 與 關(guān)于P0對稱， 與 關(guān)于P0對稱， 與 關(guān)于P0對稱，,所以 = =-1(i=1,2,1 006)， 所以 (4)正確.,5.已知函數(shù)f(x)= 若存在x0，使f(x0)=0，且 f(x0)=0, 則a的值為_. 【解析】由f(x)=3x2+2ax，f(x0)=0，f(x0)=0, 得3x02+2ax0=0，所以x0=0或x0=- 分別代入x03+ax02- =0， 得a=0或a=3. 經(jīng)驗證，a=0或a=3均滿足題意. 答案：0，3,6.下列關(guān)于函數(shù)f(x)=xex的說法： f(x)有唯一的零點；f(-1)=0； f(x)f(x)；f(x)有最大值. 其中，所有正確的序號是_.,【解析

19、】由于方程xex=0的解為x=0，所以f(x)有唯一的零點，正確；由于f(x)=ex(x+1)，f(-1)=0，正確；由于f(x)-f(x)=-ex0 x-1，所以f(x)有唯一極小值點，也就是最小值點，且函數(shù)f(x)沒有最大值，不正確. 答案：,7.如圖，在半徑為6的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，則三角形面積的最大值為_.,【解析】設(shè)OBD=，則OD=6sin ，BD=6cos ， 得AD=6+6sin ,BC=2BD=12cos ， SABC= BCAD=36(1+sin )cos =18(2cos +sin 2),(0, ), 因為SABC=18(-2sin +2cos 2) =36(-sin

20、 +1-2sin2),令SABC=0，得sin = ，或sin =-1(舍)， 故cos = 由于SABC有唯一的極值點，即為最值點， 故當(dāng)= 時，(SABC)max= 答案：,8.(2013瀏陽高二檢測)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2的圖象經(jīng)過點M(1，4)，曲線在點M處的切線恰好與直線x+9y=0垂直. (1)求實數(shù)a,b的值. (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間m,m+1上單調(diào)遞增，求m的取值范圍.,【解析】(1)因為f(x)=ax3+bx2的圖象經(jīng)過點M(1,4), 所以a+b=4 f(x)=3ax2+2bx,則f(1)=3a+2b. 由條件f(1)(- )=-1,即3a+2b=9 由式解得a=1,b=3.,(2)由