同濟(jì)版大一高數(shù)下第七章第二節(jié)可分離變量的微分方程_第1頁(yè)
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1、1,高等數(shù)學(xué),第二十九講,2,轉(zhuǎn)化,可分離變量的微分方程,第二節(jié),解分離變量方程,可分離變量方程,第七章,3,分離變量方程的解法:,設(shè) y (x) 是方程的解,兩邊積分, 得,則有恒等式,則有,稱(chēng)為方程的隱式通解, 或通積分.,4,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分離變量得,兩邊積分,得,即,( c 為任意常數(shù) ),或,說(shuō)明: 在求解過(guò)程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、,減解.,( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 ),5,例2. 解初值問(wèn)題,解: 分離變量得,兩邊積分得,即,由初始條件得 c = 1,( c 為任意常數(shù) ),故所求特解為,6,解:,分離變量,例3 求下列方程的通

2、解 :,原式化為,通解：,7,有些微分方程需要通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，化為,變量可分離的方程。,例4 求微分方程,的通解。,解 令,則,代入原方程得,即,分離變量得,通解為,8,例5. 求下述微分方程的通解:,解: 令,則,故有,即,解得,( c 為任意常數(shù) ),所求通解:,9,例5. 求下述微分方程的通解:,解: 觀察可將方程整理為:,令,代入上式得:,分離變量后得:,通解:,10,例6:,解法 1 分離變量,即,( c 0 ),解法 2,故有,積分,( c 為任意常數(shù) ),所求通解:,11,例7 已知曲線積分,與路徑無(wú)關(guān), 其中,求由,確定的隱函數(shù),解:,因積分與路徑無(wú)關(guān) , 故有,即,因此有,12,內(nèi)容小結(jié),1. 可分離變量方程的求解方法:,說(shuō)明: 通解不一定是方程的全部解 .,分離變量后積分;,根據(jù)定解條件定常

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