江蘇省南通市2018屆高三數學第二次調研測試試題

1、江蘇省南通市2018屆高三數學第二次調研測試試題注 意 事 項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1 本試卷共4頁，包含填空題（共14題）、解答題（共6題），滿分為160分，考試時間為120分鐘。考試結束后，請將答題卡交回。2 答題前，請您務必將自己的姓名、考試證號等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在答題卡上。3 作答試題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效。如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑、加粗，描寫清楚。參考公式：柱體的體積公式，其中為柱體的底面積，為高一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題

2、卡相應位置上1 已知集合，則 2 已知復數，其中為虛數單位若為純虛數，則實數a的值為 i 4ii+1結 束NY（第4題）SS5輸出S開始S1i13 某班40名學生參加普法知識競賽，成績都在區(qū)間上，其頻率分布直方圖如圖所示， 則成績不低于60分的人數為 成績/分4050607080901000.0050.0100.0150.0250.030（第3題）4 如圖是一個算法流程圖，則輸出的的值為 5 在長為12 cm的線段AB上任取一點C，以線段AC，BC為鄰邊作矩形，則該矩形的面積 大于32 cm2的概率為 6 在中，已知，則的長為 7 在平面直角坐標系中，已知雙曲線與雙曲線有公共的漸近線，且經過點

3、，則雙曲線的焦距為 8 在平面直角坐標系xOy中，已知角的始邊均為x軸的非負半軸，終邊分別經過點 ，則的值為 9 設等比數列的前n項和為若成等差數列，且，則的值為 10已知均為正數，且，則的最小值為 11在平面直角坐標系xOy中，若動圓上的點都在不等式組表示的平面區(qū)域 內，則面積最大的圓的標準方程為 12設函數（其中為自然對數的底數）有3個不同的零點，則實數 的取值范圍是 13在平面四邊形中，已知，則的值為 14已知為常數，函數的最小值為，則的所有值為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內作答解答時應寫出文字說明、 證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）在平面直角坐標

4、系中，設向量，（1）若，求的值；（2）設，且，求的值16（本小題滿分14分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB = AC，點E，F分別在棱BB1，CC1上（均異于端點），且ABE=ACF，AEBB1，AA1B1C1BCFE（第16題）AFCC1求證：（1）平面AEF平面BB1C1C；（2）BC /平面AEF 17（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，B1，B2是橢圓的短軸端點，P是橢圓上異于點B1，B2的一動點當直線PB1的方程為時，線段PB1的長為（1）求橢圓的標準方程；（第17題）0B1B2PQOPxy（2）設點Q滿足：求證：PB1B2與QB1B2的面積之比為定值18

5、（本小題滿分16分）將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計、面積為100 dm2的矩形薄鐵皮（如圖），并沿虛線l1，l2裁剪成A，B，C三個矩形（B，C全等），用來制成一個柱體現有兩種方案：方案：以為母線，將A作為圓柱的側面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個圓形作為圓 柱的兩個底面；方案：以為側棱，將A作為正四棱柱的側面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個正方形 （各邊分別與或垂直）作為正四棱柱的兩個底面 （1）設B，C都是正方形，且其內切圓恰為按方案制成的圓柱的底面，求底面半徑；l1l 2ABC（第18題）0（2）設的長為dm，則當為多少時，能使按方案制成的正四棱柱的體積最大？19（本小題滿分16

6、分）設等比數列a1，a2，a3，a4的公比為q，等差數列b1，b2，b3，b4的公差為d，且記（i = 1，2，3，4） （1）求證：數列不是等差數列； （2）設，若數列是等比數列，求b2關于d的函數關系式及其定義域； （3）數列能否為等比數列？并說明理由20（本小題滿分16分） 設函數（1）若函數是R上的單調增函數，求實數a的取值范圍；（2）設，是的導函數 若對任意的，求證：存在使； 若，求證：（附加題）注 意 事 項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1本試卷共2頁，均為非選擇題（第2123題）。本卷滿分為40分，考試時間為30分鐘。 考試結束后，請將答題卡交回。2答題前，請您務

7、必將自己的姓名、考試證號等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在 答題卡上，并用2B鉛筆正確填涂考試號。3作答試題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置 作答一律無效。如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑、加粗，描寫清楚。21【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作答 若多做，則按作答的前兩題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟ABDOC（第21A題）A選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）如圖，A，B，C是O上的3個不同的點，半徑OA交弦BC于點D 求證：B選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）在平面

8、直角坐標系xOy中，已知設變換，對應的矩陣分別為，求對ABC依次實施變換，后所得圖形的面積C選修4-4：坐標系與參數方程（本小題滿分10分） 在極坐標系中，求以點為圓心且與直線：相切的圓的極坐標方程 D選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分） 已知a，b，c為正實數，且，求證：【必做題】第22、23題，每小題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出 文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）（第22題）在某公司舉行的年終慶典活動中，主持人利用隨機抽獎軟件進行抽獎：由電腦隨機生成一張如圖所示的33表格，其中1格設獎300元，4格各設獎200元，其余4格各設獎100元，

9、 點擊某一格即顯示相應金額某人在一張表中隨機不重復地點擊3格，記中獎總金額為X元（1）求概率；（2）求的概率分布及數學期望23（本小題滿分10分） 已知，記 （1）求的值；（2）化簡的表達式，并證明：對任意的，都能被整除參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分1 已知集合，則 【答案】2 已知復數，其中為虛數單位若為純虛數，則實數a的值為 【答案】3 某班40名學生參加普法知識競賽，成績都在區(qū)間上，其頻率分布直方圖如圖i 4ii+1結 束NY（第4題）SS5輸出S開始S1i1 所示，則成績不低于60分的人數為 成績/分4050607080901000.0050.0100.0

10、150.0250.030（第3題）【答案】304 如圖是一個算法流程圖，則輸出的的值為 【答案】1255 在長為12 cm的線段AB上任取一點C，以線段AC，BC為鄰邊作矩形，則該矩形的面積大于32 cm2的概率為 【答案】6 在中，已知，則的長為 【答案】7 在平面直角坐標系中，已知雙曲線與雙曲線有公共的漸近線，且經過點，則雙曲線的焦距為 【答案】8 在平面直角坐標系xOy中，已知角的始邊均為x軸的非負半軸，終邊分別經過點 ，則的值為 【答案】9 設等比數列的前n項和為若成等差數列，且，則的值為 【答案】10已知均為正數，且，則的最小值為 【答案】811在平面直角坐標系xOy中，若動圓上的點

11、都在不等式組表示的平面 區(qū)域內，則面積最大的圓的標準方程為 【答案】12設函數（其中為自然對數的底數）有3個不同的零點， 則實數的取值范圍是 【答案】13在平面四邊形中，已知，則的值為 【答案】1014已知為常數，函數的最小值為，則的所有值為 【答案】二、解答題：本大題共6小題，共計90分15（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，設向量，（1）若，求的值；（2）設，且，求的值解：（1）因為，所以，且 3分 因為，所以，即a2 + 2 ab + b2 = 1， 所以，即 6分 （2）因為，所以 依題意， 8分 因為，所以 化簡得，所以 12分 因為，所以 所以，即 14分16（本小題滿分14分

12、）AA1B1C1BCFE（第16題）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB = AC，點E，F分別在棱BB1，CC1上（均異于端點），且ABE=ACF，AEBB1，AFCC1求證：（1）平面AEF平面BB1C1C；（2）BC /平面AEF 證明：（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1/CC1 因為AFCC1，所以AFBB1 2分 又AEBB1，AEAF，AE，AF平面AEF， 所以BB1平面AEF 5分 又因為BB1平面BB1C1C，所以平面AEF平面BB1C1C 7分 （2）因為AEBB1，AFCC1，ABE =ACF，AB = AC， 所以AEBAFC 所以BE=CF 9分 又由

13、（1）知，BE/ CF 所以四邊形BEFC是平行四邊形 從而BC/EF 11分 又BC平面AEF，EF平面AEF， 所以BC /平面AEF 14分17（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，B1，B2是橢圓的短軸端點，P是橢圓上異于點B1，B2的一動點當直線PB1的方程為時，線段PB1的長為（1）求橢圓的標準方程；（2）設點Q滿足：求證：PB1B2與QB1B2的面積之比為定值（第17題）0B1B2PQOPxy 解：設， （1）在中，令，得，從而b=3 2分 由 得 所以 4分 因為， 所以，解得 所以橢圓的標準方程為 6分 （2）方法一： 直線PB1的斜率為， 由所以直線QB1的斜

14、率為 于是直線QB1的方程為： 同理，QB2的方程為： 8分 聯立兩直線方程，消去y，得 10分 因為在橢圓上，所以，從而 所以 12分 所以 14分 方法二： 設直線PB1，PB2的斜率為k，則直線PB1的方程為 由直線QB1的方程為 將代入，得， 因為P是橢圓上異于點B1，B2的點，所以，從而 8分 因為在橢圓上，所以，從而 所以，得 10分 由，所以直線的方程為 聯立 則，即 12分 所以 14分 18（本小題滿分16分）將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計、面積為100 dm2的矩形薄鐵皮（如圖），并沿虛線l1，l2裁剪成A，B，C三個矩形（B，C全等），用來制成一個柱體現有兩種方案

15、：方案：以為母線，將A作為圓柱的側面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個圓形作為圓柱的兩個底面；方案：以為側棱，將A作為正四棱柱的側面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個正方形（各邊分別與或垂直）作為正四棱柱的兩個底面 （1）設B，C都是正方形，且其內切圓恰為按方案制成的圓柱的底面，求底面半徑；（2）設的長為dm，則當為多少時，能使按方案制成的正四棱柱的體積最大？l1l 2ABC（第18題）0解：（1）設所得圓柱的半徑為 dm， 則， 4分 解得 6分 （2）設所得正四棱柱的底面邊長為 dm， 則即 9分 方法一： 所得正四棱柱的體積 11分 記函數 則在上單調遞增，在上單調遞減， 所以當時， 所以當

16、，時， dm3 14分 方法二： ，從而 11分 所得正四棱柱的體積 所以當，時， dm3 14分 答：（1）圓柱的底面半徑為 dm； （2）當為時，能使按方案制成的正四棱柱的體積最大 16分【評分說明】 直接“由得，時正四棱柱的體積最大”給2分； 方法一中的求解過程要體現，凡寫成的最多得5分， 其它類似解答參照給分19（本小題滿分16分）設等比數列a1，a2，a3，a4的公比為q，等差數列b1，b2，b3，b4的公差為d，且記（i = 1，2，3，4） （1）求證：數列不是等差數列； （2）設，若數列是等比數列，求b2關于d的函數關系式及其定義域； （3）數列能否為等比數列？并說明理由解：（

17、1）假設數列是等差數列， 則，即 因為是等差數列，所以從而 2分 又因為是等比數列，所以 所以，這與矛盾，從而假設不成立 所以數列不是等差數列 4分 （2）因為，所以 因為，所以，即， 6分 由，得，所以且 又，所以，定義域為 8分 （3）方法一： 設c1，c2，c3，c4成等比數列，其公比為q1， 則 10分 將+2得， 將+2得， 12分 因為，由得， 由得，從而 14分 代入得 再代入，得，與矛盾 所以c1，c2，c3，c4不成等比數列 16分 方法二： 假設數列是等比數列，則 10分 所以，即 兩邊同時減1得， 12分 因為等比數列a1，a2，a3，a4的公比為q，所以 又，所以，即

18、14分 這與且矛盾，所以假設不成立 所以數列不能為等比數列 16分 20（本小題滿分16分） 設函數（1）若函數是R上的單調增函數，求實數a的取值范圍；（2）設，是的導函數 若對任意的，求證：存在使； 若，求證：解：（1）由題意，對恒成立，因為，所以對恒成立，因為，所以，從而 3分（2），所以 若，則存在，使，不合題意， 所以 5分 取，則 此時 所以存在，使 8分依題意，不妨設，令，則 由（1）知函數單調遞增，所以 從而 10分 因為，所以， 所以 所以 12分 下面證明，即證明，只要證明 設，所以在恒成立 所以在單調遞減，故，從而得證 所以， 即 16分數學（附加題）21【選做題】本題包括

19、A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作答 若多做，則按作答的前兩題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）ABDC（第21A題）EO如圖，A，B，C是O上的3個不同的點，半徑OA交弦BC于點D求證：證明：延長交O于點E， 則 5分 因為， 所以 所以 10分B選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，已知設變換，對應的矩陣分別為，求對ABC依次實施變換，后所得圖形的面積解：依題意，依次實施變換，所對應的矩陣 5分 則， 所以分別變?yōu)辄c 從而所得圖形的面積為 10分C選修4-4：坐標系與參數方程（本小題滿分10分）在極坐標系中，求以點為圓心且與直線：相切的圓的極坐標方程 解：以極點為原點，極軸為軸的非負半軸，建立平面直角坐標系 則點的直角坐標為 2分 將直線：的方程變形為：， 化為普通方程得