有理數(shù)的除法基本知識及易錯題例析

1、有理數(shù)除法基本知識及易錯例析松江區(qū)立達中學 莊士忠 盧棟才 有理數(shù)除法的意義與小學學過的正數(shù)的除法的意義是相同的，即：已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算叫除法，所不同的是，負有理數(shù)可以參加除法運算.1關于倒數(shù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，即：如果ab=1，則a,b互為倒數(shù).反過來，如果a,b互為倒數(shù)，則ab=1.因為任何與0相乘的積都是零，而不能是1，所以0沒有倒數(shù).一般地，求一個整數(shù)的倒數(shù)，直接寫成這個數(shù)的分之一即可.求一個分數(shù)的倒數(shù)，只要把分子、分母顛倒一下即可.即a(a0)的倒數(shù)是；（a0,b0）的倒數(shù)是.例如的倒數(shù)是2，-3的倒數(shù)是-，-的倒數(shù)是-.2除法的運算法則法則一：

2、除以一個數(shù)等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)，即：ab=a(b0)法則一表明了有理數(shù)的除法和乘法可以互相轉(zhuǎn)化，由于0沒有倒數(shù)，所以除數(shù)不能為0.法則二：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，得0.3利用除法化簡分數(shù)除法可以寫成幾種不同的形式，例如：63可以寫成，還可寫成63.說明除法可以表示成分數(shù)和比的形式;反過來,分數(shù)和比可化為除法,由于除法、分數(shù)和比可以互化，所以可以利用除法化簡分數(shù).4關于運算律因為除法可以轉(zhuǎn)化成乘法，所以乘法的運算律有的在除法中適用，例如乘法的分配律在除法中的應用，如（-25）（-5）=（25+）5=255+5=5+=5，但是乘法的交換律和結(jié)合律在

3、除法中是不適用的，如6556，（62）36（23）【重點難點解析】1.本節(jié)的重點是有理數(shù)除法法則；難點是確定商的符號和靈活運用除法的兩個法則.2.根據(jù)倒數(shù)的意義可知，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，0沒有倒數(shù).在表示一個數(shù)（0除外）的倒數(shù)時，只要把這個數(shù)的分子、分母顛倒位置就可以了.3.對于除法的兩個法則.在計算時可根據(jù)具體的情況運用.一般在不能整除的情況下應用第一個法則.如1（-1）=（-）=-；在能整除的情況下，應用第二個法則比較方便，如：（-16）（+2）=-162=-8，寫成（-16）2=-16（+）=-8就繁瑣了.例1 計算（1）（-40）（-8）； （2）（-5.2）3.分析:

4、 題(2) 5.2=,3,原式=(-).解: (1) (-40)(-8)=5; (2)(-5.2) 3=-=-=-1.注: 題(1)能整除,在確定商的符號之后,直接除比較簡便;題(2)的除數(shù)是分數(shù),把它轉(zhuǎn)化為乘法比較簡便.例2 計算 -2.251(-8)分析: 把小數(shù)化為分數(shù),除法轉(zhuǎn)化為乘法,帶分數(shù)化為假分數(shù),即-(-8)再乘.解: -2.251(-8) =-(-8)=16注: 有理數(shù)的乘除法運算是同一級運算,因此應按照從左到右的順序進行運算.錯誤的解是-2.251(-8)=-2.25(-8)=-2.25(-9)= ,原因是先乘后除了.為了防止這類錯誤,應化除為乘.例3 計算(-)()錯解:

5、原式=(-)+(-)-(-) =-+- = =正確: 原式=- =- =-注: 乘法對加法滿足分配律,但除法對加法并不滿足分配律.只有當把除法轉(zhuǎn)化為乘法以后,才能運用分配律.例4： 化簡下列分數(shù)(1) (2)-; (3) (4)-解: (1)(2)-3(-9)=-(-)= ;(3)=0(-3)=0;(4)-(-a) (-b)=-ab=-.注: 利用除法化簡分數(shù),主要是簡化分數(shù)的符號,一般地有,分數(shù)的分子、分母、分數(shù)本身的三個符號中，任意改變其中兩個的符號，分數(shù)的值不變，這一結(jié)論使上述問題化簡過程更為簡便，如第（4）小題-【難題巧解點撥】例1 計算：65（-）+（-17）（-）解： 65（-）+

6、（-17）（-） =65(-)+(-17)(-) =48(-) =(48+)(-) =48(-)+(-) =-52-注：本題靈活運用運算律，使繁雜的計算變得簡便.【課本難題解答】1計算（1）（-）（-1）（-2）；（2）-6（-0.25）解：（1）（-）（-1）（-2） =（-）（-）（-） =- =-（2）-6（-0.25）=-6(-)=64=注：先將小數(shù)化成分數(shù)，將除法變成乘法，最后確定結(jié)果的符號.2判斷下列各式是否成立：（1）；(b0) （2）(b0)解：（1）、（2）均正確.注：根據(jù)分數(shù)與除法互化來做：如：，如：=(-a)b=-ab=-,(-b)=-ab=- 【典型題】例1 填空題：（

7、1）-1.5的倒數(shù)是; 的倒數(shù)是-0.6. （2）a-b(ab)的倒數(shù)是 ;（3）-12(-3)= ;-2(-6)= ;（4）13(-52)= ;-2(-1)= ;（5） ;-= .解：(1)-;-(2)(3)4;(4)-;2;(5);1注意：（1）一般倒數(shù)用分數(shù)表示比較方便；（2）只有在a-b0的條件下，a-b才有倒數(shù)；（3）利用除法可以簡化分數(shù)的符號，一般地有分數(shù)的分子、分母、分式本身的三個符號中，任意改變其中兩個的符號，分數(shù)的值不變.例2 計算題：（1）-542（-2）；（2）（-128）（-32）；（3）15-(11+13)(-1).解： （1）原式=54=54=12（2）原式=128

8、32+32=4+=4（3）原式=-15-（+） =-15-（+） =-=-10注意：（1）如果算式中只含有乘除法運算，應按從左到右的順序進行運算，不能亂.（2）含有加減乘除的混合運算中，要先算乘除，再算加減，遇到括號要先算括號里面的.例3 計算：-8+8（-2） 解：原式：=-8+（-） =-8+（-） =-8-33 =-41【練習】（時間45，滿分100分）1選擇題：（1）兩個有理數(shù)的商是正數(shù)，這兩個數(shù)一定是（ ）A都是負數(shù)；B都是正數(shù)C至少一個是正數(shù)；D兩數(shù)同號.（2）計算：（-1）（-5）（-）的結(jié)果是（ ）A-1；B1；C-D-25.（3）下列說法錯誤的是（ ）.A任何有理數(shù)都有倒數(shù)；

9、 B互為倒數(shù)的兩數(shù)的積等于1；C互為倒數(shù)的兩數(shù)符號相同； D1和-1互為負倒數(shù).（4）一個數(shù)的倒數(shù)的相反數(shù)是3，則此數(shù)是（ ）A；B；C-；D-.（5）若a1;B0a1或a-1;D-1a1（6）兩數(shù)的商為正，那么這兩數(shù)（ ）A和為正；B差為正；C積為正；D以上都不對.（7）下列說法錯誤的是（ ）A小于-1的數(shù)的倒數(shù)大于其本身；B小于1的正數(shù)的倒數(shù)大于其本身；C一個數(shù)的倒數(shù)不能等于它本身；Dm-n(mn)的倒數(shù)是.（8）如果ab0,那么下列式子成立的是（ ）.ABab1;C;D2.計算：（1）（-）；（2）（-）（+3）；（3）-（-7）； （4）（-）（5）（-）（-）； （6）（-0.1）10(-100);（7）(-81) 2(-16) (-);（8）(16)853(-7).3. 寫出下列各數(shù)的倒數(shù)：-4，2.4,-1,1 -0.014化簡分數(shù)：（1）-；（2）；（3）-；（4）.5列式計算：（1）一個數(shù)的4倍是-5，這個數(shù)是多少？（2）一個數(shù)與1的積是-4，求這個數(shù).（3）0378的多少倍是-2.646？【提高訓練】1填空題（1） 的倒數(shù)是-0.125;-2的負倒數(shù)是 ;0.36的倒數(shù)的相反數(shù)是 .（2）如果a,b互為倒數(shù),那么3ab= ,如果abc